由数列的递推公式求通项公式.doc

由数列的递推公式求通项公式安徽省怀远县河溜中学 陈多雨一、 递推数列的概念1. 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。2. 递推数列：由递推公式和初始值确定的数列。二、 求递推数列的通项公式常见方法有：1. 构造新数列最常见的是构造等差或等比数列来解决问题。2. 待定系数法、累加法、累乘法。3. 特征方程法、换元等。三、 根据递推关系的不同分为以下几种类型。1.求递推式如（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解。例1已知数列an满足a1=1，且an+1 =+2，求解：设，则，为等比数列，2. 求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累加求得通项。例2已知数列an中，a1=1，对任意自然数n都有，求解：由已知得， ， ，以上式子累加，利用得-= =，3.求形如的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累乘求得通项。例3已知数列中，前项和与的关系是，求通项公式解：由得两式相减得：，将上面n1个等式相乘得：4. 求形如 （其中p，q均为常数，）（或,其中p，q, r均为常数）的通项 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例4:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以5.求 形如 的通项。解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例8：已知数列中，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。6. 求形如解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解：取倒数：是等差数列，7.求形如（其中p，q均为常数）。解 (特征根法)对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例7: 数列：， ,求解：的特征方程是：。,。又由，于是 故8.“归纳猜想证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳猜想证明”法例8若数列满足：计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论解：a2=2 a1+32=21+32，a3=2（21+32）+321=221+2321，a4=2（221+2321）+322=231+3322；猜想an=2n1+（n1）32n2=2n2（3n1）；用数学归纳法证明：1当n=1时，a1=21=1，结论正确；2假设n=k时，ak=2k2（3k1）正确，当n=k+1时，=结论正确；由1、2知对nN*有9.换元法.根据递推公式的结构特点联想的相应的三角公式，用三角换元能收到意想