（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破四 高考中的立体几何问题教师用书 文 苏教版.doc

高考专题突破四 高考中的立体几何问题1.正三棱柱abca1b1c1中，d为bc中点，e为a1c1中点，则de与平面a1b1ba的位置关系为_.答案平行解析如图取b1c1的中点为f，连结ef，df，de，则efa1b1，dfb1b，平面efd平面a1b1ba，de平面a1b1ba.2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面.其中使“xz且yzxy”为真命题的是_.答案解析由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题.3.(2016无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别在c1d1与c1b1上，且c1e4，c1f3，连结ef，fb，de，bd，则几何体efc1dbc的体积为_.答案66解析如图，连结df，dc1，那么几何体efc1dbc被分割成三棱锥defc1及四棱锥dcbfc1，那么几何体efc1dbc的体积为v346(36)66125466.故所求几何体efc1dbc的体积为66.4.如图，在四棱锥vabcd中，底面abcd为正方形，e、f分别为侧棱vc、vb上的点，且满足vc3ec，af平面bde，则_.答案2解析连结ac交bd于点o，连结eo，取ve的中点m，连结am，mf，vc3ec，vmmeec，又aoco，ameo，又eo平面bde，am平面bde，又af平面bde，amafa，平面amf平面bde，又mf平面amf，mf平面bde，又mf平面vbc，平面vbc平面bdebe，mfbe，vffb，2.5.如图，在三棱锥pabc中，d，e，f分别为棱pc，ac，ab的中点.若paac，pa6，bc8，df5.则直线pa与平面def的位置关系是_；平面bde与平面abc的位置关系是_.(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析因为d，e分别为棱pc，ac的中点，所以depa.又因为pa平面def，de平面def，所以直线pa平面def.因为d，e，f分别为棱pc，ac，ab的中点，pa6，bc8，所以depa，depa3，efbc4.又因为df5，故df2de2ef2，所以def90，即deef.又paac，depa，所以deac.因为acefe，ac平面abc，ef平面abc，所以de平面abc，又de平面bde，所以平面bde平面abc.题型一求空间几何体的表面积与体积例1(2016全国甲卷)如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，点e，f分别在ad，cd上，aecf，ef交bd于点h，将def沿ef折到def的位置.(1)证明：achd；(2)若ab5，ac6，ae，od2，求五棱锥d-abcfe的体积.(1)证明由已知得acbd，adcd，又由aecf得，故acef，由此得efhd，折后ef与hd保持垂直关系，即efhd，所以achd.(2)解由efac得.由ab5，ac6得dobo4，所以oh1，dhdh3，于是od2oh2(2)2129dh2，故odoh.由(1)知achd，又acbd，bdhdh，所以ac平面dhd，于是acod，又由odoh，acoho，所以od平面abc.又由得ef.五边形abcfe的面积s683.所以五棱锥d-abcfe的体积v2.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.解(1)底面正三角形中心到一边的距离为2，则正棱锥侧面的斜高为.s侧329.s表s侧s底9(2)296.(2)设正三棱锥pabc的内切球的球心为o，连结op，oa，ob，oc，而o点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.vpabcvopabvopbcvopacvoabcs侧rsabcrs表r(32)r.又vpabc(2)212，(32)r2，得r2.s内切球4(2)2(4016).v内切球(2)3(922).题型二空间点、线、面的位置关系例2(2016扬州模拟)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直于底面，abbc，aa1ac2，bc1，e，f分别是a1c1，bc的中点.(1)求证：平面abe平面b1bcc1；(2)求证：c1f平面abe；(3)求三棱锥eabc的体积.(1)证明在三棱柱abca1b1c1中，bb1底面abc.因为ab平面abc，所以bb1ab.又因为abbc，bcbb1b，所以ab平面b1bcc1.又ab平面abe，所以平面abe平面b1bcc1.(2)证明方法一如图1，取ab中点g，连结eg，fg.因为e，f分别是a1c1，bc的中点，所以fgac，且fgac.因为aca1c1，且aca1c1，所以fgec1，且fgec1，所以四边形fgec1为平行四边形，所以c1feg.又因为eg平面abe，c1f平面abe，所以c1f平面abe.方法二如图2，取ac的中点h，连结c1h，fh.因为h，f分别是ac，bc的中点，所以hfab，又因为e，h分别是a1c1，ac的中点，所以ec1綊ah，所以四边形eahc1为平行四边形，所以c1hae，又c1hhfh，aeaba，所以平面abe平面c1hf，又c1f平面c1hf，所以c1f平面abe.(3)解因为aa1ac2，bc1，abbc，所以ab.所以三棱锥eabc的体积vsabcaa112.思维升华(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.证明c1f平面abe：()利用判定定理，关键是在平面abe中找(作)出直线eg，且满足c1feg.()利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面c1hf满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化.(2016南京模拟)如图，在三棱锥sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.过a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点.求证：(1)平面efg平面abc；(2)bcsa.证明(1)由asab，afsb知f为sb中点，则efab，fgbc，又effgf，abbcb，因此平面efg平面abc.(2)由平面sab平面sbc，平面sab平面sbcsb，af平面sab，afsb，所以af平面sbc，则afbc.又bcab，afaba，则bc平面sab，又sa平面sab，因此bcsa.题型三平面图形的翻折问题例3(2015陕西)如图1，在直角梯形 abcd中，adbc，bad，abbcada，e是ad的中点，o是ac与be的交点.将abe沿be折起到图2中a1be的位置，得到四棱锥a1bcde.(1)证明：cd平面a1oc；(2)当平面a1be平面bcde时，四棱锥a1bcde的体积为36，求a的值.(1)证明在题图1中，连结ec，因为abbcada，bad，adbc，e为ad中点，所以bc綊ed，bc綊ae，所以四边形bcde为平行四边形，故有cdbe，所以四边形abce为正方形，所以beac，即在题图2中，bea1o，beoc，且a1ooco，从而be平面a1oc，又cdbe，所以cd平面a1oc.(2)解由已知，平面a1be平面bcde，且平面a1be平面bcdebe，又由(1)知，a1obe，所以a1o平面bcde，即a1o是四棱锥a1bcde的高，由题图1知，a1oaba，平行四边形bcde的面积sbcaba2，从而四棱锥a1bcde的体积为vsa1oa2aa3，由a336，得a6.思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2016苏州模拟)如图(1)，四边形abcd为矩形，pd平面abcd，ab1，bcpc2，作如图(2)折叠，折痕efdc.其中点e，f分别在线段pd，pc上，沿ef折叠后，点p叠在线段ad上的点记为m，并且mfcf.(1)证明：cf平面mdf；(2)求三棱锥mcde的体积.(1)证明因为pd平面abcd，ad平面abcd，所以pdad.又因为abcd是矩形，cdad，pd与cd交于点d，所以ad平面pcd.又cf平面pcd，所以adcf，即mdcf.又mfcf，mdmfm，所以cf平面mdf.(2)解因为pddc，pc2，cd1，pcd60，所以pd，由(1)知fdcf，在直角三角形dcf中，cfcd.如图，过点f作fgcd交cd于点g，得fgfcsin 60，所以defg，故mepe，所以md .scdededc1.故vmcdemdscde.题型四立体几何中的存在性问题例4如图，在长方体abcda1b1c1d1中，平面bmd1n与棱cc1，aa1分别交于点m，n，且m，n均为中点.(1)求证：ac平面bmd1n.(2)若adcd2，dd12，o为ac的中点.bd1上是否存在动点f，使得of平面bmd1n？若存在，求出点f的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连结mn.因为m，n分别为cc1，aa1的中点，所以anaa1，cmcc1.又因为aa1cc1，且aa1cc1，所以ancm，且ancm，所以四边形acmn为平行四边形，所以acmn.因为mn平面bmd1n，ac平面bmd1n，所以ac平面bmd1n.(2)解当点f满足d1f3bf时，of平面bmd1n，证明如下：连结bd，则bd经过点o，取bd1的中点g，连结of，dg，又d1f3bf，所以of为三角形bdg的中位线，所以ofdg.因为bd2dd1，且g为bd1的中点，所以bd1dg，所以bd1of.因为底面abcd为正方形，所以acbd.又dd1底面abcd，所以acdd1，又bddd1d，所以ac平面bdd1，又of平面bdd1，所以acof.由(1)知acmn，所以mnof.又mn，bd1是平面四边形bmd1n的对角线，所以它们必相交，所以of平面bmd1n.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2016镇江模拟)如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，已知dcdd12ad2ab，addc，abdc.(1)求证：d1cac1；(2)问在棱cd上是否存在点e，使d1e平面a1bd.若存在，确定点e位置；若不存在，说明理由.(1)证明在直四棱柱abcda1b1c1d1中，连结c1d，dcdd1，四边形dcc1d1是正方形，dc1d1c.又addc，addd1，dcdd1d，ad平面dcc1d1，又d1c平面dcc1d1，add1c.ad平面adc1，dc1平面adc1，且addc1d，d1c平面adc1，又ac1平面adc1，d1cac1.(2)解假设存在点e，使d1e平面a1bd.连结ad1，ae，d1e，设ad1a1dm，bdaen，连结mn，平面ad1e平面a1bdmn，要使d1e平面a1bd，可使mnd1e，又m是ad1的中点，则n是ae的中点.又易知abnedn，abde.即e是dc的中点.综上所述，当e是dc的中点时，可使d1e平面a1bd.1.(2016连云港模拟)如图所示，已知平面平面l，.a，b是直线l上的两点，c，d是平面内的两点，且adl，cbl，da4，ab6，cb8.p是平面上的一动点，且有apdbpc，则四棱锥pabcd体积的最大值是_.答案24解析由题意知，pad，pbc是直角三角形，又apdbpc，所以padpbc.因为da4，cb8，所以pb2pa.作pmab于点m，由题意知，pm.令amt(0t6)，则pa2t24pa2(6t)2，所以pa2124t.所以pm，即为四棱锥pabcd的高，又底面abcd为直角梯形，s(48)636.所以v36121224.2.(2016南京模拟)已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_.(填写所有正确命题的序号)答案解析若l，则l，又m，则lm，故正确；若l，则l或l，又m，则l与m可能平行、相交或异面，故错误；若l，m，则lm，又m，则l与可能平行、相交或l，故错误；若l，l，则，又m，则m，故正确.综上，正确的命题是.3.(2016苏州模拟)如图，abcda1b1c1d1为正方体，连结bd，ac1，b1d1，cd1，b1c，现有以下几个结论：bd平面cb1d1；ac1平面cb1d1；cb1与bd为异面直线.其中所有正确结论的序号为_.答案解析由题意可知，bdb1d1，又b1d1平面cb1d1，bd平面cb1d1，所以bd平面cb1d1，正确；易知ac1b1d1，ac1b1c，又b1d1b1cb1，所以ac1平面cb1d1，正确；由异面直线的定义可知正确.4.(2016泰州二模)如图，在梯形abcd中，adbc，abc90，adbcab234，e、f分别是ab、cd的中点，将四边形adfe沿直线ef进行翻折，给出四个结论：dfbc；bdfc；平面dbf平面bfc；平面dcf平面bfc.在翻折过程中，可能成立的结论是_.(填写结论序号)答案解析因为bcad，ad与df相交不垂直，所以bc与df不垂直，则错误；设点d在平面bcf上的射影为点p，当bpcf时就有bdfc，而adbcab234，可使条件满足，所以正确；当点p落在bf上时，dp平面bdf，从而平面bdf平面bcf，所以正确；因为点d的射影不可能在fc上，所以平面dcf平面bfc不成立，即错误.故答案为.5.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点e是棱bc的中点，点f是棱cd上的动点，当_时，d1e平面ab1f.答案1解析如图，连结a1b，则a1b是d1e在平面abb1a1内的射影.ab1a1b，d1eab1，又d1e平面ab1fd1eaf.连结de，则de是d1e在底面abcd内的射影，d1eafdeaf.abcd是正方形，e是bc的中点，当且仅当f是cd的中点时，deaf，即当点f是cd的中点时，d1e平面ab1f，1时，d1e平面ab1f.6.(2016连云港模拟)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac，abac，点e是bc上一点，且平面bb1c1c平面ab1e.(1)求证：aebc；(2)求证：a1c平面ab1e.证明(1)过点b在平面bb1c1c内作bfb1e，平面bb1c1c平面ab1e，平面bb1c1c平面ab1eb1e，bf平面ab1e.ae平面ab1e，bfae.又在直三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，ae平面abc，bb1ae.bb1bfb，ae平面bb1c1c，bc平面bb1c1c，aebc.(2)连结a1b，设a1bab1g，连结ge，aebc，abac，bece，又a1gbg，ge是a1bc的中位线，gea1c.ge平面ab1e，a1c平面ab1e，a1c平面ab1e.7.(2016南通、扬州、泰州联考)如图，在四棱锥pabcd中，pc平面pad，abcd，cd2ab2bc，m，n分别是棱pa，cd的中点.(1)求证：pc平面bmn；(2)求证：平面bmn平面pac.证明(1)设acbno，连结mo，an，因为abcd，abcd，n为cd的中点，所以abcn，且abcn，所以四边形abcn为平行四边形，所以o为ac的中点，又m为pa的中点，所以mopc.又因为mo平面bmn，pc平面bmn，所以pc平面bmn.(2)方法一因为pc平面pda，ad平面pda，所以pcad.由(1)同理可得，四边形abnd为平行四边形，所以adbn，所以bnpc，因为bcab，所以平行四边形abcn为菱形，所以bnac.因为pcacc，所以bn平面pac.因为bn平面bmn，所以平面bmn平面pac.方法二连结pn，因为pc平面pda，pa平面pda，所以pcpa.因为pcmo，所以pamo.又pcpd.因为n为cd的中点，所以pncd，由(1)得anbccd，所以anpn，又因为m为pa的中点，所以pamn，因为mnmom，所以pa平面bmn.因为pa平面pac，所以平面pac平面bmn.8