理论力学典型错误(运动学).doc

第二篇 运动学题2-1 杆AC沿槽以匀速向上运动，并带动杆AB及滑块B。若AB，且初瞬时.求当时，滑块B沿滑槽滑动的速度。错误解答之一：取坐标系如图2-1所示。由几何关系有 （1）将上式的时间求导数，有 （2）所以 因为，而当时，所以有负号表示的方向与轴方向相反。 图2-1 错误解答之二：取坐标系如图-1所示，则由几何关系有物块B的运动方程为 (3)铰链A的运动方程为 (4)将式（3）、（4）对时间求导数，有 (5) (6)由式（6），有 (7)式（7）代入式（5），得代入，得错因分析：1.错误解答之一的错误在于，所选取的坐标系原点与滑块B固结，故而该坐标系是移动的。题目要求滑块B沿滑槽滑动的速度，也即相对于地球表面的速度，滑槽即地球表面，故应选取与地球表面固结的参考坐标系。式（1）中的只是AC杆上一点O坐标系相对位置，既然不是与地面固结的参考系，它对时间的一阶导数就不是滑块B相对滑槽的速度，而是相对动坐标系的相对速度。2. 错误解答之二的错误原因在于，在所选的坐标系中，以式（3）作为滑块B的运动方程是错误的。因为在坐标系中，B点的坐标应取负值，即 (8)正确解答：将式（8）对时间求一阶导数，有在坐标系中，A点的坐标为代入上式，得代入，则有滑块B的速度为其方向沿轴正向。题2-2 从水面上方高20m的岸上一点A，用长为40m的绳系住一船B。今在A处以的均速拉绳，使船靠岸，求5s末船的速度是多少？在5s内船移动了多少距离。 图 图2-2错误解答：以船为研究对象。用绳拉船时，绳的速度为，故船的速度为图2-2（b） (1)因 (2)故有 当时，有在内，不改变方向，时，故此时间内船移动的距离为错因分析：确定船移动速度的式（1）是错误的，因为，虽然在A处以匀速拉绳，但系在船上的绳B端的速度方向随时改变，已不再是常矢量了。式（1）中将其作为常矢量在水平方向投影，并以此方法求得的船的速度是错误的。为了说明式（1）的错误原因，设船在时间内位移为，同时绳索减短，如图2-2（c）所示，近似地认为，则当时对上式求极限，则有而，所以而不是式（1）的正确答案：取坐标系如图2-2所示，则船的坐标为上式对时间求导数得船的速度为当时船的速度为负号表示速度方向与轴正方向相反。当时，当时，之内船不改变速度方向，故在此时间内船移动的距离为题2-3 在图示机构中，曲柄OA转动的角速度为，角加速度为，且有。试求D点的速度、加速度和轨迹。错误解答：因曲柄、均作定轴转动，且彼此平行，故它们的角速度、角加速度均相同。又因三角板CDE绕转动，故D点的速度和加速度分别为D点的轨迹为以为半径、以为圆心的圆。错因分析：上解错误之处在于没有认出杆AB、三角板CDE均作平动，而误认为三角板CDE绕轴转动，误认为D点的轨迹为以r为半径、以为圆心的圆。正确解答：因,故杆AB作平动，于是有又因做定轴转动，且给知，故有因故三角板CDE作平动，于是D点的速度和加速度分别为因为刚体上各点轨迹相同，故D点的轨迹与C点的轨迹相同，同为半径为的圆，但圆心位置各不相同，C点轨迹以为圆心，而D点轨迹则是为半径，圆心在D点正下方距D点处。题2-4 杆AB在铅垂方向以匀速沿滑槽向下运动，并由B端的小轮带动半径为R的圆弧杆OC绕O轴转动，如图2-4所示。设运动开始时，试求此后任意瞬时t，圆弧杆OC的角速度和C点的速度。错误解答取坐标轴如图2-4所示。因为杆AB的速度向下，故知圆弧杆OC绕O轴反时针转动，其角速度为。B点的坐标为上式对时间求导数，有其中为圆弧杆OC的角速度，故有所以而C点的速度则为 由几何关系，有于是，C点的速度为错因分析：上解中认为是错误的。因为题设的正转向为顺时针，而当杆AB向下运动时，圆弧杆的角速度为反时针转向，故应为正确解答：将上解中，以代人，即得正确结果的方向与转向一致。题2-5 在图示机构中，齿轮1固结在杆AC上，。齿轮1和半径为的齿轮2相啮合，齿轮2可绕轴转动，且和曲柄没有联系。若，试确定时，轮2的角速度和角加速度。错误解答：因为，所以两杆角速度、角加速度相同，即又因为，所以A、B两点的速度及加速度相同，即 因作定轴转动，所以，D点的速度和加速度分别为 （1）于是，有 （2） （3）轮2的角速度、角加速度分别为 （4） （5）当时，则有 （6） （7）错因分析： 上解中没有认出杆AC和轮1均作平动。因为AC与轮1固结一起，且有,，故杆和轮1固结的刚体ABC作平动。同时，上解中由式(1)、(2)、(3)所计算的D点的速度及切向加速度，是曲柄上在处的速度及切向加速度，并非齿轮1、2啮合点D的速度和切向加速度。但在计算轮2的角速度和角加速度时，却把曲柄上在处的D点，当成齿轮1、2的啮合点，显然是错误的。 正确解答： 因为杆AC与轮l固结一起，且有,，故杆AC与轮1固结一起的刚体ABC作平动。平动刚体在同一时刻各点的速度及加速度均相同，故齿轮1、2啮合点D的速度、切向加速度与A、B两点的相同，即求得了轮2的切向速度和切向加速度，便可求得轮2的角速度和角加速度，即当时，有的转向为顺时针。题2-6 半径为R的半圆形凸轮D，已知其运动的速度为、加速度为，方向如图2-6（a）所示。凸轮推动杆AB沿铅直方向运动。试求当时，杆AB移动的速度和加速度以及A相对凸轮的速度。错误解答：（1）求速度错误答案：（1）求速度取杆AB上的A点为动点，凸轮D为动系，地面为定系。动点的绝对速度、相对速度、牵连速度如图2-6(a)所示。由几何关系，有所以，杆AB移动的速度为由速度的投影，有所以，杆AB相对于凸轮D的速度为（2）求加速度动点A的加速度矢量图如图2-6（b）所示：取投影轴，则加速度在轴上的投影分别为由式（2），有由式（1），有错因分析：1.上解中，图2-6（a）的速度矢量图画错，不符合速度合成定理的关系，是合矢量，应为速度四边形的对角线。2.因为动点的相对轨迹为凸轮D的轮廓线，即半径为R的圆曲线，故相对加速度应有切向分量、法向分量两个分量。图2-6（b）中漏画了相对加速度的法向分量。3.速度、加速度的投影，应按照合矢量投影定理进行，上解中式（1）、（2）在切向、法向方向的投影，是按，计算的，这显然是不符合加速度合成定理，不符合合矢量投影定理。正确答案：取杆AB上的A点为动点，动系为凸轮D，定系为地面。动点的绝对运动轨迹为铅垂线，相对运动轨迹为凸轮的轮廓线，即半径为R的圆曲线、牵连运动为平动。（1）求速度动点A的速度矢量图如图2-6（c）所示。根据速度合成定理，有 （1）取投影轴如图2-6（c）所示。将式（1）分别在轴上投影，则有 （2） （3）于是，杆AB移动的速度也即动点A的绝对速度为杆AB相对于凸轮的相对速度为（2）求加速度加速度矢量图如图2-6（d）所示。由动系作平动时的加速度合成定理，有 （4）取投影轴如图2-6（d）所示。将式（4）分别在轴方向投影，有上式中，由式（6），有所以 由式（5），有于是杆AB移动的加速度也即动点A的绝对加速度为AB相对于凸轮的加速度为题2-7 在图示的平底顶杆凸轮机构中，顶杆AB可沿铅直槽上、下运动，半径为R的凸轮以匀角速度绕O轴转动。工作时顶杆与凸轮保持接触。偏心距OC=e，试求当OC水平时，顶杆AB的速度和加速度。错误解答：1.求速度：取凸轮与顶杆的接触点D为动点，顶杆AB为动系，地面为定系，则动点D的绝对运动轨迹为以O为圆心、以OD为半径的圆周，相对运动轨迹为水平直线，牵连运动为平动。动点D的速度矢量图如图2-7（b）所示。其中绝对速度的大小为由几何关系，有于是，顶杆AB移动的速度为2.求加速度动点D的加速度矢量图如图2-7（c）所示。由几何关系，有于是，顶杆AB移动的加速度为错因分析:1.若取凸轮与顶杆AB的接触点D为动点，顶杆AB为动系，则相对运动轨迹不是一条水平直线，因为，如果顶杆AB不动，仅凸轮运动，则动点D相对于顶杆AB作圆周运动。又若凸轮不动，仅顶杆运动，则动点D相对于顶杆AB为铅直线运动。当两者都运动时，就不再是简单的直线或圆了，而是两种运动的合成，其合成结果将是某一平面曲线，该曲线在D点处与顶杆AB的水平底面相切，因此，相对速度应沿水平方向，故图2-7(b)所示的速度矢量图是正确的。2.由于相对运动轨迹是其切点在D点的某一平面曲线，故相对加速度应有切向分量法向分量。图2-7(c)中漏掉了。又由于该平面曲线的方程未知,故无法求得该曲线在D点的曲率半径，也就无法得知。于是，在加速度合成定理中均为未知，上式只有两个投影式，只能求解2个未知数，故不能求解。可见，上述动点、动系的取法是无法求得全部解答的。正确解答：取凸轮中心C为动点，顶杆AB为动系，地面为定系。动点C的相对运动轨迹为过C点的水平直线，绝对运动轨迹为以O为圆心，以e为半径的圆，牵连运动为平动。1 求速度动点C的速度矢量图如图2-7（d）所示，即将上式在轴投影，有 于是,顶杆AB移动的速度为 2.求加速度动点C的加速度矢量图如图2-7(e)所示,即 将上式分别沿x,y轴投影,有所以 所以 于是，顶杆移动的加速度为题2-8 长为r的曲柄OA以匀角速度绕O轴反时针转向转动, 从而推动滑杆BCD沿铅直方向上升，如图2-8(a)所示。试求当曲柄与水平线夹角时，滑BCD的速度和加速度。错误解答：取滑杆BCD上与曲柄OA端点A重合点为动点，OA为动系，地面为定系。动点的绝对运动是随同滑杆的铅垂向上的直线运动，相对运动是水平直线运动，牵连运动是曲柄OA的定轴转动。动点的速度矢量图、加速度矢量图分别如图2-8(a)、(b)所示。由速度矢量图，有 （1） （2）由加速度矢量图，有上式中，科氏加速度，牵连法向加速度，将之值代入式（3），得因滑杆BCD作平动，故滑杆的速度为，加速度为，其方向如图8-3（a）、（b）所示。错因分析：1当以滑杆BCD上与曲柄OA端点A重合点为动点、曲柄OA为动系时，其相对运动轨迹并非水平直线。所谓相对运动，是指站在动系上观察到的动点的运动。显然，当曲柄OA转动时，站在OA上观察点的运动，其运动轨迹不可能只是一条水平直线。因为，倘若曲柄OA不转动，仅滑杆BCD运动，则显然点相对于曲柄OA作铅直线运动，倘若滑杆BCD不动，仅曲柄OA转动，则显然点相对于曲柄OA作顺时针转向的圆周运动。当两杆同时运动时，动点相对于动系OA的运动应是上述两种运动的合成运动。显然，合成运动不再是水平直线或圆，而是某一条平面曲线，且在图示位置该平面曲线应与滑杆BCD的水平边相切。2既然相对轨迹是与BCD水平边相切的平面曲线，相对速度应沿相对轨迹在该点的切线方向，所以，相对速度应沿水平方向，但图2-8(a)中把相对速度指向画错了。根据速度合成定理，其中的指向均已确定，而速度四边形应为对角线方向，故不应指向左而应指向右。3由于图2-8(a)中的指向画错了，那么，图2-8(b)中的科氏加速度指向也错了。应该向上而不应该向下。4既然相对轨迹应为某一平面曲线，动点的相对加速度就应该有切向、法向两个分量，而相对轨迹在点的曲率半径，由于相对轨迹方程未知，故无法求得相对法向加速度。5计算有错。对于速度未知量的计算，应根据正确画出的速度平行四边形，用几何法或用解析法求解。几何法只需根据正确的速度四边形，由几何关系算出某矢量，解析法则需根据合矢量投影定理求解，即：合矢量在某轴上的投影，等于诸分矢量在同轴上投影的代数和。而上解中的式(2)按“未知矢量的投影已知矢量的投影”来计算未知量，显然不符合合矢量投影定理，因此是错误的。6在加速度计算中，上解的公式(3)是按所有加速度在Oy轴上的投影的代数和等于零，即来计算的，这显然不符合合矢量投影定理，是错误的。正确解答：取曲柄OA的端点A为动点，滑杆BCD为动系，地面为定系。动点A的绝对轨迹为以O为圆心，以r为半径的圆，相对轨迹为水平直线，牵连运动为平动。于是，动点A的速度与加速度矢量图分别为图2-8(c)、(d)所示。由几何关系可知，动点A的牵连速度和牵连加速度(即为滑杆BCD的速度和加速度)分别为题2-9 在图示系统中，轮O在水平面上作纯滚动，并与杆AB铰接于A点。在图示位置时，OA水平，轮心的速度为。试求杆AB中点M的速度。错误解答：因为杆AB作平动，故有，如图2-9（a）所示。错因分析：杆AB作平面运动而非平动。正确解答：系统中的轮O、杆AB均作平面运动。由于轮O作纯滚动，故与地面的接触点C为它的瞬心，于是A点的速度方向应垂直于AC连线。杆AB两端速度方向已知，分别作A、B两点速度的垂线，其交点P即为杆AB的速度瞬心，如图2-9（b）所示。 轮O的角加速度为A点的速度则为杆AB的角速度为杆AB中点M的速度为其中 故 题2-10 平面机构如图2-10（a）所示。长为r的曲柄OA以匀角速度顺时针转动，ABAD=l,BC=r。试求图示瞬时滑块C、D的速度及杆BC的角速度。错误解答：曲柄OA作定轴转动，滑块D沿水平滑槽滑动，故BD杆上A、D两点的速度方向已知，由速度投影定理，有又因为杆BDBC，故B点的速度方向垂直于BC，且有。因已知BC杆上B、C两点的速度方向，作速度方向的垂线，其交点C即为杆BC的速度瞬心。于是，有错因分析：1上解中B点的速度方向错误。因杆BD作平面运动，它的速度瞬心在P，故可知B点的速度方向应垂直于PB连线。2由于B点的速度方向错误，导致BC杆的速度瞬心位置错误，即BC杆的瞬心不在C点而应在，如图2-10（b）所示。正确解答：曲柄OA作定轴转动，滑块D、C沿水平滑槽滑动，故可知A、C、D点的速度方向。杆BD，DC作平面运动。由速度投影定理，有所以 BD杆的速度瞬心在P，由几何关系知，为等边三角形，即PD=BD=PB=2l,杆BD的角速度为而B点速度为因为杆BC在B、C两点的速度方向已知，故其速度瞬心在，如图2-10(b)所示。因，所以，于是，杆BC的角速度为滑块C点的速度为题2-11 在图示机构中，固定齿轮O与运动齿轮A半径均为r。曲柄OA以匀角速度绕O轴反复摆动。其尺寸为r0.1m,BC=0.6m,=0.2m。图示瞬时OA水平，A、B、C在同一铅垂线上，。试求该瞬时杆BC、杆、齿轮A的角速度。错误解答：曲柄OA、杆作定轴转动，故A、C点的速度方向已知。齿轮A作平面运动，其速度瞬心在啮合点P。于是，有齿轮A的角速度为B点的速度为 杆BC作平面运动，其速度瞬心在，且有 所以，杆BC的角速度为 C点的速度为杆的角速度为 错因分析： 上解中对运动的分析、瞬心位置P、均正确无误。其错处在于，在计算杆BC速度瞬心位置时，将视为直角三角形了，这就导致了杆BC的角速度、C点速度、杆的速度计算的错误。正确解答：曲柄OA、杆作定轴转动，故A、C点的速度方向已知，动齿轮A、杆BC作平面运动，齿轮O、A的啮合点P为动齿轮A的速度瞬心，A、B、C三点的速度方向如图2-11(b)所示。 因，所以，B点的速度为 杆BC在B、C两点的速度方向已知，由速度投影定理，有 所以 杆的角速度为 为求杆BC的角