黑龙江省大庆市2016届高三数学第一次模拟考试试卷 理（含解析）.doc

黑龙江省大庆市2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=x|x20，b=x|xa，若ab=a，则实数a的取值范围是（）a（，2b2，+）c（，2d2，+）【分析】化简a，再根据ab=a，求得实数a的取值范围【解答】解：集合a=x|x20=x|x2，b=x|xa，ab=a，a2，故选：d【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2若复数x满足x+i=，则复数x的模为（）a b10c4d【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可【解答】解：x+i=，x=i=13i，|x|=，故选：a【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题3下列函数中，在（0，+）上单调递减，并且是偶函数的是（）ay=x2by=x3cy=ln|x|dy=2x【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论【解答】解：选项a，y=x2是偶函数，当x0时，y=x在在（0，+）上单调递增，不合题意；选项b，y=x3，是奇函数，不合题意；选项c，y=ln|x|是偶函数，当x0时，y=lnx在在（0，+）上单调递减，符合题意；选项d，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意故选：c【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题4双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）a=1b=1c=1d=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程【解答】解：双曲线的一个顶点为（2，0），其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，双曲线的一条渐近线方程为y=x，b=2，双曲线的方程是=1故选：d【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题5下列说法中不正确的个数是（）命题“xr，x3x2+10”的否定是“x0r，x03x02+10”；若“pq”为假命题，则p、q均为假命题；“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件aob1c2d3【分析】根据含有量词的命题的否定判断根据复合命题与简单命题之间的关系判断根据充分条件和必要条件的定义判断【解答】解：全称命题的否定是特称命题，命题“xr，x3x2+10”的否定是“x0r，x03x02+10”正确若“pq”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，b=，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，正确故不正确的是故选：b【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题=lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是（）abcd【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l平面，再利用面面垂直的判定可得为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m平面，再利用面面垂直的判定可得为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面内，则有和相交于m，故为假命题【解答】解：l平面且可以得到直线l平面，又由直线m平面，所以有lm；即为真命题；因为直线l平面且可得直线l平行与平面或在平面内，又由直线m平面，所以l与m，可以平行，相交，异面；故为假命题；因为直线l平面且lm可得直线m平面，又由直线m平面可得；即为真命题；由直线l平面以及lm可得直线m平行与平面或在平面内，又由直线m平面得与可以平行也可以相交，即为假命题所以真命题为故选 c【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用7记定义在区间a，b上的连续函数y=f（x），如果存在x0a，b，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在a，b上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在1，1上“平均值点”的个数为（）a1b2c3d4【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x在x1，1上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，函数f（x）=x3+2x在1，1上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在1，1上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x，则问题转化为g（x）在x1，1上的零点个数，求导数可得g（x）=3x2+20，故函数g（x）在x1，1上单调递增，由g（1）g（1）0，故函数g（x）在x1，1上有唯一一个零点故选：a【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题8（5分）（2016呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积为v，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则v，n的值是（）av=32，n=2b c dv=16，n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以v=，边长为4的正方体v=64，所以n=3故选b【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题9（5分）（2016漳州一模）已知曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）（w0）的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x00，则x0=（）a b c d【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得0，内的x0的值【解答】解：曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，=，w=2f（x）=2sin（2x+）f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，2x0+=k，x0=，kz，x00，x0=故选：c【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题10已知在三棱锥pabc中，pa=pb=bc=1，ab=，abbc，平面pab平面abc，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）ab3c d2【分析】求出p到平面abc的距离为，ac为截面圆的直径，ac=，由勾股定理可得r2=（）2+d2=（）2+（d）2，求出r，即可求出球的表面积【解答】解：由题意，ac为截面圆的直径，ac=，设球心到平面abc的距离为d，球的半径为r，pa=pb=1，ab=，papb，平面pab平面abc，p到平面abc的距离为由勾股定理可得r2=（）2+d2=（）2+（d）2，d=0，r2=，球的表面积为4r2=3故选：b【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键11在平面直角坐标系xoy中，已知c：x2+（y1）2=5，点a为c与x轴负半轴的交点，过a作c的弦ab，记线段ab的中点为m，若|oa|=|om|，则直线ab的斜率为（）a2b c2d4【分析】因为圆的半径为，所以a（2，0），连接cm，则cmab，求出圆的直径，在三角形ocm中，利用正弦定理求出sinocm，利用ocm与oam互补，即可得出结论【解答】解：因为圆的半径为，所以a（2，0），连接cm，由题意cmab，因此，四点c，m，a，o共圆，且ac就是该圆的直径，2r=ac=，在三角形ocm中，利用正弦定理得2r=，根据题意，oa=om=2，所以， =，所以sinocm=，tanocm=2（ocm为钝角），而ocm与oam互补，所以tanoam=2，即直线ab的斜率为2故选：c【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题12已知函数f（x）=x3x2x+a的图象与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围是（）a（，1）（，+）b（，1）c（，1）d（，）（1，+）【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值0或f（x）极小值0即可【解答】解：函数f（x）=x3x2x+a的导数为f（x）=3x22x1，当x1或x时，f（x）0，f（x）递增；当x1时，f（x）0，f（x）递减即有f（1）为极小值，f（）为极大值f（x）在（，）上单调递增，当x时，f（x）；又f（x）在（1，+）单调递增，当x+时，f（x）+，当f（x）极大值0或f（x）极小值0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点即a+0或a10，a（，）（1，+），故选：d【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若|=1，|=，且，则向量与的夹角为【分析】根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出【解答】解：设向量与的夹角为，且，=（+）=+=|2+|cos=0，即1+cos=0，即cos=，0=，故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题14已知在等差数列an中，a1，a2017为方程x210x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为15【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出【解答】解：a1，a2017为方程x210x+16=0的两根，a1+a2017=10=2a1009，数列an是等差数列，则a2+a1009+a2016=3a1009=15故答案为：15【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15设变量x，y满足约束条件，目标函数z=abx+y（a，b均大于0）的最大值为8，则a+b的最小值为2【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a0，b0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图：4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（2，6），由图易得目标函数在（2，6）取最大值8，即8=2ab+6，ab=1，a+b2=2，在a=b=2时是等号成立，a+b的最小值为2故答案为：2【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解16已知f1，f2是椭圆=1的两个焦点，a，b分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点p在线段ab上，则的最小值为【分析】求得椭圆的焦点和a，b的坐标，以及直线ab的方程，设出p（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与ab上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值【解答】解椭圆=1，a（2，0），b（0，1），f1（，0），f2（，0），可得ab的方程为x2y+2=0，设p（m，n），则=（m，n）（m，n）=m2+n23，由m2+n2的几何意义：表示原点与ab上的点的距离的平方可得原点到直线ab的距离取得最小，且为=，即有m2+n23的最小值为3=故答案为：【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）（2016大庆一模）已知等比数列an的各项均为正数，且a1+2a2=1，a=4a2a6（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2a1+log2a2+log2an，求数列的前n项和【分析】（1）设数列an的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列an的通项公式；（2）可知bn为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得bn，利用裂项法，可求数列的前n项和【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，由a=4a2a6得a=4，q2=，由已知an0，q=，由a1+2a2=1，得2a1=1，a1=，数列an的通项公式为an=（2）bn=log2a1+log2a2+log2an=（1+2+n）=2（），数列的前n项和=2（1）+（）+（）=【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题18（12分）（2016大庆一模）已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c， =（，c2b），=（sin2c，1），且满足=0（1）求a的大小；（2）若a=1，求abc周长的取值范围【分析】（ i）由已知及平面向量数量积的运算可得2acosc+c2b=0，由余弦定理整理得b2+c2a2=bc，可求cosa=，结合范围0a，即可解得a的值（ ii）由正弦定理及恒等变换的应用可得abc的周长l=a+b+c=1+（sinb+sinc）=2sin（b+）+1，结合范围0b，可求sin（b+）1，即可得解周长的取值范围【解答】（本小题满分12分）解：（ i）=0， sin2c+c2b=，（2分），即2acosc+c2b=0，（3分）由余弦定理得：2a+c2b=0，（4分）整理得b2+c2a2=bc，cosa=，0a，a=（6分）（ ii）cosa=，sina=，（7分）由正弦定理得： =，（8分）abc的周长l=a+b+c=1+（sinb+sinc）=1+ sinb+sin（b+）=2sin（b+）+1，（10分）0b，b，sin（b+）1，（11分）因此2l3，故abc周长的取值范围为（2，3（12分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题19（12分）（2016大庆一模）如图，四棱锥pabcd的底面是菱形，pa平面abcd，ac=bc，e，f分别是bc，pc的中点（1）证明：平面aef平面pad；（2）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为，求二面角faeb的余弦值【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可得到结论（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】解：（1）由四边形abcd是菱形，ac=bc，可得abc为正三角形aebc又bcad，aead （1分）pa平面abcd，ae平面abcd，paae，pa平面pad，ad平面pad，且paad=a，ae平面pad，而ae平面aef，平面aef平面pad（4分）（2）设ab=2，h为pd上任意一点，连接ah，eh，由（i）知ae平面pad，则eha为eh与平面pad所成的角（5分）在rteha中，ae=，当ah最短时，eha最大，即当ahpd时，eha最大，此时taneha=（6分）ah=，又ad=2，adh=45，pa=2（8分）由（i）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系又e，f分别是bc，pc的中点，a（0，0，0），b（，1，0），c（，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（，1）（9分）=（，0，0），=（，1）设平面aef的法向量为=（x，y，z），则， （10分）取z=1，则=（0，2，1），为平面aef的一个法向量又pa平面abc， =（0，0，1）为平面abe的一个法向量cos，=，故所求二面角的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大20（12分）（2016大庆一模）已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（3）对于nn+，证明：【分析】（1）求导，f（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f（x）0，求得f（x）的单调递增区间，；由f（x）0，求得函数单调递减区间；（2）构造辅助函数g（x）=f（x）（x+b），求导，令g（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；（3）由（1）可知当x0时ln（x+1）x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立【解答】解：（1）由已知得f（x）=2x1=，（1分）f（0）=0， =0，a=1f（x）=ln（x+1）x2x（x1），（2分）于是f（x）=（x1），由f（x）0得1x0；由f（x）0，得x0，f（x）的单调递增区间是（1，0），单调递减区间是（0，+）（4分）（2）令g（x）=f（x）（x+b）=ln（x+1）x2+xb，x（0，2），则g（x）=2x+=，令g（x）=0，得x=1或x=（舍），当0x1时，g（x）0；当1x2时g（x）0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减（7分）方程f（x）=x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点，即亦即，ln31bln2+，故所求实数b的取值范围为b丨ln31bln2+（9分）证明：（3）由（1）可得，当x0时ln（x+1）x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）+，即ln （10分）ln，ln，ln，ln，将上面n个式子相加得：+ln+ln+ln+ln=ln（n+1），故：（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题21（12分）（2016大庆一模）从抛物线g：x2=2py（p为常数且p0）外一点p引抛物线g的两条切线pa和pb（切点为a、b），分别与x轴相交于点c、d，若ab与y轴相交于点q（1）求证：四边形pcqd是平行四边形；（2）四边形pcqd能否为矩形？若能，求出点q的坐标；若不能，请说明理由【分析】（i）设a，b的坐标，求出切线pa，pb的方程，解出p点坐标，设q坐标和直线ab方程，联立方程组得出p，q点的坐标关系证明cd平分pq，求出c，d坐标，得出cd的中点，代入pq方程即可得出pq平分cd，于是得出结论；（ii）若四边形pcqd能否为矩形，则|pq|=|cd|，列方程解出p，t的关系得出q坐标【解答】解：（i）由x2=2py得y=，y=设a（x1，），b（x2，），则直线pa的方程为y=（xx1），直线pb的方程为y=（xx2），由、解得x=，y=，p点坐标为（，）设点q（0，t），则直线ab的方程为y=kx+t由得x22pkx2pt=0，则x1+x2=2pk，x1x2=2pt，p（pk，t），线段pq被x轴平分，即被线段cd平分在中，令y=0，解得x=，c（，0）；同理得d（，0），线段cd的中点坐标为（，0），即（，0）又直线pq的方程为y=x+t，线段cd的中点（，0）在直线pq上，即线段cd被线段pq平分，四边形pcqd是平行四边形（ii）若四边形pcqd是矩形，则|pq|=|cd|，即=，解得t=当点q为（0，）（即抛物线g的焦点）时，四边形pcqd为矩形【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016大庆一模）如图，ab为o的直径，过点b作o的切线bc，oc交o于点e，ae的延长线交bc于点d（1）求证：ce2=cdcb；（2）若ab=bc=2，求ce和cd的长【分析】（1）要证ce2=cdcb，结合题意，只需证明cedcbe即可，故连接be，利用弦切角的知识即可得证；（2）在rt三obc中，利用勾股定理即可得出ce的长，由（1）知，ce2=cdcb，代入ce即可得出cd的长【解答】（1）证明：连接bebc为o的切线abc=90ab为o的直径aeb=90 （2分）dbe+obe=90，aeo+oeb=90ob=oe，obe=oebdbe=aeo （4分）aeo=cedced=cbe，c=ccedcbe，ce2=cdcb （6分）（2）解：o