（计算机应用技术专业论文）数学规划在企业生产管理中的应用.pdf

桂林工学院硕士学位论文 摘要 基于燕京啤酒( 桂林漓泉) 股份有跟公司的现状，建立四种实用模型对其进行研究。 模型一：燕京啤酒( 桂林漓泉) 股份有限公司现有四条主要生产啤酒线，可以在高低 负荷下进行生产，高负荷下对于机器的磨损较大，出啤酒较多。低负荷下对机器磨损较小， 但出啤酒也少些，客观地分析了桂林漓泉啤酒公司在十年内如何把机器投入到高低负荷中 才能获得最大利润，针对计算的繁琐，本文用m a t l a b 数学软件编制了程序，解决了计算问 题。 模型二：在现有库存与生产中，如何安排生产才能既满足市场的需求又使总费用较低， 用动态规划在生产经营中的应用解决了此问题，并编制m a t l a b 程序计算出结果。 模型三：广告宣传对于产品的销售影响很大，但广告费用也很昂贵，如何获得最大利 润，建立广告投入策略模型，讨论在不确定的环境下为获得最大利润的最优广告投入量， 用最小二乘法分析了广告与销售的关系，寻求到了最优状态。 模型四：根据考核指标对不同层次员工的不同要求引入层次分析法( 彳月| 尸) ，通过评定， 以不同职能人员的工作共性作为考核标准，客观地赋予考核指标不同的权重，从而较好的 解决了职能部门难以考核的难题，对模型的改进，给出了提高绩效应采取措麓的科学分析。 本文最大的特点就是理论与实际相联系，以企业的真实情况与数据，利用严密的理论体 系和方法对企业的生产活动作了全面的分析、详细的论述，得出最优的结论，具有很强的 现实指导意义。 关键词：数学规划；动态规划：m a t l a b ：最小二乘法；层次分析 桂林工学院硕士学位论文 a b s t r a c t b a s e d0 1 1b e e rc o m p a n ys t a t u s ，i nt h i sp a p e r , t h r e em e t l l o d so fm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g f o r t h ef o u r3 r e a st oe s t a b l i s hf o u rm o d e l st os t u d yt h es i t u a t i o n 。 m o d e ll ：g u i l i nb e e rc o m p a n yh a s4p r o d u c eb e e rl i n e sa n dc a nc a l t yo i lp r o d u c t i o nu n d e r t h eh i g ha n dl o wb u r d e n u n d e rh i g hb u r d e n , t h em a c h i n ew e a ra w a ym o r ea n dt h eb e e ri s m o r e ，u n d e rl o wb u r d e n , t h em a c h i n ew e a l a w a ys m a l l e r , b u tb e e ra l s oal i t t l el e s s u s i n g d f 衄i cl a y o u tm e t h o d st oa n a l y z eo b j e c t i v e l yg u i l i nb e e rc o m p a n yh o w t h r o wt h em a c h i n e t ot h eh i g ha n dl o wb u r d e ni nt h ed e c a c k ，t h e nc a na c q u i r et h eb i g g e s tp r o f i t s m o d e l2 ：i nt h ee x i g i n gs t o c ka n dt h ep r o d u c t i o n , h o wa r r a n g ep r o d u c t i o nc a ns a t i s f yt h e n e e do f m a r k e ta n dm a r s t o c ke x p e n s e sl o w e r , a d o p t i n gd y n a m i cl a y o u tm e t h o d st os o l v et h e p r o b l e m , ii l a k eu s eo fm a t h e m a t i c ss o f t w a r e “m a t l a b t os o l v e dt h ep r o b l e m , m a k ec a l c u l a t i o n c o n s u m e d l ys i m p l e ，a sar e s u l tm o r ea c c u r a t e m o d e l3 ：a d v e r t i s e m e n tp u b l i c i t yt ot h es a l eo f p r o d u c ti n f l u e n c ev e r yg r e a t l y ，b u ta d v e r t i s e e n p e i l $ 器i sa l s ov e r ye x p e n s i v e h o wa c q u i r et h eb i g g e s tp r o f i t s , a n a l y z i n ga na d v e r t i s e m e n ta n d s a l ew i t hl e a s tm e a i ls q u a r e ，l o o k i n gf o rt h es u p e r i o ra p p e a r a n c e ，i ti sak i n do fs c i e n c e r e a s o n a b l eo f m e t h o d m o d e l4 ：a c c o r d i n gt oad i f f e r e n tr e q u e s to fi n d e xs i g nt od i f f e r e n tl a y e re m p l o y e e , u s i n g o f a h p ( a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ) t os o l v e dah a r dp r o b l e m 1 1 壕u l t i m a t et r a i ti sl i n k i n gt h e o r yw i t hr e a l i t y t h r o u g hr e a ld a t aa n dc o n d i t i o n , u s i n g i l a l t o wt h e o r ys y s t e ma n dm e t h o d s , t h e s i sa n a l y s i e st h ew h o l ep r o c e s so fp r o d u c i n gp l a no f e n t e r p r i s ed e t a i l e d l y , w h i c hh a sg r e a tp r a c t i c a ld i r e c t i n gm e a n i n g 1 ( e ”m r d ：m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ；d y n a m i cl a y o u tm e t h o d s ；m a t l a bs o f t w a r e l e a s t m e a ns q u a r e ：a h p ( a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ) v 桂林工学院硕士学位论文 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权说明 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是我个人在林亮副教授指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得桂林工学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。对论文的完成提供过帮助的有关人员已在论文中作了明确的说明并致以了谢意。 学位论文作者( 签字) ：垒缓 签字日期： 心珥点匠丝旦 版权使用授权说明 本人完全了解桂林工学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照学校要求 提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目 录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以 赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 学位论文作者( 签字) ：之毖 指导教师签字：二琴车m 签字日期：五箜卑么业 i i i 桂林工学院硕士学位论文 第一章引言 1 1 选题背景 随着中国加入w t o ，经济全球化的程度越来越浓，现代企业处于一个瞬息万变、充 满竞争的环境，技术革新的步伐急剧加速，管理更加科学化，时代愈发要求我们把从书本 学来的理论，从实验室研究得来的方法与实际生产结合起来，切实做到理论联系实际，知 识服务于社会，服务于企业。 针对实际问题中某些非线性规划问题可能有最优解的特点，动态规划是求解这类问题 全局最优解的一种有效方法，许多闯题用动态规划的方法去处理，常比线性规划更有成效， 特别对离散性的问题，由于解析数学无法施展其术，而动态规划的方法就成为非常有用的 工具，动态规划的独到之处是，它把多变量的复杂的决策问题进行分阶段决策，变成了求 解多个单变量的决策问题，故在解决某些实际问题，利用动态规划方法比用线性规划或非 线性规划显得更加便利。当前大量的学者应用动态规划方法解决了许多现存的实际问题， 王柏明老师在 动态规划在水资源优化配置中的应用“”，科学地应用动态规划方法分析 了2 0 0 0 年绍兴地区的水资源优化配置问题；西安理工大学的贾一平在其硕士毕业论文动 态规划方法在银光公司生产计划中的应用与研究嘲中对于银光公司的现状存在的某些情 况合理地应用动态规划方法进行了分析。本人在前人的研究基础上，充分结合燕京啤酒( 桂 林漓泉) 股份有限公司的实际情况，用动态规划方法对其资源分配、生产经营两个方面的 情况进行了研究，并解决了其繁琐的计算问题。 动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法， 就目前而言，动态规划没有统一的标准模型，其解法也没有标准算法，在实际应用中，需 要具体问题具体分析。鉴于动态规划计算的繁琐让人望而怯步，河海大学机械学院的叶松 年老师在动态规划在经营决策中的应用嘲中详细地分析了决策变量为连续型和离散型 情况下的最优决策方案，但计算量很大；学者尝试用计算机编程解决，江苏大学冯小虎在 论文动态规划思想在算法设计中的应用蚴给出了利用动态规划思想进行算法设计的一 般策略及其在算法设计中的一些应用；卢志文在基于动态规划的资源分配算法伽中， 给出了用髓编莉的递归调用函数。本人凭借自己在计算机方面的扎实基础，利用m a t l a b 数学软件，对动态规划资源分配、生产经营模型的求解方法做了编程，使计算大大简便， 结果更加精确、快捷，更好的推动动态规划方法在实际中的应用。编程非常详细，有利于 学者们更好的了解本人的编程思路，在实际应用中程序可以进行简化。 广告投入对产品销售量的影响越来越重要，合理的安排广告的投入也越来越重要，在 不确定的环境下为获得最大利润的最优广告投入量，据市场调查和专家分析可以得到广告 桂林工学院硕士学位论文 投入与产品销售量问的一些散点关系，通常用曲线拟合得到广告投入与产品销售量的函数 关系，一般以偏差平方和最小为标准寻求函数逼近平面上一组点的方法。最小二乘法可以 从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，以偏差平方和最小为标准寻求这组数据的 最佳函数匹配。蔡山、张浩、陈洪辉、沙基昌在基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方 法研究1 2 4 1 中提出了一种基于最小二乘法原理的分段三次曲线拟合方法，建立了三次拟 合曲线方程；基于姜启源在数学模型方向的研究，根据孙淑兰、王玉花编写的一个广告 投入对销售影响的数学模型 3 8 1 、凌征球编写的最佳广告投入的实例分析【，本文 基于前人的研究成果上，对模型加以改进，构造了产品的销量与价格的指数函数关系，通 过对函数等号两边取对数的方法将此指数函数转化为线性函数，然后通过最小二乘法加以 分析，讨论了不确定环境下的最优广告投入量。 为了调动职员的工作积极性，企业进行绩效考核，在对员工个体的考核中，根据考核 指标对不同层次员工的不同要求引入层次分析法( 五种) ，通过评定，客观地赋予考核指标 不同的权重，这样考核较能体现绩效考核的科学性、公正性和公平性。1 4 1 1 吉林大学的陈煦 研究了a h p 决策方案集合的构造与初选方法，利用功能一结构树原理和正交试验技术，确 保备选方案分布的均衡性，有利于实现方案排序与方案选择的科学性，还给出了利用功能 一结构树原理与a h p 递阶层次结构相结合分析新产品投产的可行性；n k u r u z i z a h e r m e n e g i l d e 删在不改变原有因素对准则层的影响，给出了层次分析法的改进方法；吴小 欢在 a h p 理论中关于判断矩阵一致性问题研究l 舯1 中，总结了传统a h p 在一致性检验及修 正方面的成果，并提出了一种简洁的一致性判断方法及修正方法。基于前人的研究，本人 曾在山瑗财经大学学报上发表论文桂林市发展的层次分析法综合评价，从效益和代价两 个方面分析了桂林适合发展什么产业，本文根据刘进在企业绩效考核方法研究【”j 中给 出了较为完善的绩效考核体系，对燕京啤酒( 桂林漓泉) 股份有限公司职工绩效考核进行 了系统的分析，并在此基础上对模型加以改进，给出了提高绩效应采取措施的科学分析。 在实际应用中，问题的求解是影响其理论和方法应用的关键所在，而子问题的求解和 大量结果的存储、调用更是一个难点所在，随着计算机技术的快速发展，特别是内存容量 和计算速度的增加，使求解成为可能，本文结合计算机的使用，使问题的求解变得更加容 易，从而使得数学规划的理论和方法在实际中的应用范围迅速增加。 1 2 燕京啤酒( 桂林漓泉) 股份有限公司现状 燕京啤酒( 桂林漓泉) 股份有限公司位于风景如画的漓江边上，是深受消费者喜爱的 名牌产品之一。 2 桂林工学院硕士学位论文 2 0 0 3 年，工业产值( 现价) 8 3 5 7 0 万元，总产量3 0 3 6 6 7 吨，总销量3 0 4 2 5 7 吨，营业收入7 9 3 1 8 万元，利润总额1 0 7 9 9 万元，超额完成了全年净增长5 万吨的任务， 公司成提出的五年达到5 0 万吨的战略计划，2 0 0 4 年6 月6 日新增十 万吨扩建工程、竣工投产，年产量可达6 0 万吨啤酒。 图1 1 燕京啤酒股份有限公司生产的啤酒 1 3 问题的提出与解决的方法【6 l 数学规划之所以难以与企业的实际活动相联系，原因基于以下几个方面：【q ( i ) 数学模型过于理想化，而实际问题过于复杂i ( 2 ) 编程比较困难： ( 3 ) 有些数据的统计很麻烦； ( 4 ) 计划编制者更多相信自己的经验 我们并不否认经验在企业经营活动中的重要性，它也是一种统计规律的应用，但人的 大脑只适于处理整的、简单的、少变量的、模糊的数量概念，对于企业经营活动大范围的 深入细致的数量分析，就需借助数学模型和计算机来完成。 1 4 论文研究的思路和方法 论文针对企业的真实情况与数据，利用严密的理论体系和方法，根据燕京啤酒( 桂林 漓泉) 股份有限公司的发展战略，结合本人所学的理论知识、调研情况，对公司的生产销 售、广告投入、绩责考核方面进行了研究，根据不同的管理模式，建立了相应的数学模型， 并且在m a f l a b 环境下，写出了对应的程序，定量的给出了模型的合适解。 桂林工学院硕士学位论文 如图1 2 本文研究的框架 4 桂林工学院硕士学位论文 第二章动态规划原理理论综述 动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，2 0 世纪5 0 年代初美国数学 家r e b e l l m a n 等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，针对其特点提出了著名的最优 化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，创立了解决这类问题的新方法一动态 规划，n 11 9 5 7 年1 l e b e l l m a n 发表了动态规划方面的第一本专著动态规划。 2 1 动态规划的基本概念 a ；多阶段决策问题 是指问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策， 要使整个活动的总体效果达到最优的问题。 b ：决策过程分类 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程和连续时间决策过 程；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程和随机性决策过程，因而， 动态规划的分类是离散确定型、离散随机型、连续确定型、连续随机型，其中应用最广的 是离散确定型多阶段决策过程。 2 2 动态规划模型的基本要素 叠：阶段 把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解， 描述阶段的变量称为阶段变量，常用k 表示。 b ：状态 状态表示每个阶段开始时过程所处的自然状况，它应该能描述过程的特征并且具有无 后向性，这一性质称为无后效性( 马尔可夫性) 。 用表示第k 阶段的状态变量，它可以是一个数或者一个向量，用墨表示第k 阶段 的允许状态集合，行个阶段的决策过程有n + 1 个状态变量，乱+ 。表示以演变的结果。 c ；决策 决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以做出不同的决策( 或选择) ，从而 确定下一阶段的状态。常用心( 气) 表示第k 阶段当状态处于以时的决策变量，允许决策集 合常用q ( 吼) 表示第七阶段从状态s 。出发的允许决策集合，显然有蚝仅) b ( ) 。 d ：策略 策略是一个按顺序排列的决策组合的集合，由过程的第k 阶段开始到中止状态为止的 过程，称为问题的后部子过程( 或称k 为子过程) 。由每段的决策按顺序排列组合的决策 5 桂林工学院硕士学位论文 函数序列 ”。( & ) ，甜。( j 。) 称为k 子过程决策，记为p 。( ) ， 即： p i 。( ) = u l ( 矗) ， k + l 瓴+ 1 ) ，“。( s 。) ) ， 当七= l 时，此簸略函数序列称为全过程的一个策略，记为屁。幽) ， 即：p i ( j 1 ) = 材1 0 1 ) ，“2 0 2 ) ，”。( s 。) 允许策略集合，用p 表示，从p 中找出达到最优效果的策略称为最优策略。 e ；状态转移方程 状态转移方程是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。若给定第七阶段状态 变量 的值，如果该阶段的决策变量虬一经确定，第k + 1 阶段的状态变量s 。的值也就完 全确定，即s m 的值随和的值变化而变化，记为+ l = r ( s i ，) 。 f 指标函数和最优值函数 用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标。称为指标函数。从阶段k 到阶段y i 的指标 函数用k 。表示，即： 圪一= 咯一( ，1 , 1 k ，屯+ l ，甜纠，+ 1 ) k = l ，2 ，露 h ，可表示为s k , z t ，y 0 的函数，记为： 圪 ( 占 ，甜t ，s i “，s 。+ 1 ) = 孕k 【占，“t ，k + 1 一( j + l ，s n + 1 ) 】： 其中函数纯是一个关于变量圪山单调递增的函数，这性质保证了最优化原理的成立。 过程在第_ ，阶段的阶段指标取决于状态和状态甜，用巧瓴，) 表示。阶段七到阶 段”的指标由一( r ，= 七，k + l ，栉) 组成，常见的形式有： 阶段指标和， ( 以，+ 。) = e ( s 。，虬) i 越 阶段指标之积， 吃( ，蚝，s n + 。) = n e ( s ，虬) d 吐 阶段指标之极大( 或极小) ， 圪，( 矗，1 , 1 k ，“) = m 戕巧( ，q ) o r m i i l 巧( 一，q ) ( | | j = 帕 6 桂林工学院硕士学位论文 这些形式下第k 到第，阶段予过程的指标函数为，( s k ，椎，j 。，5 。) 。 根据状态转移方程，指标函数圪，还可以表示为状态& 和策略n 。的函数，即 圪，( & ，办，) 。在& 给定时指标函数以对仇，的最优值称为最优值函数，记为五瓴) ， 即： a ( s k ) = o p t v k 瓴，a ，)见月丑，( & ) g ：最优策略和最优轨线 使指标函数k 。达到最优值的策略是从k 开始的后部予过程的最优策略，记作 最，+ = + ，“。 ，只，+ 。从初始状态q = q 出发，过程按照丑。和状态转移方程演变 所经历的状态序列“，s 2 ，s n + l 称最优孰迹。 2 3 动态规划的基本思想和基本方程【1 6 】 2 3 1 动态规划逆序解法的基本方程： 设指标函数是取各阶段指标和的形式，即： = 王v i i ( s ，, ) ； 其中巧( 丑，虬) 表示第i 段的指标，它显然是满足指标函， 坎，l = 唯o l ，t ) + k “m d l “，s n “】； 指标函数最初始状态和策略的函数，可记为圪，【，最，( ) 】， 故上述递推关系又可写成 圪，陂，最，o i ) 】= ( ，畋) + k + l ，f + i ，p t + 抽】； 其子策略儿。( 吼) 可看成是由决策( & ) 和足+ l n ( s 。) 组合而成，即： p i 。； ( & ) ，b + h ( s ) ； 如果用p + 。，表示初始状态为吼的后部子过程所有子策略中的最优子策略，则最优值函数 为； 五( 气) = k ， s k ，p + i 。( ) 】= o p t v t 气，见月( ) 】； 而 7 桂林工学院硕士学位论文 o p t v k 。( & ，p k ，。) = o p t k ( ，) + 圪“，( & + l ，p k + l ，) ) = o p t u i ( s k ，蚝) + o p t 圪“， | u k p k + l ，ja h l 但 五“( s k + 1 ) = o p t 攻山( s k + l p k + 1 。) n “。 所以 ( s t ) = o p t 【k ( 8 k , u i ) + 五十i ( s k + 1 ) 】 后= r , 刀一1 ，1 边界条件为丘。( s 。) = 0 。 2 3 2 动态规划顾序解法的基本方程： 假定阶段序数k 和状态变量& 的定义不变，而改变决策变量蚝的定义，如取 甜。p 。j = ，则这是的状态转移不是由吼、蚝去确定s 州，而反过来由s 。、去确定， 则状态转移方程一般形式为 s = t ：f s k n u k ) 因而第k 阶段的允许决策集合也应作相应的改变，记为d ：豳。j ，指标函数也应换为以s 。 和的函数表示， 五( & “) = o p t v k ( s k “，巩) + 以一l ( s a ) k = 1 , 2 ，疗 心t 磁札n ) 边界条件为五( 墨) - - 0 ，其求解过程根据边界条件，从k - - 1 开始，由前向后顺序推，逐步 可求得各段的最优策略和相应的最优值，最后求出z ( 毛+ 。) 时，就得到整个问题的最优解。 2 4 动态规划的最优性原理和最优性定理 动态规划的最优性定理：设阶段数为刀的多阶段决策过程，其阶段编号为 k = o l ，n - 1 ，许策略p o ，_ = o ，甜气，甜气一。) 是最优策略的充要条件，是对任一个k ， 0 k ； 冉j 哪l 却j凡 d e ，d u j 式中p o ，- = ( p o , k - i , a 川) ，s = 瓦- 1 ( - 1 ，蚝一i ) ，它是由给定的初始状态和子策略p o 川所确 定的k 阶状态。当v 是效益函数时，o p t 取m a x ；当矿是损失函数时，o p t 取r a i n 。 8 桂林工学院硕士学位论文 对于s 气= 瓦一，o 气+ “：o k 一。) 为起点的k 到- 一1 子过程来说，必是最优策略( 注意：k 段状态s + 。 是由和p 气。确定的) 。 2 5 动态规划算法的基本步骤 a ：将问题的过程划分为恰当的阶段； b ：正确选择状态变量，使它既能描述过程的演变，又要满足无后效性； c ：确定决策变量也及每阶段允许决策集合见瓴) ； d ：正确写出状态转移方程； e ：正确写出边界条件； f ：正确写出指标函数。的关系，它应满足下面三个性质： ：是定义在全过程和所有后部子过程上的数量函数； ：要具有可分离性，并满足递推关系，即 吃( ，& + 1 ，s n + 1 ) = 纯k ，圪m ( s ，“，s ) 】； ：函数仇( 吼k 。) 对于变量吒“。要严格单调。 9 桂林工学院硕士学位论文 第三章动态规划在资源分配中的应用 所谓分配问题就是将数量一定的一种或若干种资源恰当地分配给若干个使用者，而使 目标函数最优。 图3 1 漓泉啤酒酿造过程 燕京啤酒( 桂林漓泉) 股份有限公司有4 条主要的生产线，机器可以在高、低两种 不同的负荷下进行生产，在高负荷下一套生产线可用1 0 年多，通过实际调研可以假设，机 器的完好率为a = o ，9 0 0 ，每年生产啤酒6 0 万吨多，则每套机器每年生产的产量为6 0 + 4 = 1 5 ( 万吨) ，产量函数为g t = 1 5 u k ( 吒为投入生产的机器套数) ；低负荷下一套生产线可用1 5 年多，机器的完好率为b = 0 9 3 3 ，每年生产啤酒5 2 万吨多，则每套机器每年生产的产量为 5 2 + 4 = 1 3 ( 万吨) ，则产量函数为g ：= 1 3 v k ( 屹为投入生产的机器套数) ，在每年刚开始时决 定如何重新分配机器在两种不同负荷下工作，使产品十年的总产量最高。 3 1 始端固定终端自由的最优策略m ， 引理3 1 ： s k 为状态变量，它表示在第k 阶段可投入4 、占两种情况下生产的资源量， 为狭策变量它表示在第七阶段用于爿情况下生产的资源量，则& 一以表示用于雪情况 下生产的资源量； 状态转移方程为3 = a u t + b ( s t u t ) ： 最优值函数五瓴) 表示有资源量& 从第k 阶段至第疗阶段采取最优分配方案进行生产 后所得到的最大总收入，逆推关系式为： 1 0 桂林工学院硕士学位论文 正( 5 一) - 。m ；m a x g ( “一) + g z ( 3 “一“n ) 工( 5 t ) 2 。m ；。a ；x 。 g 一( h ) + g ：( 一“t ) + 五+ - 【删+ b ( s k 一“) 】) k = n - 1 ，2 ，l 则正o ，) 为所求问题最大总收入 引理3 2 ：设蜀( 工) 与9 2 ( j ) 为凸函数，对固定的x ，f ( y ) = 蜀+ 岛o y ) 为y 的凸函 数。 引理3 3 ：设互( 工) 五( 工) 为x 的凸函数，则，( 力= m 毅( e ( n e ( 砌也是x 的凸函数。 引理3 4 ：设蜀( 力，岛( 的为凸函数，且蜀( o ) = 岛( o ) = o ，则每阶段分配问题的最优策 略y 在每个阶段总取【0 ，x 】的端点值。 证明：因z ( x ) = m a x ( g ( x ) ，9 2 一y ) ) 。 由假设与引理3 i ，蜀( y ) + 9 2 一) ，) 对固定的x 为y 的凸函数，其最大值y = o 或y = x 处 达到，故得： 石( x ) = m a x ( g i ( 工) ，9 2 ( x ) ) ； 由引理3 3 知z o ) 为x 的凸函数，f l ( a y + b ( x - y ) ) 亦为y 的凸函数， 于是： l ( x ) = m a x ( g l ( 力+ 9 2 ( x 一) ，) + a ( a y + b ( x y ) ) = m a x ( 9 2 ( 纠+ 石m ) ，g l + f d a x ) 】： 因此，五( 功也是x 凸函数。 3 2 模型的建立 设阶段序数惫表示年度； 状态变量黾为第k 年初拥有的完好机器数量，同时也是第七一1 年度末时的完好机器套 数； 决策变量为第露年度中分配高负荷下生产的机器套数，于是& 一蚝为该年度中分配 在低负荷情况下生产的机器套数； 桂林工学院硕士学位论文 这罩s 和“。均耿连续变量，它们的非整数值可以这样理解：如，& = 0 8 ，就表示台 机器在七年度中工作时间只占- s i o ；吨= o 3 就表示一台机器在该年度中只有3 l o 的时 间能在高负荷下工作。 状态转移方程为： 吼+ j = a u t + b ( s i 一” ) = 0 9 0 0 u k + o 9 3 3 ( s + 一“i ) | | = l 2 ，1 0 ( 3 1 ) k 段允许决策集合为： 砬( ) = 函t 0 s 。s j ( 3 2 ) 设“。( ，u 。) 为第k 年度的产量，则： 甜i ( s i ，“i ) = 1 5 u i + 1 3 ( s 一”t )( 3 3 ) 故指标函数为： 1 0 巧= 以( ，) ： ；l 令最优函数五( ) 表示由资源& 出发，从第k 年开始到第1 0 年结束时所生产的总产量 最大值，因而有逆推关系式： 五( ) = 。叠鬣) 1 5 + 1 3 ( 文一) + 五“瓴“) ) 。船x ) ( 1 5 心+ 1 3 ( 一心) + 以+ l 【o 9 0 0 + o 9 3 3 ( - - u k ) 1 1 k = 1 ，2 ，1 0 边界条件为： 厶( s 。) = o ， l o l i ) = 0 ； 从第1 0 年度开始，向前逆推计算。 当k = 1 0 时，有： 工。( 5 ”) = 。锄m 。a 。x 。 1 5 ”i o + 1 3 ( 5 ，。一。) + z - ( 。1 ) ) 2 。霉警。 1 5 。十1 3 ( 5 旷材l 。) ， = m a x 2 u ，o + 1 3 s i o )( 3 4 ) 0 s u n i _ “ 1 2 桂林工学院硕士学位论文 因 。是“一。的线性单调增函数，故得最大值，“气。：。 相应的有：。詹r 。，。j 5 s ：。； 当k = 9 ，有： 。石向，= 。m s l i a ：x 。 1 5 u 9 + 1 3 ( s 9 一峋) + 石。( s - 。) 2 。m 铷a 岛x 1 5 u 9 + 1 3 9 一u g ) + z 。 0 9 0 0 u 9 + 0 9 3 3 q 9 一“9 ) 】) = 。m 鱼。a s x 如 1 5 + 1 3 ( 岛一) + 15 e o 9 0 0 嘞+ o 9 3 3 q 一) 】 。溉 1 5 + 2 7 5 ，) ( 3 5 ) 故得最大解，“= s ， 相应的有f 9 ( s 。) = 2 8 5 0 s ，。 3 3m a t ia b 程序的编写( 2 s - 3 0 i 2 l 】 动态规划的模型计算比较麻烦，可以用数学软件来实现，此动态规划问题程序如下： f u n c t i o ny = d y n a m i c m a x ( v , s _ n e x t ，v a l u e _ f i r s t ，n ，s t r ) 此函数是求动态规划逆序递推最大值 逆序递推的基本方程为： f k ( s k 】) = m a x ( v k ( s k l ，u k 】) + f k + i i ( s k + 1 1 ) ) 终端条件：f 【i l + l 】( s n + l 】) = 0 式中： s k + l 】= t 【k ( s 【k ，u k 】) 为状态转移方程 其中：s ( k 】为状态变量，u 【k 】为决策交量 采用一个多参量列表函数，为d y n a m i c m a x ( v , s _ n e x t ，v a l u e _ _ f i r s t ，n ，s t r ) 其中：v 为效益函数，sn e x t 为状态函数( 其中用s 来表示状态变量，u 表示决策变量) v a l u ef i r s t 为起初量，n 为阶段数目 s 拄是字符变量( 字符i n t 表示状态量和决箢量是整型的情况，字符f l o a t 表示状态量和决策 量可以是浮点型的情况1 请注意以上的说明，否则函数可能就无法运行，或则运行结果不符合 s u m = o ； a = o ： b = z e r o s ( 1 ，n ) ； 桂林工学院硕士学位论文 s y n k ssx f = s y m ( 0 ) ； v = s y m ( v ) ； f o r k - - n ：1 ：l a = v a l u e ( v , f ) ； 调用子函数v a l u e b o k ) = a ； u _ v a l u e = s t r c a t ( n u m 2 s t r ( a ) ，”s 3 ； f = - v + f ； f = s u b s ( f , u _ v a l u e ，x ) ；s u b s 0 函数的作用是替换变量( 下同) 替换x 的值 f = s u b s ( f , s _ n c x t ) ； e n d e n d f o r 循环 求解每阶段的效益 s p r i n t f ( 起始状态量为f 、d ，v a l u e _ f i r s t ) 。 f o r k - - 1 ：n u _ v a l u e = s t r c a t ( n u m 2 s t r ( b ( 1 ，k ) ) ，”s ) v l = s u b s ( v , u _ v a l u e ) ； 替换x 变量 v 2 = s u b s ( v 1 n u m 2 s t r ( v a l u e _ f i r s 0 ) ； 替换u 变量 vv a l u e - - - d o u b l e ( v p a ( v 2 ) ) ；v p a 函数求值无自由变量的数值表达式的值 状态量与决策量只能取整数的情况 i f ( s t r c m p ( s t r , i n t ) ) 一1 u j a l - b ( 1 ，k ) + v a l u e _ f i r s t ； 需要取为整型 u _ v a l - - r o t m d ( u v a l ) ； s l m = s u m + vv a l u e ； 计算下年的决策量 sn e x t t r a n = s u b s ( s _ n e x t ，n u m 2 s t r ( u _ v a l ) ) ； sn e x t t r a n = s u b s ( s _ n e x f f r a n , n u r n 2 s t r ( v a l u e _ f i r s t ) ) ； v a l u e _ f i r s t = d o u b l e ( v p a ( s _ n c x t t r a n ) ) ； 需要取为整型 v a l u e _ f i r s t = r o u n d ( v a l u e _ f i r s t ) ； e n d 状态量与决策量可以取浮点数的情况 i f ( s t r e m p ( s t r , 。f l o a t ) ) = = l u _ v a l = b ( 1 k ) + v a l u e , f i r s t ； s l a l t i = $ 删手虼r a l u e ； 印r i n t 坟第d 阶段的效益为f i ，k v j a l u c ) 计算下一年的决策量 桂林工学院硕士学位论文 s - n e x t t r a n = s u b s ( sn e x t ，n u m 2 s t r ( uv a l ) ) ； s n e x t t r a n = s u b s ( sn e x t t r a n ，n u m 2 s t r ( v a l u e f i r s t ) ) ； v a l u e _ f i r s t = d o u b l e ( v p a ( s _ n e x t t r a n ) ) ； e n d s p d n t f ( 、i l 第d 阶段的决策量茭3 t , k , u _ v a l ) s p r i n t f ( 、】n 第d 阶段的状态量为p ，k + 1 ，v a l u e _ f i r s t ) e n de n df o r 循环 s p r i n t f ( t 1 1 k n 最优效益f l ( s p - p ，s u m ) e n df u n c t i o nd y n a m i c f u n e t i o n 子函数v a l u o f u n c t i o ny l = v a l u e ( v , n s y m s xs v a n d f = v + f ； s y m s 函数创建符号表达式 v f d i f f - - d i f f ( va n df , x ) ；d i f f 函数对表达式求导数，这里对u 求导数 用t r y c a t c h e n d 可以处理产生没有根的情况 t r y r o o t s t r i n g = s o l v e ( s u b s ( v t d i f f , 1 0 ，s ) ) ；s l o v e 求解表达式的根，结果是表达式 r o o t _ v a l = d o u b l e ( v p a ( r o o t s t r i n g ) ) ； r t r 2 = s i z e ( r o o t _ v a l ) ； s i z e 求解矩阵的维数 c a t c h t r y 有错误，即调用c a t c h 语句 r l = l ： r o o t v a l = 【o 】； e n d v a n d t t r a n = s u b s ( va n df , 1 。o ：s ) ； v a l u e _ 0 = v p a ( s u b s ( v 二a n dt t r a r t , 0 o x ) ) ； m a x f = d o u b l e ( v a l u e _ 0 ) ； y l = o ； f o r k = l ：r l v a l u e _ r o o t = v p a ( s u b s ( va n d _ t t r a n , r o o t _ v a l ( 1 ，k ) ，x ) ) ； v a l u e _ _ r o o t = d o u b l e ( v a l u e _ _ r o o t ) ； i f r o o t _ v a l ( 1 ，k ) 2 l & r o o t _ v a l ( 1 ，k ) x = o i f m a x f o ，a 6 ) ，年完好率分别是口和b ，则应用上例相似的办法 可以求出最优策略。 本论文对燕京啤酒( 桂林漓泉) 股份有限公司生产设备进行了终端自由的优化与不采 用优化模型的生产能力进行了比较。 袁3 1 ：生产能力的比较单位( 万吨) 年度高负荷低负荷优化后 6 0 5 4 4 8 6 0 4 3 7 4 3 9 3 7 3 5 4 3 3 1 8 9 5 2 4 8 5 2 4 5 2 7 4 2 2 3 3 9 4 0 3 6 7 6 3 4 3 0 1 6 5 2 4 8 5 1 6 4 5 2 6 6 4 2 2 3 3 3 9 4 0 3 4 2 4 9 3 8 1 7 7 桂林工学院硕士学位论文 合计3 9 0 8 13 8 7 9 24 0 1 1 2 6 可见优化后比高负荷下可多产4 0 1 t 2 6 3 9 0 8 1 = 1 0 3 1 6 ( 万吨) ，每吨按2 0 0 5 年销售 价2 0 1 4 9 6 元吨，折合2 0 7 8 6 3 2 7 万元；比低负荷下多产4 0 1 1 2 6 3 8 7 9 2 = 1 3 2 0 6 ( 万吨) ， 折合2 6 6 0 9 , 5 6 1 万元，说明优化模型的正确，对生产计划具有指导作用，可作为指定年度计 划的重要依据。 1 7 9 3 o弘蛇昭弭鹊跖弛凹