第13章 一元函数微分学II.doc

135函数的单调性与极值 l 单调准则：(1) f(x)单调递增当且仅当f(x)0;(2) f(x)单调递减当且仅当f(x)0.确定f(x)单调区间的步骤：Step1: 确定定义域(可省略)；Step2: 求f(x)=0与f(x)不存在的点;Step3: 用Step2中的点划分定义域，并用f(x)在这些区间上的符号确定单调性。例1 求的单调区间。l 极值的判定l 极值的必要条件：设f(x)在处可导并取得极值，则由此知，函数的极值点只能是不可导点或者稳定点(即满足f(x)=0的点).由单调区间可直接确定极值点，这就是l 几何判别法(第一充分条件)：连续函数的单调区间的结合点是极值点。例2 求下列函数的单调区间和极值点：(1) (2) l 代数判别法(第二充分条件): 设则是极值点，且当时是极大值点，当时是极小值点。(理解极值判别法的最好最简单的例子是.) 例3 求的极值。 l 最大值与最小值(最值)最值=极值+端点处的值。特别注意：如果函数只有一个极值点，则该极值点必然是最值点。例4 求在区间-3，4上的最大值与最小值。例5 设a1,x-1,证明: 136 曲线的凹凸性、拐点与渐近线l 曲线f(x)是凹(凸)的如果f(x)0 (f(x)0).l 最简单也是最好的例子仍是l 凹凸区间的连接点称为拐点。拐点只能是满足f(x)=0的点或者二阶导数不存在的点。例6 试求的凹凸区间。l 渐近线：在无穷远处与f(x)无线接近的直线。一般分为垂直渐近线，水平渐近线和斜渐近线(不考)。l 垂直渐近线：如果,则x=a是一条垂直渐近线。如，x=0是的一条垂直渐近线。l 水平渐近线：如果,则y=c是一条水平渐近线。如，y=0是的一条水平渐近线。例7 求下列曲线的渐近线：(1) ; (2) 137 常考题型与解题技巧例13.1 若则 .A.0 B. 6 C. 36 D.不存在解 由于题目对的限制仅有，故使用特殊值法，令，可得，所以故选C. 本题如使用传统方法，则极困难，请大家试解之。(以下例题均按照清华教材编号，第181页.)例12.11.1 设存在，则 。A. 一定不存在 B. C. 3 D.分析：D明显错；特殊值法，取f(x)=0可知A错.但B与C仍不能区分；故再取f(x)=x,可杀B。本题应理解为普遍的理论。例12.11.2 设函数其中f(x)在x=0处可导，f(0)0,f(0)=0,则x=0是F(x)的 。A.连续点 B.可去间断点C.第一类非可去间断点 D.第二类间断点分析：特殊值法。取f(x)=x即可。但f(x)/x是著名条件，需掌握一般理论。例12.11.3 设f(x)在x=a点连续，F(x)=|x-a|f(x), 则F(x)在x=a处 。A.间断 B.连续但不可导C.可导 D.可导性与f(x)有关分析：特殊值法.取f(x)=0可杀A,B;取f(x)=1可杀C.例12.11.4 设处处可导，则有 .A.a=0,b=2 B.a=0,b=1C.a=1/e-1,b=2 D.a=e-1,b=1例12.11.5 设则f(x)在x=0点 。A.间断 B.连续但不可导C.可导但导数在x=0点不连续D.可导且导数在x=0点连续例12.11.6 设在x=1处可导，则 。A.a-1 B.-1a0 C.0a1例12.11.7 设f(x)在(-a,a)内满足,则x=0必是f(x)的 。A.间断点 B.连续但不可导点C.可导且f(0)=0 D.可导但f(0)0分析：特殊值法。取f(x)=0可杀A,B,D.例12.11.8 设其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处 。A.极限不存在 B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导分析：特殊值法。取g(x)=0,可知A,B错；略加计算可知C错。例12.11.9 设f(x)可导且满足则曲线y=f(x)在x=1.处的切线斜率为 。A.2 B.-2 C.1/2 D.-1分析：即使此类题也可能使用特殊值法。因为满足条件的f(x)中最简单的就是f(x)=ax,明显地，a=-2.例12.11.10 (黑板画图)例12.11.11 设则y= .A. B. C. D. 例12.11.12 设则 。A. -6 B.-6ln2 C.6ln2 D.6分析：A与D明显错，为什么？例12.11.13 设f(x)可导，y=f(x)arctanf(x),则dy= .A. B. C. D. 分析：B,D明显错，为什么？取f(x)=1则C也错。例12.11.14 若曲线和在点(1,-1)处相切，则 。A.a=0,b=-2 B.a=1,b=-3 C.a=-3, b=1 D.a=-1,b=-1分析：代入(1,-1)可得a+b=-2，一无所获,只好计算。只在此时，计算才是必须的！例12.11.15 若函数y=f(x)在x=a处的导数不为0，则当时，该函数在x=a处的微分dy与是 的无穷小量。A.等价 B.同阶 C.低阶 D.高阶分析：基本常识，导数的含义。例12.11.16 设在1,2有二阶导数，则在(1,2)上 .A.没有零点 B.至少有一个零点C.有两个零点 D.有且仅有一个零点分析：特殊值法：取f(x)=0,可杀A,C,D.例12.11.17 设有二阶导数且f(x)0,f(x)0, ,则当0时有 。A. B. C. D. 分析：特殊值法。最简单的f(x)=x2,可得，杀B,C.又f(x)0, 0,所以y0，杀D.例12.11.18 下列极限能用洛必达法则的是A. B. C. D. 例12.11.19 设f(x)是可导的偶函数，且当x0时f(x)0,则下列关系式必成立的是 。A.f(-1)0 B.当x-1时，f(x)f(-1)C.当xf(-1)D.当xf(-1)分析：特殊值法。取f(x)=-x2(因为f(x)= x2不满足要求),可知A,C错；但B,D不能区分。选什么？如果不考虑x=0点的可导性，f(x)=-|x|给出一个简单的特例，此时,当x0时f(x)=1,故D错. (此例实际上是除去常函数外，偶函数中图形最简单的.) B的意义是f(x)在x-1时单调递增，D的意义是f(x) 在x-1时单调递减。已知导数的符号，可以判断原函数的增减，但并不能知道导数的增减，故选B不选D.例12.11.20 设函数f(x),g(x)是大于0的可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当axf(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b) D.f(x)g(x)f(a)g(a)分析：特殊值法。取f(x)=1,则-g(x)0,故取g(x)=x,可知B,C错。再取f(x)=x,则g(x)-xg(x)-b,选项D变为-x-a.故选A. 但由本题的条件你能想到什么？对，商的导数公式，因此考虑，所以，单调递减，故选A.例12.11.21 设函数f(x),g(x)在(a,b)内可导，考虑下列命题:(1)若f(x)g(x),则f(x)g(x);(2)若f(x)g(x),则f(x)g(x).A.(1),(2)都正确 B.(1)正确但(2)不正确C.(2)正确但(1)不正确 D. (1),(2)都不正确分析：特殊值法。取f(x)=1,g(x)=0,可知(1)错，杀A,C.再取f(x)=x,g(x)=b,可知(2)也错。例12.11.22 设f(x)是连续的奇函数且，则 。A.x=0是f(x)的极小值点；B.x=0是f(x)的极大值点；C.曲线y=f(x)在x=0的切线平行于x轴；D.曲线y=f(x)在x=0的切线不平行于x轴例12.11.23 设f(x)g(x)在x=a处二阶可导，且f(a)=g(a)=0，f(a)g(a)0,则 。A.x=a不是f(x)g(x)的驻点B.x=a是f(x)g(x)的驻点但不是极值点C.x=a是f(x)g(x)的驻点且是极小值点D.x=a是f(x)g(x)的驻点且是极大值点分析：显然可取a=0。再取f(x)=g(x)=x,则f(x)g(x)=x2,故A,B,D均错.例12.11.24 设f(x)连续,其导数的图形为：则f(x)有 。A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点例12.11.25 设x=a是f(x)在a,b上的最大值，则 。A.x=a必为极大值点B.当x(a,b)时，f(a)=0C.当x(a,b)时，f(a)0D.当x(a,b)时，x=a必为极大值点例12.11.26 设在-1,4上的最大值为3，最小值为-29，且a0,则 。A.a=1,b=3 B.a=2,b=3 C.a=2,b=-29 D.a=-1,b=29分析：(原题区间位-1,2有误.)D显然错。用代入法。a=1,b=3最简单，此时, f(-1)=-4, f(4)=-29(至此，已可选A); ,故驻点为x=0, x=4(删去); f(0)=3,选A. 一般,对求导, 驻点为x=0(唯一的驻点且f(0)=-12a0,从而必为最值点),x=4(删去).因此,f(0)=3为最大值，所以b=3，排除C。至此可知最小值必然在端点处取得，代入A或B,即可。例12.11.27 设f(x)有二阶连续的导数,满足关系式,且f(0)=0,则 .A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点D.(0,f(0)不是曲线y=f(x)的拐点分析：此题极难.原因是没有初等函数满足条件.由于极值点和拐点都与f(x)有关，故考察.这说明,当x0时，f(x)0时，则不容易看清楚x与的大小。故取,则g(0)=0,g(x)=1-2f(x)f(x),所以g(0)0. 这说明在x0附近,g(x)单调增加，因此g(x)g(0)=0!所以当x0附近时，有f(x)0,因此(0,f(0)确为拐点。(x=0为什么不是极值点？)例12.11.28 设函数f(x)具有连续的二阶导数，则下图中的曲线a,b,c分别是 。 A.f(x),f(x),f(x) B.f(x),f(x), f(x)C.f(x),f(x),f(x) D.f(x),f(x),f(x)例12.