2013年高中数学教学论文 探析三角函数的最值 新人教版.pdf

探析三角函数的最值 探析三角函数的最值 求三角函数的最值和值域是近几年高考的常考内容 又是三角函数解答题的主要题型 解决这类问题不仅要用到三角函数的定义域和值域 单调性 图像以及三角函数的恒等变 形 还常常涉及到函数 不等式 方程以及几何计算等众多知识 这些问题概念性强 具有 一定的综合性和灵活性 题型 1 利用有关三角公式化简求最值 例 1 2003 北京理 若f x cos 4x 2sinxcosx sin4x 1 求f x 的最小正周期 2 若 x 0 2 求f x 的最大值 最小值 解 f x cos 4x 2sinxcosx sin4x cos2x sin2x cos2x sin2x sin2x cos2x sin2x 2cos 2x 4 所以 f x 的最小正周期 T 2 2 2 因为 0 x 2 所以 4 2x 4 4 5 当 2x 4 4 时 cos 2x 4 取得最大值 2 2 当 2x 4 时 cos 2x 4 取得最小值 1 所以 f x 在 0 2 最大值为 1 最小值为 2 点评 充分利用三角的有关公式将所给函数进行化简 转化为熟悉的正余玄函数 变式训练 1 求函数f x sin 2x 4sinxcosx 5cos2x的最值 2 2004 全国 函数f x sin 4x cos4x sin2xcos2x 2 sin2x 的最值 答案 1 f x 的最大值为 22 最小值为 22 2 f x 的最大值为 4 3 最小值为 4 1 题型 2 利用公式 asinx 4bcosx 22 ba sin x 来求最值 例 2 已知函数f x 2 1 cos 2x 2 3 sinxcosx 1 x R 求当取最大值时 自变量 的集合 该函数图像可由f x 2 1 cos x 2 4 5 经过怎样的变换得到 解 f x 4 1 cos2x 4 3 sin2x 4 5 2 1 sin 2x 6 4 5 所以 f x 的最大值为 4 7 这时 2x 6 2 2k x 6 k x 的集合为 用心 爱心 专心 x x 6 k 由 f x 2 1 cos2x 4 5 向右平移 6 个单位得 f x 2 1 sin 2x 6 4 5 题型 3 利用配方法或换元法把三角函数的最值转化为二次函数的最值 注意区分有限制 条件和无限制条件两种类型以及隐含条件的挖掘 例 已知函数 f x 2sin cos sin cos 0 求函数 的最值 解 令 t sin cos 2sin 4 因为 4 4 3 所以 t 1 2 则t 2 1 2sinxcosx 2sinxcosx 1 t2 f x 1 t 2 t t 2 1 2 4 5 当 t 2 1 时 f x 的最大值为 4 5 当 t 1 时 f x 的最小值为 1 点评 此题在代换中 根据角 的取值范围确定了参数 t 1 2 的范围 从而正确求 解 若忽视这一点 会发生 t 2 1 时有最大值而无最小值的错误结论 变式训练 3 设 6 x 3 2 求函数f x 4sin 2x 12sinx 1 的最值 答案 f x 的最大值为 6 f x 的最小值为 9 例 设函数f x sin 2x acosx 8 5 a 2 3 0 x 2 的最大值为 1 求a的值 解 f x sin 2x acosx 8 5 a 2 3 cos 2x acosx 8 5 a 2 1 令 t cosx 则 t 0 1 f x t 2 at 8 5 a 2 1 t 2 a 2 4 2 a 8 5 a 2 1 分情况讨论 1 当 a 0 时 f x 的最大值为 1 a 无解 2 当 0 a2 时 f x 的最大值为 1 a 无解 综上所述 a 2 3 点评 换元之后 将三角函数转化为二次函数 动函数 在一定区间上的最值问题 注意要分 类讨论 题型 4 与平面向量 三角形相结合求最值 用心 爱心 专心 例 5 2006 全国文 三角形 ABC 的三个内角为 A B C 求当 A 为何值时 cosA 2cos 2 CB 取得最大值 并求最大值 得 2 CB 2 2 A 所以 cos 2 CB sin 2 A 解 由 A B C cosA 2cos 2 CB cosA 2 sin 2 A 1 2sin 2 2 A 2 sin 2 A 2 sin 2 A 2 1 2 2 3 当 sin 2 A 2 1 时 即 A 3 时 cosA 2cos 2 CB 取得最大值 2 3 点评 重要考察三角函数的化简 求值及运算能力 应注意内角的取值范围 例 6 已知向量a cos 2 3x sin 2 3x 向量b cos 2 x sin 2 x 且 x 0 2 若 f x a b 2 a b 的最小值为 2 3 求 的值 解 f x a b 2 a b cos2x 4 cosx x 0 2 2cos 2x 4 cosx 1 2 cosx 2 2 2 1 cosx 0 1 分情况讨论 当 0 时 无解 当 0 1 时 2 1 当 1 时 无解 综上所述 2 1 点评 重要考察向量的运算 进而转化成三角函数的化简 注意三角函数的公式运用和分情 况讨论 变式训练 4 设向量 a sinx cosx b cosx cosx x R f x a a b 1 求函数 f