第十二章习题解答.doc

习题12.1(A)1. (1)；(2)发散；(3)发散；(4),；(5),.2.(1)解:,而发散,所给级数发散. (2)解:为等比级数,收敛,从而所给级数收敛. (3)解:,所给级数发散. (4)解:, 所给级数发散.(B)1. (1),；(2).2. 解:.当时,有 , 故此级数为. , 故.3. (1)解:, , 从而,故所给级数收敛. (2)解:,而, 所给级数发散.习题12.2（A）1.收敛,发散,可能收敛也可能发散.2.(1)解:,而收敛,因此所给级数收敛. (2)解:,而发散,因此所给级数发散. (3)解:, 而收敛,故所给级数收敛. (4)解:,而发散,故所给级数发散. (5)解:,故所给级数收 敛. (6)解:, 故所给级数收敛. (7),故所给级数收敛. (8),故所给级数发散.3. (1)解：,发散. 又,且有,故所给级数收敛,且为条件收敛. (2)解:,发散. 又,且有,故所给级数收敛,且为条件 收敛. (3)解:所给级数发散. (4)解:,从而 ,故所给级数发散. (5)解:,收敛,故所给 级数绝对收敛. (6)解:, ,发散. 又,且有,故所给级数收敛,且为条件收 敛. (7)解:令. ,而发散,发散. 又, 则,且有,收敛. 故所给级数条件收敛. (8)解:,发散. 又, 且有,故所给级数收敛,且为条件收敛.(B)1. (1)D；(2)C.2. (1)解:,而发散,发散. 又设,则,当时,单调减少, 故当时,即,且有, 因此所给级数收敛,且为条件收敛. (2)解:,而发散,发散. 又设,则,当时,单调增加, 故,即, 且有,因此所给级数收敛,且 为条件收敛.3.解:令. 当时,不存在,故所给级数发散. 当时,因为,所以 当,即时,收敛,从而所给级数绝对收敛. 当,即时,发散.这时,因为 ,且, 所以收敛,从而所给级数条件收敛.习题12.3（A）1. (1)；(2).2. (1)解:, 因此当时幂级数收敛. 当时得交错级数,收敛；当时得正项级数,发散. 于是,幂级数的收敛域为. (2)解:, 因此当,即时幂级数收敛. 当时得交错级数,收敛；当时得正项级数,收敛. 于是,幂级数的收敛域为. (3)解:因所给幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当时级数收敛.当时, . 由此可知当,即或时级数收敛. 当和时得正项级数,发散. 综合可得幂级数的收敛域为. (4)解:, 因此当时幂级数收敛. 当时得交错级数,发散； 当时得正项级数,发散. 于是,幂级数的收敛域为.3. (1)解:的收敛域为,令, , . (2)解:的收敛域为,令, , .(B)1. (1)A；(2)B.2. (1)解:,. 当,即时,级数收敛；当,即或时,级数发散； 当时,级数发散. 于是,幂级数的收敛域为. (2)解:令,则原级数化为,求得收敛半径. 当时得正项级数,发散；当时得交错级数,收敛. 故当时级数收敛,当或时级数发散. 从而,所求级数的收敛域为.3. (1)解:令,求得该函数的定义域为. , 则. (2)解:令,求得该函数的定义域为. 当时, . 则.习题12.4(A)1.(1)；(2).2.(1)解: . (2)解: .3. (1)解: . (2)解:.(B)1. 解: .2. 解:,逐项求导,即得 .习题12.5(A)1. (1)；(2).2. (1)解:； ； . 因为满足收敛定理条件,且在连续, 在处,故 . (2)设是经周期延拓而得的函数,则满足收敛定理的条件,在 连续,是的间断点,又在上,故它的 里叶级数在和内收敛于. ； ； . 故 .3. 解:先将展开成正弦级数.设是经奇延拓和周期延拓而得的函数,则 满足收敛定理条件,在连续,是的间断点,又 在上,故它的傅里叶级数在上收敛于. ； . 故 . 再将展开成正弦级数.设是经偶延拓和周期延拓而得的函数,则满 足收敛定理条件,处处连续,又在上,故它的傅里叶级数在上收 敛于. ； ； .故 .在上式中令,得.(B)1. (1)；(2).2.解:.习题12.6(A)1. .2.(1)解:； ； . 因为满足收敛定理条件,间断点为,故有 . (2)解:设是经周期延拓而得的函数,则在内连续,在处间 断,且在内,故的傅里叶级数在内收敛于. ； ； 故 .(B)1. (1)；(2).2. 解:先将在作偶延拓,再以为周期作周期延拓得,则满足收敛定 理的条件,处处连续,在上. ； . 故 .第12章 自测题一、1.；2.；3.；4.；5.二、1.解:,级数收敛. 2.解:，当时级数收敛,当时级数发散. 3.解:, ,级数收敛.三、1.解:, 当为奇数时,， 当为偶数时, ， ,级数发散. 2.解: , , ,