基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型 copy.pdf

2 0 1 0年 1月 第 1 期 浙 江教 育 学 院 学 报 J O U R N A L O F Z H E J I A N G E D U C A T I O N I N S T I T U T E J a n u a r y 2 01 0 NO 1 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型 汪 琴 岑璐局 张渊娴 马新 生 浙江教育学院 理工学院 浙 江 杭州 3 1 0 0 1 2 摘 要 以排队论理论 为基础 建立 了医院眼科 病人排 队 系统的数 学模型 首 先 建立 了对 医院病床 安排 系统进 行 综合 评 价 的指标 体 系 并对 现 有 F C F S规 则扣 改 进 规 则进行 了评 价 然后 建 立 了 区间估计 模 型 使 得 病 人在 门诊 时就被 告知 大致入 住 时间 最后 建 立 了 多指标 床 位分 配模 型 得 出 了床位 的 最佳设 置 值 关键词 评 价指 标 排 队论 区 间估 计 床 位 分配 中图分类号 0 2 2 6 0 2 1 2 1 文献标识码 A文章编号 1 6 7 1 6 5 7 4 2 0 1 0 0 1 7 9 1 0 1 引 言 对 医 院病床 进行 合理 安排 有效 减 少病人 的排 队 等待 时 间 提 高 医疗 资源 的 使 用效 率 具 有 重要 的理 论和 实 际意义 文献 1 中提 出了某 医 院眼科 病床 合理 安排 的评 价 和优 化 问题 该 眼科门诊每天开放 住 院部共有病床 7 9张 眼科手术主要分 四大类 白内障 视网膜疾病 青 光眼和外伤 外伤疾病属于急症 住院后第二天便安排手术 其他病人采用 F C F S F i r s t c o m e F i r s t s e r v e 规则安排住院 医院提供了 5 0天 3 4 9名已出院病人 7 9名住院病人及 1 0 2名等待 住院病人情况的历史数据记录 问题一 建立合理的评价指标体系 用以评价病床安排模 型的 优 劣 问题 二 试 就 该住 院 部 当前 的情况 建 立 合 理 的病 床安 排 模 型 并对 该模 型利 用 问题 一 中的指标 体 系作 出评 价 问题 三 根据 当时 住 院病 人 及等 待住 院病 人 的统 计情 况 在 病 人 门诊 时 即告 知其 大 致入 住 时 间 区间 问题 四 若 该住 院部周 六 周 日不安 排 手 术 医 院 的手术 时 间 安排是否应作 出相应调整 问题五 在一般情形下 医院病床安排可采取使各类病人 占用病床 的比例大致固定的方案 就此方案建立使得所有病人在系统 内的平均逗 留时间 含等待人院 及住 院 时间 最短 的病 床 比例分 配模 型 该问题属于多通道随机服务问题 文献 2 3 分别采用秩和 比法和 T O P S I S法讨论 了医院 病床使用效率的评价方法 文献 4 讨论 了一类简单的 M M I医院排 队系统的优化问题 这 些方 法 和 已有 的排 队论 理论 均无 法 直接解 决 以上 问题 本文 以排 队论 理论 为指 导 引入 病人 满意 度和 病床 利用 率两 个评 价指 标 在对 大量 历史 数 收稿 日期 2 0 0 9 1 1 1 0 作者简介 汪琴 1 9 8 8一 女 浙 江杭州人 浙 江教育学院理工学院数学与应用数学专业 2 0 0 7级学生 岑璐局 1 9 8 8一 男 浙江宁波人 浙江教育学 院理工学 院应用化学专业 2 0 0 7级 学生 张渊娴 1 9 8 9一 女 浙 江嘉兴 人 浙江教 育学院理 学 院数学 与应用数学专业 2 0 0 7级学生 通讯作者 马新生 1 9 6 6一 男 江西 宁都人 浙江教育学 院理工学院教授 工学博士 浙江教育学院学报 2 0 1 0虽 据进行详细统计分析的基础上 建立了眼科病床合理安排 的数学模型 给出了以上问题的解决 方 案 2 模型 假设及 数据 的初步 分析 综合理论和历史数据分析的需要 本文作如下假设 1 病人 数据 源是无 限 的 2 不同病人的入院时间与住院时间均为独立同分布随机变量序列 且与病人的年龄 性 别等因素无关 3 考虑理想化的病人排队系统 忽略其他可能改变病人等待住院 手术及出院时间的因 素 也不考虑病人发生死亡或手术医疗事故等意外情况 4 由于医院条件的限制 白内障手术只能安排在每周一 周三做 排队论理论是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究 得 出这些数量指标 等待时 间 排队长度 忙期长短等 的统计规律 然后根据这些规律来改进服务系统 的结构或重新 组 织被服务对象 使得服务系统既能满足服务对象的需要 又能使机构的费用最经济或某些指标 最优 在进行分析之前 必须首先识别每天到达病人数 和病人住院时间的统计分布规律 为此 采用 P e a r s o n X 2 检验 并利用 M a fl a b软件计算得到 在显著性水平 0 0 5时 每天到达病 人数服从参数 A 8 6 9的 P o i s s o n 分布 此时P 0 5 5 8 6 病人住院时间不服从负指数分布 此时P 0 0 0 0 0 直方图分别如图 1 图2所示 因此 本医院排队系统属于 M G C 系统 斟 图 1 每 天到 达病人数 直 方 图 图 2病 人住 院 时间直 方 图 3模 型的建 立与 求解 3 1 评价指标体系模型及 问题一 的求解 要评价医院现有的病床安排模型 F c F s的优 劣 就需要我们确定合理的评价指标体 系 兼顾等待住院病人队列的长度和医院资源的利用率这两个 因素 我们定义病人满意度和 医院病床利用率两个评价指标 用以评价病床安排模型的优劣 定义 1 病人满意度 记 表示按时间先后顺序对病人 的编号 每个病人从住院到第一次手术之 间的间隔时间 为 t i 1 2 3 4 9 它们的平均间隔时间为 则每个病人的满意度为 1 Y f 1 2 3 4 9 平均满意度为 H 傩 O O O O O O O O O 第 l期 汪 琴 岑璐局 张渊娴 马新 生 基 于排队论的眼科病床合理安排 的数学模型 8 l 一 1 y 二 t 定义 2 医 院病床 利用 率 记 n表示对 日期顺序的编号 n 1 2 5 O 每天的出院人数为 c 则每天医院病床的有 效利用 率 为 g n 1 2 5 0 其 中 m 7 9为眼科总的病床数 病 床 的平均 有效 利用 率 为 g g 利用历史数据 求得平均满意度 歹 0 5 5 病床 的平均有效利用率 0 0 8 7 5 5 3 每个 病人 的满意度和每张病床的使用率见图 3和图 4 0 5 0 l O 0 l 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 病人序号 O 3 0 2 5 墼0 2 婆o 1 5 0 1 O 0 5 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 日期序号 图 3 每个病人 的满意度 图4 每张病床的有效利用率 从病人的满意度看 由于采取了外伤病人优先安排住院原则 即外伤病人在门诊后的第二 天便可 以住院 所 以外伤病人的满意度达到最大值 都为 1 但是相比之下 其他病人的满意度 不 恒定 这就 导致 了不 同病 人之 间 的满 意度存 在很 大 差距 使 得 满意 度具 有 明显 的波 动性 这 说明该病床安排模型不能很好满足所有病人的要求 从病床的有效利用率看 病床的有效利用率不高 且每天的起伏很大 不能做到每天都使 病床得到最充分的利用 从而说明该病床安排模型不是非常合理 因此 当前该医院住院部对全体非急症病人运用的 F C F S先到先服务的规则安排住院 虽 然操作简单 也满足了急症病人的需求 但效率不高 没有考虑等待住院病人队列的长度 即病 人的等候时间 也没有使医院的资源 即住院部所提供的病床得以充分 的利用 综上 所述 采 用 F C F S规则 不适 合解 决安 排住 院 的问题 3 2 M G C o o 队系统模型及 问题二 的求解 由于病人每个病人住 院必需排队等待 故本系统具有多个通道 且每队队长没有 限制 又 医院眼科共有病床 7 9张 故具有多个服务 台 且各服务台工作是相互独立 的 平均服务率相 同 即 其 中 c 7 9 因此 本问题的排队属于 M G I C o o o o 系统 整个服务 l 机构的平均服务率为 c l x 其中 c 7 9 令 p 只有 当 c 时 因 为只有 c 个服务台 最多有 c 个病人在被服务 n c个病人在等候 因此这时的状态转移率应 r 1 AP0 n 1 P A 尸 一 A P 1 n c t c gP l A P 一l A c I x P n c 这 里 P 1 且P 1 P c I 可1 I A 1 r 1 P一 1 丢 P 0 n c 系统的运行指标平均队长 平均等待时间和逗留时间分别为 一 丢 一 P n P 0 因 为 n c 互 n 互 C C n cp P 0 右 边 为达到排队系统的最优化 我们认为考虑该问题的出发点有以下几点 最大限度地满足 病人的基本住院需求 平时尽可能使病床负荷率保持在一定水平 从而减小对急需住院治疗的 拒收率 尽可能提高病床的利用率 以充分利用医院现有的资源 尽量减少一般病人住院 曰 田 第 1期 汪琴 岑璐局 张渊娴 马新生 基 于排 队论的眼科病床合理安排 的数 学模 型8 3 等待 时间 缩短 等待 住 院病人 t 队列 的队长 显 而 易见 以上 三 项 要 求 之 间存 在 着 矛 盾 不 能 只 为 了满 足 其 中一 项要 求 而牺 牲 另 一 项 甚 至两 项 要 求 因此 如何协调上述三项要求 寻求 总体综合效益 优化便 是 本题 的 中心 由于 白内障手术只在周一和周三做 且做双眼是 周一 先做 一 只 周 三 再 做 一 只 并 且 周 一 和 周 三 只安 排白内障手术 其他眼科疾病 除急症外 都不安排在 周一 周 三 所 以若 根 据 F C F S规 则安 排 住 院 便 会 导 致一些 病 人在住 院后 不 能及 时 被安 排 手 术 最 多 的病 人住 院 后 等 待 了 6天 才 被 安 排 手 术 为 此 我 们 对 F C F S的病床安排模型进行改进 对在周一 周三至周六住 院的 白内障病人筛选 出 来 把 他们 都安 排在 周二 周 日住 院 这 样 就 能保 证 白 内障病 人 在住 院后 的第二 天 就 能接 受 手 术 提 高 了 医 院病床 的利用率 对 在周一 至周六住 院 白内障 双 眼 病人都安排在周 日住 院 不仅 如此 我们还根据 图6 M G C o o M ATLAB 操作 青光眼和视 网膜疾病 的手术不安排在周一和周三进行 所 以我们筛选 出在周六和周一住 院的 青光眼和视网膜疾病 的病人 把他们 的住院时间推迟一天 即周 日和周二住院 这样便保证 了 这些病人在医院里准备 2天后都能够及时地进行手术 由于我们对一些病人的住 院时间进行 了调整 使得医院有 了更多的空床位 尤其是对 白内障 双眼 病人住 院的时间推迟得比较久 部分病人推迟了 6天左右 我们便筛选出在他们之后住 院且住院时间小于 6天的病人 对他们 的住院时间提前 这样做不仅缩短了病人的等待住院时间 使等待住 院病人 队列缩短 还提高 了医院资源的有效利用率 图 6是我们解决该问题的思路与方案 根据以上的分析 利用 MA T L A B进行编程 在原有的 F C F S病床安排模型的基础上进行修 改 设计病人住院安排如表 1 表 1病 人住 院安 排表 注 表示安排住 院 表示不安排住 院 对改进后的安排进行计算 得到平均满意度 歹 0 7 9 医院病床 的平均有效利用率 8 4 浙江教育学院学报 0 0 8 8 7 1 3 与问题一的 F C F S规则比较 可以发现我们所建立的病床安排模型大大优于原有 的 F C F S病床安排模型 在医院资源利用率不变的基础上 既提高了病人的满意度 又缩短了住院 等待时间 这说明改进措施是有效的 3 3 区间估计模型及 问题三 的求解 为了能够让病人在门诊时就能被告知大致入住 医院的时间区间 我们根据 当时已经出院 病人的数据 统计得到除急症病人外 其他病人的平均住 院时间 然后建立 区间估计模型 对门诊病人的住院时间进行估计 在不考虑外伤的情况下 可近似认为病人 的服务时间即等待时间 服从正态分布 o r 其中方差 o r 未知 故平均等待时间 的置信度为 1一 O t 0 9 5的置信区间为 一 S 一 S l 一 t 1 一 睾 n 一 1 t l 一 旱 n 一 1 兰 l 4 n 4 n 计算可得 置信区间为 1 2 5 3 9 1 1 2 7 5 9 5 故可以在病人门诊时告知其大致人住 院时间区间为 1 2 1 3 即住院时间大概是在 门诊 后 的第 1 2或 1 3天 3 4 问题四 模型的建立与求解 基于问题二的求解方法 考虑该住院部周六 周 日不安排手术的情况 我们对 医院的手术 时间做相应的调整 由于我们假设 白内障手术只在周一 和周三进行 故该条件对 白内障病人 不受影响 只对青光眼和视网膜疾病 的部分病人进行调整 再借鉴问题二中建立的 M G C o o 排队模型 对新的住院安排表进行相应的调整 便能够做到在周六周 日不进行手术 的前提 下 不仅保证外伤疾病的病人能在门诊的第二天就能住院 且在住院后 的下一天进行手术 还 保证其他的病人都能够在住院后的 1 2天内接受手术 沿用 问题二 中的方法 利用 M A T L A B求解 计算得到了每天病人的住院安排表 如表 2 所示 这时 病人的满意度为 歹 0 6 7 病床的平均有效利用率为 0 0 8 0 均有所降低 表 2病人住 院安 排表 3 5 多指标床位分配模型及 问题五 的求解 为求解问题五 我们改进文献 7 中的多指标席位分配模型 建立多指标床位分配模型 该问题可描述如下 设共有 r t 种 病人 第 种病人 的人数 为 a i 1 2 r g 记 口 o 影响 床 位 分配的 因 素 有z 个 第 个因 素 对 第i 种 病人 影 响的 指 标 值为 i 1 2 r t i 1 第 1 期 汪琴 岑璐 局 张渊娴 马新生 基 于排 队论的眼科病床合理安排 的数 学模型 8 5 1 2 1 指 标 矩阵 为 第 个影响 因素 的 权重为加 1 2 z W 1 可 供分 配的 床位 总数 为m 第i 种 病人 分到的床位为 i 1 2 7 为整数 问如何在这 凡种病人 合理分配 这 m个床位 通常指标值分为 效益指标 成本指标 和 固定指标 所谓 效益指标是指标值越大越 好的指标 病床周转率 成本指标是指标值越小越好的指标 平均逗 留时间 固定指标是指 标值稳定在某个固定值为最好的指标 病床利用率 考虑到不同指标属性不同 量纲也可能不同 作如下规范化处理 对 于效 益 指标 令 m i n e 二 i 1 2 尼 J 1 2 z 2 一 对 于成 本指 标 令 e i 1 2 n 1 2 f 3 I TI ax 一 m i l l X 对 于 固定 指标 令 e 1 一 j 1 2 n 1 2 z 4 其中 为第 个影响因素对第 i 种病人的最佳指标值 利用公式 2 一 4 将指标矩阵 1 化为规范指标矩阵 E 5 利用主观赋值法或客观赋权法确定权重 11 J 1 2 z 计算各种病人的加权综合指标和整个 系统的综合指标 P w j e 0 i 1 2 n P P 6 多指标床位的合理分配应该按各种病人综合指标 的比例来分配 即尽可能地满足各种病 人的 综合配额 生m i 1 2 n 于是我们得到多指标床位合理分配模型如下 m i n P m 7 t m 1 8 6 浙江教 育学院学报 1 2 n 其 中 为整数 i 1 2 n 该模型求解方法 首先 枚举求出满足约束条件 一 卜 1 o z n 的 解 然后 验 证解 是否 满足 约 束条 件 m 求出 所 有可 行 解 最 后 将可 行解 逐 一代 入目 标 函数 P i m x i 比较相应 目标 函数值 的大小 最小 者 即为模 型最 优解 在本 问题 中 我们 既要考 虑保证 医 院给病人 提供需 要 的医疗服 务 又要考虑 医 院卫 生资 源 的合理利用及其长远的发展 还要根据题 目要求对平均逗 留时间的权重进行优先考虑 具体 求解 如下 根据历史数据进行统计分析得到各类病人各个指标的数据 给出指标矩阵 见表 3 表 3指标 矩 阵 利用公式 2 一 4 将指 标矩 阵 转化 为规 范化 指标 矩阵 E 见表 4 表 4规 范化指 标矩 阵 E 利用公式 6 计算各类型的加权综合指数和系统综合指标 得 第 l期 汪 琴 岑璐 局 张渊娴 马新生 基 于排 队论的眼科病床合理安排 的数 学模 型 8 7 P W 0 5 5 2 P W 0 2 4 5 1 P W 0 2 3 2 1 1 1 J 1 3 3 P W i 0 2 2 4 9 P W 0 7 1 J 1 P 0 5 52 0 2 45l 0 2 3 21 0 2 2 49 0 7 1 9 5 41 建立相应的多指标床位分配模型 转化为等价连续型非线性模 型 求出相对合理的病床分 配 比例 如表 6所示 此时 所有病人在系统 内的平均逗 留时间 含等待人院及住 院时间 最 短 为 1 3 2 3天 表 6病床 分配 比例 4 结 论 本文针对文献 1 提出的问题 以排队论为理论基础 建立 了眼科病床合理安排的数学模 型 该模 型 综合 考虑 了病人 和 医 院两方 面 的利益 与 实 际 紧密 联 系且 具 有 可 操作 性 采 用 数 学 软件进行计算 结果较为准确 1 利用假设检验理论 对医院现有历史数据进行 了统计分析 得到每天到达病人数服从 参数 A 8 6 9的 P o i s s o n分布 此时 P 0 5 5 8 6 病人住 院时间不服从指数分布 此时 P 0 0 0 0 0 近似 服从 正态分 布 据 此 该 医院排 队系统 属 于 G C 系统 2 建立 了评 价指 标体 系模 型 给 出 了病 人满 意度 和 医院病 床利 用率 两个 指标 用 以评价 病床安排 的优劣 这是排队论理论在医院病床安排 的应用 是对经典排队论评价指标的推广 具有直观 计算简单的特点 计算可得 原有系统的平均满意度 歹 0 5 5 病床的平均有效利 用率 0 0 8 7 5 5 3 然后 基于 G c 系统 给出了新 的排队规则 此时病人的平均满 意度 歹 0 7 9 医院病 床 的平均 有效 利用 率 0 0 8 8 7 1 3 两 个指标 均 有显 著改 善 3 建 立 了病人 等待 时 间的 区间估 计模 型 基于 F C F S排 队规则 在 0 9 5的置信 度 下 病 人等 待时 间是 1 2到 1 3天 4 在周六周 日休息的假设下 重新给出了住院安排方法 此时 病人的平均满意度 0 6 7 病 床 的平均 有效 利用 率 0 0 8 0 均有 所 降低 5 建立 了以所有 病人 在 系统 内的平 均逗 留时间 含等 待人 院及 住 院时 间 最 短 为优 化 目 标 的多 指标 床位 分 配模 型 得 到 五 种病 人 的床 位 分配 是 l 7 1 8 9 2 3 1 2 平 均 逗 留时 问 为 l 3 1 4天 排 队论模 型 的应 用非 常广 泛 因而适 用 于现实 中的一切 服务 系统 故 本文 给 出的模 型可 以 推广到其他的服务系统中 例如通信系统 交通系统 计算机 存贮系统 生产管理系统等 本文是在 2 0 0 9年 全国大学生数学建模竞赛 参赛 文章 获全 国二 等奖 的基础上 通过 参考命题 者提供 的解答要点 进行修改整理而得 8 8 浙江教育学院学报 2 0 1 0生 参 考文献 1 全国大学 生数学建模竞赛组 委会 2 0 0 9高教社杯全国大学 生数学建模竞赛 B题 E B O L 2 0 0 9 1 0 1 0 h t t p m c m e d u c n mc m O 9 P r o b l e m s 2 0 0 9 c a s p 2 王启栋 张康莉 刘召平 等 医院科室病床使用情 况的综合评价分析 J 中国医院统计 2 0 0 1 8 2 1 0 3 1 05 3 宋萍 用 T O P S I S法对医院床位利 用情况进行综合评价 J 重庆 医学 2 0 0 3 3 2 4 4 5 5 45 8 4 韩新焕 朱萌纾 吴静 医院管理系统中排 队模 型的优化决策分析 J 数理 医药 学杂志 2 0 0 8 2 1 1 l 6 1 8 5 运筹 学 教材编写组 运筹学 M 北京 清华大学 出版社 1 9 9 0 6 魏宗舒 概率论 与数理统计教程 M 2版 北京 高等教育 出版社 2 0 0 8 7 付必胜 杨益 民 张华 多指标席位分配模型及其应 用 J 数理统计与管理 2 0 0 9 2 8 4 6 6 0 6 6 5 M a t he ma t i c a l M o d e l s o f t h e Re a s o n a b l e Ar r a n g e me n t o f Op ht ha l mi c S i c k b e d B a s e d o n Qu e u i n g T h e o r y WAN G Q i n C E N L u j u Z H A N G Y u a n x i a n MA X i n s h e n g S c h o o l o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y Z h e j i a n g E d u c a t i o n I n s t i t u