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商务数学及统计（试用教材选讲）四川天一学院基础部数学教研室商务数学及与统计教材编写组第一章 利息与年金11 计算利息的要素一、本金 二、利率三、存期与计数期12 计算利息的一般方法 一、单利二、复利三、实际年利率四、贴现13 年金 一、普通年金的概念 二、普通年金的计算 1 年金的终值 2 普通年金的现值14 利用进行利息、年金的计算一、简介二、的启动与基本操作三、的怪癖四、运算符号的表示法和输入五、N函数第一章 利息与年金利息也称“利金”、“子金”，是借款者向贷款者支付的超过本金的部分。如果你到银行存款，银行会支付一定数额的利息给你。同样，当你从银行贷款，你要支付贷款利息给银行。利息就是使用资金的成本，对于一个企业或公司，在商务活动中，需要通过各种方式向金融机构筹资，要想降低使用资金的成本，就必须研究利息的计算方法。11 计算利息的要素一、 本金本金俗称“母金”，是指贷给别人或存入银行用来孳生利息的原始资金。二、 存期与计息期 存期是指存款在银行或其它金融机构存储的时间，若是贷款，就是指贷款期限。而计息期是指贷款合同规定的相邻两次计算利息的间隔时间。如一年计息一次，每季计息1次，每月计息一次等。例如，某企业向财务公司贷款10000元，三年后归还。双方商定年利率12%。每半年计息一次。那么，该笔贷款的贷款期限是3年，计息期为半年。三、 利率利率是指在一定时期内，利息与本金的比率，即。例如，年初贷款1000元，到年底还款1100元。这笔贷款的本金为1000元，利息为100元，利率为10%。利率的种类有：1、 法定利率与市场利率。法定利率是指中央银行直接制定的基准利率，称官方利率；市场利率是指由金融市场供求关系决定的利率，由借贷双方商定。短期利率与中长期利率。短期利率是指资金借贷期限在一年以内的利率；中长期利率是指资金借贷期限在一年以上的利率。年利率与计息期利率。年利率是指贷款一年所付利息与本金的比率，；计息期利率是指一个计息期内的利率。二者的关系是。例如，某笔贷款的年利率为12%，合同规定每个季度计息一次，那么计息期利率是季利率。一年有4个季度，计息4次，所以计息期利率即。又若该笔贷款合同规定每月计息一次，则计息期利率是月利率。一年为12个月，计息12次，所以计息期利率即。实际年利率：实际年利率是指实际支付的利率与另外两种利率相比较而具有的实际意义。其一，与名义利率相比较。名义利率也称货币利率，它是没有考虑物价上涨的因素，由中国人民银行规定的法定利率。实际利率是指剔除物价上涨因素后的实际利率水平，它等于名义利率减去物价上涨率。例如，某人贷款1000元，一年后本利和为1100元，而这一年物价上涨8%。那么，该笔存款的名义利率是10%，而实际利率是10%8%=2% 。 其二，与合同规定的年利率相比较。如果计息期是季、月或周，由于计息次数增多，就会使实际支付的年利息比合同规定的利息要多，实际年利率会高于合同规定的年利率。1-2 计算利息的一般方法一、单利1单利的概念定义1-1 单利也称单息，指每个计息期的利息都以初始本金作为计息基础，是一种最简单的计息方法。例1-1 某人投资1000元购买3年期的企业债券，该债券年利率为10%，按单利计算，3年后可获得利息多少元？解：投资期3年，每年计息一次，获得的利息如下：时间本金年利率利息第一年100010%100元第二年100010%100元第三年100010%100元3年后共获得利息300元，本息和共1300元。一般地，单利计算公式为I = PRT （11） 其中：P为初始本金，R为计息期利率，T为计息期期数。例如上例中，本金P = 1000元，年利率R = 10%，期数T = 3，利息总额I = 10010%3 = 300(元)。例1-2 某企业以年利率8%向银行贷款15000元，300天后企业就及时还贷。试计算这笔贷款应支付多少利息？解：该贷款本金P = 15000元，计息期利率即年利率R = 8%，计息期期数（一年以360天计），。即该贷款在归还本金之外还应支付1000元利息。 单利的终值和现值定义1-2 在一定时期后的本金与利息之和，称为终值或将来值，记为A。即 ，在单利记息前提下，由公式1-1有： （1-2）例1-3 某人用20000元作一项为期18个月的投资。该投资的年利率为，按单利计算，问该投资到期的终值为多少元？解：本金，年利率，投资时间。即该投资的终值为22250元。例1-4 某人用5000元购买投资债券，3年后得到本息总额6650元，按单利计算，试求该债券的年利率。解：终值，本金，计息期数。由有。即该债券的年利率为。 3单利的现值当年利率为10%时，现在存1000元，1年后的价值是1100元。反过来考虑，一年后的1000元，现在的价值是多少呢？这就是资金的现值问题。定义1-3 一定时期后，一定的资金在现在的价值，称为该资金的现值，记为P。在单利计息的前提下，由公式（1-1）及（1-2）有： （1-3）例1-5 某家长计划存一笔钱，3年后儿子读大学用。已知存款的年利率是4%，按单利计息。若3年后所需费用为40000元，问现在应存多少钱？解：该问题为求3年后的40000元在现在的价值，已知即现在应存35714.3元。例1-6 已知年利率为5%，按单利计算，想要把8000元变为10000元，需要存款多少年？解： A = 由有（年）即需要存5年。二、复利定义1-4 从第二个计息期开始，计算每个计息期的利息，都以该计息期的前一个计息期的本利和为基础，即将前一个计息期产生的利息加上前一期的本金后再计算利息，称为复利计息法，简称复利，俗称“利滚利”。例1-7 某人投资1000元购买3年期的企业债券。该债券年利率为10%。每年计息一次，按复利计算，3年后可获得利息多少元？解：按投资3年，每年记息一次，获得利息如下表： 表12时间期初本金（元）利率利息（元）期终本息和（元）第一年底100010%1001100第二年底110010%1101210第三年底121010%1211331表1-2即三年后可获得利息331元。与例1-1的单息相比，多获得31元利息。由此可见，相同本金在相同利率、相同期限的前提下，按复利计算的利息比按单利计算的利息要多。一般地，当本金为P，计息期利率为r，计息次数为n，各期的利息及期终本息和如下表： 表13时间期初本金利率利息期终本利和第一期第二期第三期第期第n期末的本息和 。 （1-4）说明：1. n是整个存期内的计息次数，。2 r为计息期利率。3 A为到期本金与利息的总额，即本息和，也称为复利的终值（或将来值）。与复利终值A相对应的初始本金也称为该终值的复利现值。例1-8 某人用10000元投资一项为期5年的项目，年利率为10%，试求：（1） 按一年复利一次，到第5年末的终值是多少元？（2） 按一月复利一次，到第5年末的终值是多少元？ （3） 按两周复利一次，到第5年末的终值是多少元？解：（1） 本金P=10000元， 一年复利一次，n=5，计息期利率（即年利率）r=10%。（元）。 一个月复利一次，计息次数， 年利率10%，计息期利率（月利率。所以第5年末的终值 。 每2周复利一次，计息次数， 年利率10%，计息期利率（两周利率）。所以第5年末的终值 。从上例可以看出，按复利计息方式计息时，在本金、年利率、投资期限相同的条件下，计息期越短，计息次数就越多，终值也就越大。例19 某人四年前在银行存了一笔钱，年利率，这笔钱现在的价值是705.82元，问他当初存了多少钱？解： 这是求资金现值的问题.终值。由（元）。可知四年前的存款为500元，即现在的705.82元在四年前的价值是500元。 例110 若银行的利率是7%，按单利和复利分别计算，各需多少年才能使终值超过本金的2倍？ 解： （1） 按单利计算， 设本金为P，n年后的终值为A，若n年后终值超过本金的2倍。即有 由公式（12），即 将代入上式 得到 。 年数按整数计算，可知15年后初始本金可翻一番。（2） 按复利计算，若n年后的终值A超过本金P的两倍，由公式（14） 将代入上式得 。由此可知，11年后本金可以翻一番。三、实际年利率 从例 1-8的计算结果中，可以看出，在年利率固定的情况下，按复利计息，当缩短计息期，一年中多次计息，就会增加利息，使终值增大，从而使实际年利率高于固定的年利率，我们来看下面的例子。例111 某企业急需10000元流动资金，财务公司可提供这笔贷款。贷款年利率为15%，但必须每周复利计息一次。问一年后该企业实际支付的年利率为多少？解： 本金P=10000元，每周复利一次，一年有52周，记息次数，年利率为15%，周利率，一年后需要还款 所支付的利息。该笔贷款的实际年利率 ，比名义利率15%高1.131个百分点。四、贴现 引例 若银行存款的复利年利率为7%，我们存入100元，一年后可得107元。从相反的角度考虑，一年后的107元，现在的价值是100元。假定复利利率不变，5年后的100元现在的价值P是多少呢？现值利率5年后的终值P7%100由公式（14）有 所以 即5年后的100元，现在的价值是71.3元。定义15 票据持有人，为了在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到剩余的现金。这种银行向持票人融通资金的方式，称为贴现。贴现计算公式如下： （15）其中A表示第n年后到期的票据金额，r表示贴现利率，P表示进行票据转让时银行现在付给的贴现金额。 贴现是银行的一项资产业务，票据的支付人对银行负责，银行实际上与付款人之间有一种间接的贷款关系。 贴现的利率是市场价格，由双方协商确定，但最高不能超过现行的贷款利率。值得注意的是这里所说的票据与存款的存单是不同的。票据到期只领取票面金额，没有利息，而存单到期除领取存款外，还要领取相应的利息。例112 某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是500元，两年后到期的金额是800元，五年后到期的金额是2000元，已知银行的贴现率为6%。现将三张票据向银行作一次性的转让，银行的贴现金额是多少？解： 由公式（15），贴现金额为 即银行的贴现金额为2678.21元。练习 111 如果1000元存入银行，单利年利率为9%，那么5年后得到的本利和为多少？2 如果用1000元做投资，4年后获得利息300元，那么该投资的单利年利率为多少？3 以6%的单利年利率，将2000元增长到2600元将要多少时间？4 用每年10%的复利利率投资，投资500元，4年后的价值是多少？5 按复利年利率10%计息，按季计息，如果5年后想得2500元，现在应该存入银行多少 钱？6 某人手中持有一年到期的面额300元和5年后到期面额为700元的两张票据，银行贴现为7%，若去银行进行一次性票据转让，银行可给付的贴现金额是多少？年金一 、 年金的概念1年金的定义定义1-6 一系列的在相等时间间隔上进行的支付的款项，称为年金。现实生活中，年金运用广泛。例如银行业务种类中的零存整取、整存零取、消费信贷分期付款以及保险领域中的养老金给付、房屋租金等都属于年金的形式。 2年金的种类付款时间间隔相等、付款额度相等、而且计息频率与付款频率相等的年金称标准年金。收入或支付的时间均为每期期末的年金，称为普通年金。收入或支付的时间均为每期期初的年金，称为预付年金。永续年金是指无限期的定期支取的年金，如养老金，只要受养人未死亡，就持续按月领取养老金，就属于永续年金的形式。二、年金的计算 1.年金的终值引例 如果你每月底存100元，年利率12%，按复利计算，到第4个月底你的账户里有多少钱呢？年利率12% ，则月利率为1% ，按复利计算，每个月底存的100元，到第4月底的本利和如下图所示：100100到第4个月底的账户的资金总额 定义15 在一定时期内，将每期期末的年金，按复利计息到最后一期的期末，各期年金本利和的总值，称为普通年金的终值，计为。 引例中，将4个月月底的100元年金本利和汇总，得到的464.1元，就是该普通年金到第4个月月底的终值。一般地，若普通年金为P，每期的利率为r，第n期末该普通年金的终值为Z，则Z的计算公式为：利用等比数列求前n项和公式化简，得到 。 （16）例 113 每年年底存入资金5000元，年利率8%，问3年后账户里有多少资金？解： 这是一个求年金终值的问题， 即3年后，账户里面共有资金16230元。公式15中的因式称为普通年金终值因子，记为。经济含义是，当每期利率为，现在的1元钱到第n期期末的价值。为解决计算的繁难，我们按和的不同取值，构造普通年金终值因子表，使用时由n和r的取值从表中查出的值，与年金相乘，即得年金终值。 （17）例114 每年年底存入资金1000元，年利率8%，求5年后账户里有多少资金？解： 因为年金P=1000元，.年利率8%，n=5 ，查表得 =5.867由公式（16）得 。即5年后账户的资金为5.867元。 例115 某个体经营企业主为自己建立了一个养老基金账户，他决定每年年底存入5000元，若银行利率为6%，并保持不变，问15年后他的养老基金账户中有多少钱？ 解： 这是一个年金，年利率查年金终值因子表有。即15年后他的养老基金账户中有116380元。 例116 某人每月存入400元，计划15年后使用，已知银行零存整取的年利率为6%，问15年后他的账户里有多少资金？ 解： 这是一个已知普通年金求普通年金终值的问题。由于，已无法查找，只能利用公式（16）直接计算。即15年后他的账户里有116327.48元资金。二、普通年金的现值引例 某人计划在今后的4年中，每年年底都能从银行支取500元，已知年利率为10%，问现在应该一次性存入多少钱？如图所示：若第一年年初存入元，使第一年年底领500元，由 有若第二年年初存入元，使第二年年底领500元，由有。若第三年年初存入元，使第三年年底领500元，由有。若第四年年初存入元，使第四年年底领500元，由有。所以，这个人现在应该一次性存入的资金为此例中讨论的是在年利率为10%，支付期期数为4次的情况下，普通年金500元所对应的现在的价值为1584.933元。定义16 在一定时期内，每期期末等额收支的现值之和，称为普通年金的现值，记为X, 利用等比数列求前n项和公式化简得到 （17）这就是普通年金现值的计算公式。公式中的因式称为普通年金现值因子，记为.经济含义是，当每期利率为r，第n期末的1元钱现在的价值。按n和r的不同取值，算出的值，构造出普通年金现值因子表，求年金现值时，由n和r的从表中查出的值，与年金P相乘，即得年金现值。 （18）例117 一位爱国华侨计划在今后10年内，每半年捐资20000元扶助贫困学生。若银行的年利率为2%，问该华侨现在应该一次性存入银行到少钱？解： 这是一个求普通年金现值的问题。半年期利率，查普通年金现值因子表， Z = P = 2000018.046 = 360920（元）.即该华侨现在应存入360920元。例118 老张贷款买房，已知贷款年利率为12%，每月还款1290.66元，贷款期限9年，试问老张的贷款金额是多少？解：,即老张一次性贷款85000元.14 利用Mathematica进行利息 、年金的计算在前面的学习中，有些数据的计算是非常困难的，如当n较大，而r较小时，无法直接计算。构造因子表也只能查出有限的数据。利用Mathematica可以很容易解决上面的计算难题。一、Mathematica简介计算机是应数值计算的需要而诞生的。今天，计算机已从单纯的数值计算功能发展到文字处理、数学推理、图形变换等功能，使人类的工作效率及生活水平得到不断提高。Mathematica是美国伊利诺大学教授Stephen Wolfram负责研制的一个著名的数学软件，是一种功能强大的数学计算、处理和分析的工具，能够完成符号运算、数学图形绘制、甚至动画制作等多种操作。二、Mathematica的启动与基本操作1 启动：系统安装好以后，双击Mathematica图标即可启动软件系统，屏幕出现Mathematica工作窗口。2 基本操作（1）在窗口直接键入指令。如，窗口显示 表示第一个输入指令，由计算机自动生成。（2）按Shift+Enter键，输出计算结果。表示第一个输入指令的计算结果，仍由计算机自动生成。三、Mathematica的怪癖1 区分字母大小写：所有的Mathematica命令及函数名称都以大写字母开头。为了避免冲突，用户自定义符号用小写字母开头。2 不同的符号有不同的用途（1） 方括号用在函数参数指定中：如Sinx不是Sin(x) 。 （2） 圆括号表示分组：如输入为：（2+3）4）/（5*7）8），不能用中括号。（3） 大括号表示列表，如1，2，3，4。3 自然对数的底数是E而不是 e，表示为pi 。4 多项式按升幂排列，如。5 数的分类有点特殊，将数分为两类：（1） 精确数：包括整数如5、19；分数如；无理数如等。凡在指令中未指明有效数字的个数，系统输出的结果就为精确数。（2） 实数：指近似数，用有效数字个数表示精确度。四、运算符号的表示法和输入+ 、 、* 、/ 、 分别表示加 、减 、乘 、除 、乘方的运算，开方可以表示成分数指数，如上述运算的先后顺序与数学完全一致。Mathematica4.5及5.0版本都有数学符号模板，也可点击模板中的你所需要的符号，将表达式直接