河北省承德市隆化县存瑞中学高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河北省承德市隆化县存瑞中学高二（下）期中数学试卷（理科 ）一、选择题（每小题5分，共60分）下列每小题所给选项只有一项符合题意1（5分）（2015漳州模拟）曲线y=x2在点m（）的切线的倾斜角的大小是（） a 30 b 45 c 60 d 90考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角专题： 计算题分析： 欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答： 解：y=2x当x=时，y=1，得切线的斜率为1，所以k=；1=tan，=450，故选b点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题2（5分）（2015铜川模拟）若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（） a b c d 2考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 计算题分析： 利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模解答： 解：复数z=2i+=2i+=2i+1i=1+i，|z|=，故选b点评： 本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题3（5分）（2013甘肃模拟）若点p是曲线y=x2lnx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为（） a 1 b c d 考点： 点到直线的距离公式专题： 计算题分析： 设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点p到直线y=x2的最小距离解答： 解：过点p作y=x2的平行直线，且与曲线y=x2lnx相切，设p（x0，x02lnx0）则有k=y|x=x0=2x02x0=1，x0=1或x0=（舍去）p（1，1），d=故选b点评： 本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题4（5分）（2015衡阳二模）设复数z=li（i为虚数单位），z的共轭复数为，则等于（） a 12i b 2+i c l+2i d 1+2i考点： 复数代数形式的混合运算专题： 数系的扩充和复数分析： 由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果解答： 解：由题意可得 =1+2i，故选：c点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题5（5分）（2013阜新县校级二模）过点（1，1）且与曲线y=x32x相切的直线方程为（） a xy2=0或5x+4y1=0 b xy2=0 c xy2=0或4x+5y+1=0 d xy+2=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 设切点为（x0，y0），则y0=x032x0，由于直线l经过点（1，1），可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程从而可求方程解答： 解：若直线与曲线切于点（x0，y0）（x00），则k=y=3x22，y|x=x0=3x022，=3x022，2x02x01=0，x0=1，x0=，过点a（1，1）与曲线f（x）=x32x相切的直线方程为xy2=0或5x+4y1=0故选：a点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的关键注意过某点和在某点的区别，属于中档题6（5分）（2015春隆化县校级期中）观察下列式子：1+，1+，1+，根据以上式子可以猜想：1+（） a b c d 考点： 归纳推理专题： 推理和证明分析： 确定不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求得结论解答： 解：由已知中的不等式：1+，1+，1+，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得：1+，故选：c点评： 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7（5分）（2015春隆化县校级期中）若不等式exkxk对x1恒成立，则实数k的最大值是（） a e2 b e c d 1考点： 函数恒成立问题专题： 导数的综合应用；不等式的解法及应用分析： 不等式exkxk对x1恒成立，即为k对x1恒成立，令f（x）=，求出导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，由恒成立思想即可得到k的最大值解答： 解：不等式exkxk对x1恒成立，即为k对x1恒成立，令f（x）=，f（x）=，当x2时，f（x）0，f（x）递增，当1x2时，f（x）0，f（x）递减即有x=2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为e2，则有ke2则k的最大值为e2故选：a点评： 本题考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和导数求最值，考查运算能力，属于中档题8（5分）（2014春清远期末）用数学归纳法证明12+32+52+（2n1）2=n（4n21）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（） a （2k）2 b （2k+3）2 c （2k+2）2 d （2k+1）2考点： 数学归纳法专题： 证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析： 可从证题的第二步起，假设n=k时等式成立（写出等式），去证明n=k+1时，等式成立（写出等式），观察即可解答： 解：用数学归纳法证明12+32+52+（2n1）2=n（4n21）的过程中，第二步，假设n=k时等式成立，即12+32+52+（2k1）2=k（4k21），那么，当n=k+1时，12+32+52+（2k1）2+（2k+1）2=k（4k21）+（2k+1）2，等式左边增加的项是（2k+1）2，故选：d点评： 本题考查数学归纳法，掌握用数学归纳法的证题步骤与思路是关键，属于中档题9（5分）（2014商丘二模）已知函数f（x）=ex，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于a，b两点，则|ab|的最小值为（） a 2 b 2+ln2 c e2 d 2eln考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 综合题；导数的综合应用分析： 由题意，a（lnm，m），b（2，m），其中2lnm，且m0，表示|ab|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|ab|的最小值解答： 解：由题意，a（lnm，m），b（2，m），其中2lnm，且m0，|ab|=2lnm，令y=lnx（x0），则y=，x=，0x时，y0；x时，y0，y=lnx（x0）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，x=时，|ab|min=2+ln2故选：b点评： 本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10（5分）（2015春隆化县校级期中）把正整数按图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（） a b c d 考点： 归纳推理专题： 规律型分析： 根据如图所示的排序可以知道每四个数一组循环，把2014除以4余数为2，由此可以确定2014的位置和2的位置相同，从而可得结论解答： 解：1和5的位置相同，图中排序每四个一组循环，而2013除以4的余数为1，2013的位置和1的位置相同，2014的位置和2的位置相同，2015的位置和3的位置相同故选：a点评： 本题考查合情推理，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解题的关键11（5分）（2015春隆化县校级期中）对于非零复数a，b，以下有四个命题a+0（a+b）2=a2+2ab+b2若|a|=|b|，则a=b若a2=ab，则a=b则一定为真的有（） a b c d 考点： 复数代数形式的混合运算专题： 简易逻辑；数系的扩充和复数分析： 取特殊值说明错误；直接利用复数满足实数的运算法则说明正确解答： 解：对于，取a=1，则a+0，不正确；对于，对于任意复数a，b，一定有（a+b）2=a2+2ab+b2，正确；对于，取a=1，b=i，|a|=|b|，但ab，错误；对于，由a2=ab，得a=b，命题正确正确的命题是故选：a点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复数代数形式的混合运算，是基础题12（5分）（2013辽宁）设函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（） a 有极大值，无极小值 b 有极小值，无极大值 c 既有极大值又有极小值 d 既无极大值也无极小值考点： 函数在某点取得极值的条件；导数的运算专题： 压轴题；导数的综合应用分析： 令f（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论解答： 解：函数f（x）满足，令f（x）=x2f（x），则f（x）=，f（2）=4f（2）=由，得f（x）=，令（x）=ex2f（x），则（x）=ex2f（x）=（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，（x）的最小值为（2）=e22f（2）=0（x）0又x0，f（x）0f（x）在（0，+）单调递增f（x）既无极大值也无极小值故选d点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）（2013湛江二模）（几何证明选讲选做题）如图，点a、b、c都在o上，过点c的切线 交ab的延长线于点d，若ab=5，bc=3，cd=6，则线段ac的长为考点： 与圆有关的比例线段；余弦定理专题： 计算题分析： 利用切割线定理求出db，利用余弦定理求出dbc的余弦值，然后利用余弦定理求解ac即可解答： 解：由切割线定理可知，dc2=dbda，因为ab=5，cd=6，解得db=4，由余弦定理可知cosdbc=，在abc中，ac2=bc2+ab22abbccosabc=9+25235=，所以ac=故答案为：点评： 本题考查切割线定理的应用，余弦定理的应用，考查计算能力14（5分）（2012罗定市校级二模）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图2为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数则f（n）=3n23n+1考点： 归纳推理专题： 规律型分析： 根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）f（n1）=6（n1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式解答： 解：由于f（2）f（1）=71=6，f（3）f（2）=197=26，f（4）f（3）=3719=36，f（5）f（4）=6137=46，因此，当n2时，有f（n）f（n1）=6（n1），所以f（n）=f（n）f（n1）+f（n1）f（n2）+f（2）f（1）+f（1）=6（n1）+（n2）+2+1+1=3n23n+1又f（1）=1=31231+1，所以f（n）=3n23n+1故答案为：3n23n+1点评： 本题主要考查了数列的问题、归纳推理属于基础题15（5分）（2015春隆化县校级期中）定义在r上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）=x2，当x0时，f（x）x，则不等式f（x）+f（1x）+x的解集为考点： 其他不等式的解法；抽象函数及其应用专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 对f（x）+f（x）=x2两边对x取导数，根据条件推出x0时，f（x）x，求出f（0）=0且f（0）0得到：xr，都有f（x）x，根据不等式构造函数f（x）=f（x）+f（1x）x和f（x），判断出f（x）的符号可得f（x）的单调性，利用f（x）的单调性和f（）=0求出不等式的解集解答： 解：定义在r上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）=x2，两边对x求导，得f（x）+f（x）=2x，f（x）=f（x）+2x，令x0，则x0，当x0时，f（x）x，f（x）x，f（x）2xx，即f（x）x，又f（0）=0，直线y=x过原点，f（0）0，xr，都有f（x）x，令f（x）=f（x）+f（1x）x，则f（x）=f（x）+f（1x）1x+1x1=0，f（x）是r上的单调减函数，且f（）=0，不等式f（x）+f（1x）+x化为：f（x）+f（1x）x0=f（）成立则不等式的解集是，故答案为：点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，考查构造函数研究函数的性质的能力，属于中档题16（5分）（2013春福建期末）设x表示不超过x的最大整数，如=2，=3，k=k（kn*）我们发现：+=3；+=10；+=21；通过合情推理，写出一般性的结论：=n（2n+1）（nn*）（用含n的式子表示）考点： 归纳推理专题： 规律型分析： 根据条件通过观察，可以得到一个一般性的结论 =n（2n+1）（nn*）解答： 解：根据+=3；+=10；+=21；通过观察，发现，等式左边方括号内第一个数是完全平方数，以后依次增加1，最后一个是后一个完全平方数减1，而右边可以写成两个数的积的形式我们可以得到一个一般性的结论：=n（2n+1）（nn*）故答案为：=n（2n+1）（nn*）点评： 本题主要考查的知识点是归纳推理，由特殊的列子得到一般性的结论，属于中档题三、解答题：17（10分）（2015保定二模）如图，c点在圆o直径be的延长线上，ca切圆o于a点，acb平分线dc交ae于点f，交ab于d点（）求adf的度数；（）若ab=ac，求ac：bc考点： 相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明专题： 综合题分析： （i）根据ac为圆o的切线，结合弦切角定理，我们易得b=eac，结合dc是acb的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得adf=afd，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出adf的度数；（ii）若ab=ac，结合（1）的结论，我们易得acb=30，根据顶角为120的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案解答： 解：（i）ac为圆o的切线，b=eac又知dc是acb的平分线，acd=dcbb+dcb=eac+acd即adf=afd又因为be为圆o的直径，dae=90（4分）（ii）b=eac，acb=acb，aceabc（6分）又ab=ac，b=acb=30，（8分）在rtabe中，（10分）点评： 本题考查的知识点是圆周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的证明及性质等，本题中未给出任何角的度数，故建立adf必为特殊角，从而根据图形分析角adf的大小，进而寻出解答思路是解题的关键18（12分）（2012武陟县校级模拟）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性分析： （1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f（1）=0得到a、b即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可解答： 解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，所以又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=1（2）由（1）可知，其定义域是（0，+），且当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+）点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力19（12分）（2015春隆化县校级期中）在rtabc中，abac，adbc于d，求证：=+，那么在四面体abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由考点： 类比推理分析： 利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，得到类比性质通过作辅助线将空间的证明问题转化为三角形中的性质解答： 解：如图（1）所示，由射影定理知ad2=bddc，ab2=bdbc，ac2=bcdc，=又bc2=ab2+ac2，=+所以=+类比abac，adbc猜想：四面体abcd中，ab、ac、ad两两垂直，ae平面bcd，则=+如图（2），连接be交cd于f，连接afabac，abad，ab平面acd而af平面acd，abaf在rtabf中，aebf，=+在rtacd中，afcd，=+=+，故猜想正确点评： 本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论20（12分）（2015春隆化县校级期中）已知函数f（x）=xln x（1）求f（x）的极小值；（2）讨论关于x的方程f（x）m=0 （mr）的解的个数考点： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断专题： 导数的综合应用分析： （1）求出函数的导数，通过导数为0，判断极值点，即可求f（x）的极小值；（2）利用（1）的结果，讨论函数的单调性，然后解答关于x的方程f（x）m=0 （mr）的解的个数解答： 解（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=ln x+1，（2分）令f（x）=0，得x=，当x（0，+）时，f（x），f（x）的变化的情况如下：x f（x） 0 +f（x） 极小值 （6分）所以，f（x）在（0，+）上的极小值是f（）=（7分）（2）当x，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是；当x时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是（10分）令y=f（x），y=m，两函数图象交点的横坐标是f（x）m=0的解，由（1）知当m时，原方程无解；由f（x）的单调区间上函数值的范围知，当m=或m0时，原方程有唯一解；当m0时，原方程有两解（13分）点评： 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值点以及函数的单调性，方程的根的个数的应用，考查计算能力21（12分）（2015运城二模）如图，在abc中，abc=90，以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边上的中点，连接od交圆o与点m（1）求证：de是圆o的切线；（2）求证：debc=dmac+dmab考点： 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明专题： 推理和证明分析： （1）连接be，oe，由已知得abc=90=aeb，a=a，从而aebabc，进而abe=c，进而beo+deb=dce+cbe=90，由此能证明de是圆o的切线（2）dm=odom=（acab），从而dmac+dmab=（acab）（ac+ab）=bc2，由此能证明debc=dmac+dmab解答： 证明：（1）连接be，oe，ab是直径，aeb=90，abc=90=aeb，a=a，aebabc，abe=c，beac，d为b