促进中学生数学理解的教学对策研究.pdf

华中师范大学 硕士学位论文 促进中学生数学理解的教学对策研究 姓名 陈军 申请学位级别 硕士 专业 学科教学论 数学 指导教师 熊惠民 20070510 摘要 数学理解是学生获取数学知识的关键 是学生一切能力发展的起点和升华点 数学理解已成为当今数学教育界所关注的一个重要问题之一 本文试图从中学生的数学学习现状 线教师的教学和我们自己数学研究实践 的观察与反思出发 结合数学教育学 心理学的有关理论 阐述中学生的数学理解 的重要性 并提出促进中学生数学理解的教学对策 首先 本文从中学生的数学学习中提出数学理解的课题 分析其研究的背景与 意义 对数学理解的研究现状进行分析 发现问题 从而确立本课题的研究思路 其次 对数学理解进行理论概述 界定本课题中数学理解的涵义 指出数学理解 与数学学习的关系 并分析数学理解障碍及其生成机制 提出促进中学生数学理解 的教学对策 最后 本文指出数学理解的教学还必须上升到数学观的培养 作者认为数学观 在一定程度上体现了教师的教学观和学生的学习观 科学的数学观能促进更好的理 解数学 从而完成由数学知识的理解到理解数学的飞跃 由学生对数学的良好理解 进而最大限度激发学生学习数学的兴趣 迸发应用数学的热情 促进学生的创新能 力等数学综合能力的提高 关键词 理解 数学学习 数学理解 教学对策 数学观 A b s t r a c t M a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n gi st h ek e yt oo b t a i n i n gm a t h e m a t i c sk n o w l e d g e w h i c h i st h eb e g i n n i n ga n dd i s t i l l i n gp o i n tf o rs t u d e n t st od e v e l o pav a r i e t yo fa b i l i t i e s M a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n gh a sa l r e a d yb e c o m ea n o t h e ri m p o r t a n tt o p i ci nt h ef i e l do f c u r r e n tm a t h e m a t i c se d u c a t i o n A c c o r d i n gt ot h es t u d yo f0 1 1 1 o n r e n tt e a c h i n ga n dl e a r n i n gs i t u a t i o n a sw e l la s o u t m a t h e m a t i c so b s e r v a t i o na n di n t r o s p e c t i o n t h i sa r t i c l ea t t e m p t st oi l l u s t r a t et h e i m p o r t a n c eo fm a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n gf o rt h em i d d l es c h o o ls t u d e n t s u s i n gt h e r e l a t e d p s y c h o l o g yt h e o r y a n dp r o p o s e s t h e t e a c h i n gs t r a t e g i e sp r o m o t i n gt h e m a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n gf o rt h em i d d l es c h o o ls t u d e n t s F i r s t l y t h i sa r t i c l ep r o p o s e st h et o p i co fm a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n gt h r o u g ht h e m a t h e m a t i c sl e a r n i n go ft h em i d d l es c h o o ls t u d e n t s a n da n a l y z e si t sr e s e a r c h b a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c e a sw e l la st h ep r e s e n ts i t u a t i o no fc a r r y i n gO nt h er e s e a r c h T h u si t 啪f i n do u tp r o b l e m sa n de s t a b l i s ht h ei d e ao ft h i sr e s e a r c hs u b j e c t S e c o n d l y t h i sa r t i c l ec a r f i c so nt h e o r ys u m m a r yt om a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n g a n dd e f i n e si t sm e a n i n g a n dp o i n t so u tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm a t h e m a t i c ss t u d y i n g a n dm a t h e m a t i c s u n d e r s t a n d i n g a n da n a l y z e st h eo b s t a c l e sa n dm e c h a n i s mo f m a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n g a n di tw i l la l s op m m o t et h et e a c h i n go o u t l t e r m e a s u r eo ft h e m i d d l es c h o o ls t u d e n ts m a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n g F i n a l l y t h i sa r t i c l ea l s op o i n t so u tt h a tt h et e a c h i n go fm a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n g m u s tr i s et oh o wt oc u l t i v a t em a t h e m a t i c sv i e w s T h ea u t h o rt h i n k st h a tt h em a t h e m a t i c s v i e wr e f l e c t st h et e a c h e r s t e a c h i n gv i e wa n dt h es t u d e n t s s t u d y i n gv i e wt oac e r t a i n d e g r e e A l s o t h es c i e n t i f i cm a t h e m a t i c sv i e wp r o m o t e st h ea b i l i t yo fm a t h e m a t i c s u n d e r s t a n d i n gb e t t e r T h e r e f o r e i t 锄f i n i s ht h el e a p 丘D mt h eu n d e r s t a n d i n go f m a t h e m a t i c sk n o w l e d g et ou n d e r s t a n d i n gm a t h e m a t i c s s oa st os t i m u l a t es t u d e n t s i n t e r e s ti ns t u d y i n gm a t h e m a t i c s t oo u t b u r s tt h ee n t h u s i a s mo fa p p l y i n gm a t h e m a t i c st o t h eg r e a te x t e n t t op r o m o t et h es t u d e n t s i n n o v a t i o na b i l i t i e sa n dm a t h e m a t i c si n t e g r a t i n g c a p a b i l i t i e sa n d s oo n K e yw o r d s u n d e r s t a n d i n g m a t h e m a t i c sl e a r n i n g m a t h e m a t i c su n d e r s t a n d i n g t e a c h i n gs t r a t e g i e s c o n c e p t i o no fm a t h e m a t i c s 博士学住论文 D O C T O R 札D I S S E R I 彻O N 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师指导下 独立进行研究工作 所取得的研究成果 除文中已经标明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出贡献的个人和集体 均已在 文中以明确方式标明 本声明的法律结果由本人承担 作者签名 P 冢荤 V 日期 多吖年岁月I o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借 阅 本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到 中国学位论文全文数据库 并通 过网络向社会公众提供信息服务 作者龇粥爱 日期 弘可年厂月 日 导师签名 多妻园 日期 刃年歹月f o 日 本人已经认真阅读 C A M S 高校学位论文全文数据库发布章程 同意将本人的 学位论文提交 C A L I S 高校学位论文全文数据库 中全文发布 并可按 章程 中的 规定享受相关权益 回重迨塞量变卮遗屋 旦圭生 旦二生 旦三生蕉查 作者勰弘净 日期 弘唧年厂月 o 日 导师签名 丝妻氏 日期 和刁年 月f 日 硕士学位论文 M A S T E R ST H E S I S 1 问题的提出 数学是中学生公认的最难学的学科之一 中学数学老师是各科教师中最肯下功夫 对学生进行解题训练的老师之一 然而数学教与学中的高投入低产出现象依然十分严 重 而且随着数学知识的递增产生越来越多的差生 笔者认为其中一个重要的原因就 是学生对数学的不理解 在中学的数学教学中 许多数学老师并没有把数学理解放在重要的位置来进行数 学知识的教学与设计 为了应付大型的中考 高考 教学上必须实施 题海战术 对学生进行 大运动量训练 否则很难应付这样的考试 久而久之 教师就忽略了 对学生理解能力的培养 学生疲于应付作业 无暇深入思考 理解数学知识 从而造 成学生理解水平不商 容易产生理解障碍 而且 考试的内容往往只能是学习内容的 一部分 并且迄今为止大都局限于书面知识 具有一定的片面性和偶然性 特别是当 考题发生偏差 部分考生死记硬背也能拿到高分时 就会给他们造成一种误导 偏重 书本知识 忽视应用 偏重记忆 忽视理解 偏重解题技巧训练 忽视对数学知识问 的理解 再加上 题海战术 知识要点 例题 练习 模拟考试 的教学模式呈现 在中学生的数学课堂中 在这种教学模式与思潮的影响下 学生被培养为机械模仿 套用题型的解题高手 这与培养面向2 l 世纪创造性人才的要求是背道而驰的1 同时 这在一定程度上也让一些学生觉得数学太枯燥了 数学除了做题还是做题 数学教学 中的月考 周考让多少学生胆战心惊 数学教学中的抢进度 快速度 高难度 这一 点在高中比较突出 让多少学生越学越湖涂 越学越没有信心 许多老师也深感困 惑 只会背公式 概念 定理 法则 不侧重于有意义的学习 侧重于机械式的解题 训练 学生对数学的理解是生硬的 一些知识只会照搬照套 对数学知识没有理解好 导致学生不能掌握和灵活运用所学的知识 这是许多中学生数学成绩不好的一个重要 原因 还有些中学生虽然数学成绩很好 但付出的代价是惊人的 他们放弃了其他正 常的娱乐爱好 放弃正常的节假日的休息 全身心的投入到数学学习中 虽然一时可 以取得好的成绩 但是要再继续学习新的东西时接受又很慢 形成了恶性循环 非得 要再下很大的苦功才行 这与学生的理解能力差有很大的关系 因为理解能力差 学 生接受很慢 因为接受慢 很多数学知识没有弄懂 新的知识又来了 同时又要完成 大量的习题 学生忙得没有多少时问休息却收效甚微 因为对数学不理解 很多的习题 王林全 现代数学教育研究概论 广州 广东高等教育出舨社 2 0 0 5 8 第9 l 页 l 又不会做 学生对数学内心感到非常恐惧 以至于到了厌恶的地步 新课程改革已经在全国范围内启动 传统数学教学中好的地方要继承 不足的地 方要加以改进 才能适应现代社会发展的需要 而在数学学习中 很多问题的出现是因 为学生对数学不理解造成的 学生最怕的是数学 最难理解的也是数学 平时学生花 时较多的也是数学 对于数学这门学科 很多学生先是抱着满心的喜悦来学习数学 最后却是怀着伤心或厌恶不得不放弃数学 因为数学难学难理解 有些学生到了高中 不得不选择文科数学或艺术类数学 等到毕业了 也不愿去从事与数学有关的工作 这一方面与学生的兴趣爱好有关 但更重要的是因为学生对数学的不理解造成的 如何改变这一些现状昵 如何改变中学生对数学的看法 如何让中学生真正喜欢 数学 笔者认为 注重数学理解在中学生的数学学习中的重要地位 可以改变中学数学 教学中的高投入低产出的现象 可以让中学生对数学产生好感 让学生真正喜欢数学 建立在对数学知识的和谐理解基础上的数学学习可以让数学作为一种文化让学生更 好的吸收 可以让学生更好更快地发展其他的数学能力 从而在数学学习中取得优异 的成绩 适应未来社会发展的需要 那么促进中学生数学理解的教学对策有哪些昵 这是笔者在教学实践中努力探求的问题 本文在这里作一些探索 以期盼有益于中学生的数学学习和我们教师的数学教 学 1 1 研究背景与意义 华东师大张奠宙教授对学生数学学习中高分现象进行了分析 他一针见血地指出 高分下潜伏着危机 他指出我国的数学教育正面临着严重的挑战 如学生负担过重 优良的数学成绩是以牺牲学生自由支配时间而换取的 题海战术使学生善于应付考试 却不利于数学创造能力的养成 学生的应用能力薄弱2 例如在求两城市间最短路线 看 统计图回答问题等测试成绩方面 得分率低于韩国 台湾 美国 瑞士 英国 加拿 大等国家或地区 中国学生动手能力低于发达国家 欧美学生虽然在卷面上考不过我 们 可是在运用计算机迸行作图 贮存资料 文字处理 科学计算 做数学项目 做 科学项目 乃至玩游戏等方面 样样精通 科学成绩的低下说明中国学生的内在知识 结构 一种整体意义上的具有领域联结性的知识结构 存在缺陷 这样的知识结构不利 于学生进一步理解数学 应用能力的薄弱说明中国学生不能灵活地应用所学知识解决 真实问题 说明其所掌握的知识是固化的 不能迁移与弹性应用的 相比较欧美学生 2 张莫宙 数学教育经纬 江苏教育出版社 2 0 0 3 年9 月 第2 1 2 页 2 而言 中国学生实践能力的低下同样表现出他们在数学知识理解上的不深入甚至表现 出他们对数学学习的认识上的某种极端与误区 如笔者同一些学生的接触访谈中 学 生普遍认为数学学习就是上课听讲 下课做练习册上的习题 数学学习的目的就是为 了今后考大学 找个好工作 数学课没意思 不好玩 数学重视推理 有时很难弄懂 但一旦弄懂 又非常有意思 数学课很难很枯燥 很不愿意学习数学等等 虽然新的课程已在实施 但我国的数学教师受应试教育的影响依然注重传统的数 学课堂教学 过于强调对定义 定理 法则 公式的灌输与记忆 不注重这些概念 知识的发生 发展 运用过程的揭示与解释 不善于将这一过程中丰富的数学思维训 练的因素开掘出来 不善于将知识中蕴含的丰富的数学思想方法进行抽象和概括 在 解题过程中 只是强调对问题一招一式 一题一解 一法一题的个别解决 定势套路 的总结 而轻视思路分析 忽视解题的思维过程 不能将具体的知识和个别的技巧上 升到数学思想的高度 揭示数学它的内容 意义和方法的实质和规律 其时间分配上 主要有两大段 第一段是教师讲授新知识 第二段就是学生做大量的练习 其中不少 是机械式 模仿式的练习 这样留给学生动脑思考 理解 消化的时间就很少 笔者认为 以上的分析已充分表现出中国的数学教育真实地带给学生的是 会考 数学 但不会用数学 被动地接受数学 却不是主动地学数学 最终只是知道数学 但却不能真正深刻地理解数学 由此可知 研究本课题不仅具有改善中学生数学学习 现状的现实意义 同时还具有现实性和紧迫性 从理论研究的角度看 理解与数学理解的研究意义体现在它的广阔包容性和相对 独立性 可以说 理解与数学理解的研究涉足哲学 社会学 学习学 人类学 文化学 等各个领域 它为我们提供了 个研究视角 使我们在把握各个背景领域的内涵演化 的同时 不断丰富 充实 更新着对它的认识与解读 从社会需求的角度看 信息化社会和知识经济社会所需要的是那种能不断学习新 知识 薪技能 能应用自己的已有知识去解决新问题的创新人才 从这个意义上说 仅 靠机械记忆的知识很可能走出校门就毫无用处 而具有稳定性与恒常性的数学素养与 数学理解则显得格外重要 数学教育家卡平特和利热更是明确指出 为了培养面向 2 l 世纪的具有数学素养的公民 课堂需要被重新构建 以致于数学能被理解地学习 从个体发展的角度看 数学理解的意义更是清晰可见 首先 知识的理解有助于完 善个体大脑内部的知识结构网络 从而推动记忆 进而又更易于同化与理解新知识 新 信息 这是一个良性的学习过程 其次 知识只有被深刻理解了 才具有迁移与应用的 灵活性 这种迁移能力对个体未来发展是十分重要的 最后 注重数学理解的教学有 助于营造一个生动活泼 亲切和谐的数学学习氛围 减轻师生过于沉重的负担 将数 学教学的重心迁移到培养全面发展的中学生上来 1 2 当前的研究现状 2 1 理解 的研究现状 自古以来 人们就从不同的角度对 理解 作出了各种各样的释义 如哲学家施 莱伊马赫 F D S c h l e i e r m a c h e r 认为 理解 就是在语言分析和心理移情中 把 理解对象自身本来所具有的原意再现出来 这时理解被视作解释者在心理上重新体验 他人心理或精神的复制和重构过程 这种重构是从文本的文字到它的意义 从作者的 文化心理背景复员到作品的原意的过程中进行的 狄尔泰认为 理解 是一个从外 部给予的符号中认识一种内在物的过程 这是从哲学 文学的角度去探讨理解 而作 为对数学知识的理解应是有别于此的 心理学中对于 理解 U n d e r s t a n d i n g 的解释是 4 个体运用已有知识 经验 以认识事物的联系 关系直至其本质 规律的思维活动 例如弄清一个数学概念 了解一个数学命题的意义 明确数学公式 法则之间的内在关系等 都称为理解 此 外 也有的心理学家认为 人类在记忆编码和提取活动过程中 借助于推理性的思维 机制 有超出原有信息的再创造性活动 即个体把已有的知识 结构 经验同正在编 码和提取的信息结合起来 并对其进行加工 而不是准确地 拷贝 这些对输入的 信息进行了知觉概念加工的产物 由于记忆加工的层次水平结构化及循环深化 其加 工水平不断提高 表现出高度的灵活性5 笔者认为 以上即是对 理解 过程做出的 较好的心理学解释 从教育心理学的角度而言 知识的理解是指了解传递知识的载体 的含义 使语言文字等各种符号在头脑中唤起相应的认知内容 从而对于知识获得闯 接认识的过程 简而言之 理解就是 懂 从信息加工的角度而言 理解也就是使新 学习的知识能在大脑中获得正确的表征 并合理地与已有的认知结构中的相关信息和 内容发生联系 知识的理解是掌握知识的首要环节 学生的学习主要是有意义的言语 学习 如果没有理解 只会造成对语言的死记硬背 同时 没有理解的知识也难以巩 固和应用8 从认知结构的角度来讲 理解则是知识意义的建构和个人认知结构的完善 是人们知识结构的不断发展 不断完善的动态的过程 而不只是各种认识的获 得 R S k e m p 指出 对某个事物的理解 指的是将它同化进入一个适当的s c h e m a 图 金生钍 理解与教育 教育科学出版社 1 8 9 7 年 第3 2 页 章建跃 朱文芳 中学数学教学心理学 第1 5 0 页 邝孔秀 理解是第一位 吗 数学教育学报 2 0 0 0 9 3 莫雷 教育心理学 广东高等教育出版社 Z O f l 2 年1 2 月第1 版 第1 6 8 页 4 式 结构 之中 这里包含有两层意思 一是指对新事物的理解总要调动起头脑中已 有的与之相关的知识结构 使新事物能与之建立联系 并同化7 予其中 否则就不能理 解 二是指这种图式8 必须是恰当的 否则就会产生误解 认知心理学把理解描述为 学习的内容 成为个人内部网络的一部分 强调在心理上能组织起适当的有效的认 知结构 美国著名的教育心理学家舆苏贝尔从理解和掌握知识的内部特征的角度把 学习分为机械学习与有意义学习 而他所倡导的认知学习理论中最重要的一个观点就 是对有意义学习的描述 不仅记住词句符号 而且能理解其实质内容 美国著名学者布 卢姆按学习目标将学习分成六类 知识学习 理解学习 应用学习 分析学习 综合 学习和评价学习 英国数学教育家R S k e m p 从心理学的氖度阐述了学习的本质 并把 学习分为两种 习惯式的或机械式的学习 理解式的学习 在理解式学习中 起主要 作用的是大脑的理解活动 以及由此建立起来的图式或结构 而不是天赋的才能 从哲学解释学的角度看 学习过程本质上是理解的发生过程 学习的结果是一种 具有暂时性的 个体性知识 而 个体性知识 的 客观性 保证在于对这些知识 的理解的不断循环和反思 理解的学习观认为 理解是理解者的视域与文本的视域融 合的过程 因此理解的过程是一个建构过程 同时学习也是意义生成的过程 不同的 人看到的是事物的不同方面 不存在唯一的标准的理解 哲学家施莱伊马赫认为 理 解是一种认知方式 一种心理功能 思想巨匠狄尔泰认为 理解是人类普遍具有的独 特的认知方式 是一个从外部给予的符号中认识一种内在物的过程 综上所述 理解就是知识在人的大脑中有意义的和谐的动态的建构过程 让人们 的学习不断深入 并最终能激发创造力的过程 1 2 2 数学理解 的研究现状 在数学教育愈来愈受重视的今天 有关数学理解的研究也越来越引起人们的普遍 关注 在国外 二十世纪六 七十年代就已经有学者开始了这方面的研究 并在各个 领域取得了可喜的成果 现在 随着我国教育科学日新月异地发展 生理学 心理学 和认知科学等学科的不断完善 国内已有许多专家着手这方面的研究 如今随着人们 创新意识的增强 人们也越来越意识到理解在数学学习中的重要性 在认知学领域 国内外专家学者从不同角度对理解模式 理解的涵义与层次 理 解的功效 内部机制等问题进行了积极的探索和研究 各流派的研究成果体现了一个 7 同化 是把新内容纳入原有教学认知结构 从而扩大原有认知结构的过程 曹才翰 蔡金法 数学教育学概论 讧苏教育出版牡 1 9 8 9 年5 月第l 版 图式 是表赶特定概念 事物或事件的认知结构 它影响对相关信息的加工过程 曹才翰 蕖金法 数学教育学 概论 江苏教育出版社 1 9 8 9 年5 月第1 版 S 共同的观点 就是数学学习作为一种高级形式的学习 更需要理解 而且是有意义的 理解 理解的过程是一个循环往返 螺旋上升的过程 英国数学教育家R S k e m p 提出 对事物的理解有两种模式 工具性理解和关系性理解 而且 在数学学习和教学中 关系性理解 应该占主流 但事实并非如此 英国伦敦大学乔西学院主持的著名的 C 蛳S C o n c e p ti nS e c o n d a r y 酝t h e m a t i c sa n dS c i e n c e 研究探索了学生对数学的理 解层次 作为教师教学或教材编写的依据9 英国的S P i r i e 和加拿大的T K i e r e n 提出 了一个理解发展的理论模型 并把理解分为八个水平 初步了解 产生表象 形成表 象 关注性质 形式化 观察评述 组织结构 发明创造 他们认为理解是一个动态 的 分水平的 非线性的发展 是反反复复的建构组织过程 我国数学教育专家李士 铸先生则精辟地论述了数学理解的内部机制 功效等 章建跃 朱文芳把对数学知识 的理解概括为两点 领会和释译 并指出促进理解知识的两个环节 直观与概括 在上 述众多流派中 各流派分别对理解的某些层面做了比较深入的研究 并各自取得了独 特的成果 这些都非常有利于今后对数学理解的进一步研究 而有关数学理解与数学 观联系在一起的这方面的研究 据笔者目前所查阅到的资料来看 尚不多见 数学教学过程不再是一次性地追求 正确的数学知识 正确的认识 和 正 确的认识过程 任何一种理解都只是学习过程中的一个阶段 理解的学习过程是一 个不断生成的过程 任何一个前理解都是理解的基础 笔者认为有意义学习的主要成 分就是理解 换句话说 有意义学习实质上就是理解式学习 综合上述研究 专家们从不同的侧面揭示了 理解 的本质 总的来说 笔者比 较赞同R S k e m p 先生的观点 而且本文也是在上述理论的基础上加以研究的 但作为 数学学习领域的 理解 应与一般的 理解 既有联系 又有区别 正是基于这样 的观点 本文试着对数学理解进行比较深入的研究 1 3 本课题研究的问题与思路 基于本文的研究背景 本研究的基本闯题是 1 数学理解与数学学习的关系是什 么 2 教师应如何促进中学生的数学理解 根据以上基本研究问题 形成本课题的研究思路 本文首先从当前的教学以及学 生学习数学的现状出发 提出本课题及其研究背景 给合教育心理学领域中的有关理 论 对理解与数学理解迸行概述 提出需要进一步探讨的几个问题 其次 对 数学 张羹宙 数学教育研究导弓f 江苏教育出版杜 1 9 9 8 第3 3 3 页 李 绮 P M E 教学教育心理 华东师范大学出版社 2 0 0 1 第8 0 页 程广文 范文贵 超越传统的数学学习观 沈阳师范大学学报 自然科学版 2 0 0 4 年第2 2 卷 6 理解 作出界定 分析数学理解与数学学习的关系 阐述数学理解障碍及其生成机制 再次 在以上研究的基础上 提出促进中学生数学理解的一些教学对策 最后 从数 学知识的理解上升到对数学学科的理解高度 探讨有关数学观的问题 并把培养中学 生良好的数学观作为从根本上促进中学生数学理解的对策 本文主要采用的研究方法具体包括 文献研究 实证调查 试题测试 观察 访 谈及案例研究 比较研究 课堂实际教学及教学研讨会等方法 7 2 数学理解概述 为了更好的研究本课题 笔者认为有必要对 数学理解 及 数学理解障碍 等 有一个明确的认识 为此笔者分别对它们作了界定 2 1 数学理解的涵义 数学理解是世界数学教育界所关注的一个中心话题 正如前文所述 数学理解是 指学生在数学学习过程中对数学知识 数学思想方法 数学观 有关数学知识背景等 的理解 数学学科有自身独特的特点 如 严密的逻辑性 高度的抽象性 系统性 知 识的紧密连贯性 广泛地运用符号等 因此 数学理解 的涵义与前面一般 理解 的涵义是有所不同的 2 1 1 数学课程中的 数学理解 原来的 全日制初级中学数学教学大纲 1 9 8 8 年 中规定 理解 是对概念和 规律 定律 公式等 达到了理性认识 不仅能够说出概念和规律是什么 而且能够知 道它是怎样得出来的 它与其它概念和规律之间的关系 有什么用途 这也是数学理 解的本质内涵 现在 我国的全日制义务教育 数学课程标准 这样解释 理解 能描述对象的特征和由来 能明确地阐述此对象以及与有关对象之间的区别和联系 在数学学习中 理解需要经历一定的时间 过程才能逐步深入 不能认为只有一次完 成对知识的本质和规律的认识才算是理解 对知识的认识 即使是初步的 不完全的 只要它与知识的本质和规律相联系 不是单纯依靠直接感知揭露的 都可以称为理解 例如 弄清数学概念 明确公式 定理的条件 结论 来龙去脉 推理论证的过程以 及适用范围等 都是某个认知阶段的理解 在学习的不同阶段 学生对所学知识的理 解可以有不同的层次 随着学生身心水平的不断发展 认知结构的不断完善 其理解 也会越来越深入 2 1 2 数学理解 的界定与涵义 我国学者李士筠先生利用认知结构的建构观点 认为学习一个数学概念 原理 法则 如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构 并使之成为个人内部的知识网 络的一部分 那么说明是理解了 S E B P i r i e 和R L E S c h w a r z e n b e r g e r 认为 数 学理解 包括对数学概念 概念之间的联系以及普通的数学语言或具体的对象的理解 8 硕士学位论文 M A S T E R ST H E S I S 数学理解 或称为对 数学的理解 都是外延比较大 比较模糊的概念 有的人认 为 数学理解 是指 从数学的角度去理解 而有的人认为是 用某种数学的观点 思想方法去理解 或者是 对数学思想方法的理解 对数学知识的理解 等等 笔者认为 数学理解 或对 数学的理解 是指对数学知识 数学思想方法 数 学观及有关数学知识的背景等的理解 但 数学知识 所涉及的范围也相当地广 比 如说是高等数学知识 还是初等数学知识 由于本课题研究的对象是中学生 所以这里 的 数学知识 是指初等数学知识 而且本文所研究的 数学理解 主要是指对数学 知识的理解 鉴于 数学理解 和对 数学的理解 意义基本相同 本文仅探讨 数 学理解 本文认为 数学理解 是指在学习者现有的认知水平范围内 通过数学学习活 动 以目前自身已有的知识和经验 对教材上的知识信息或教师所讲的内容 包括数 学思想方法 数学知识的有关背景等 经过思维加工 重新加以解释 重新建构其意 义 从而把新的学习内容正确地同化于已有的认知结构 或者改组 扩大原有的认知 结构 使新学习的内容成为整个结构的有机组成部分 从而逐步认识其本质和规律 的一种思维活动 从数学教与学的角度看 数学理解的核心就是把握数学概念 性质 包括公式 法则 定理 例题 习题 运算等的本质内涵 特点及它们之间的内在关 系 而且会应用于实际 数学理解 简单地说 是指学生在学习过程中对数学知 识 数学思想方法 数学观 有关数学知识背景等的理解 2 2 数学理解与数学学习 数学学习的主要目标之一是使学生学会学习 所谓 学会学习 其含义主要是 学生能够在已有知识经验的基础上 通过自己积极主动的数学活动掌握数学知识 即 理解地学习数学 理解性的学习能使数学学习过程处于良性循环状态 有意义地联系 已有知识进行新知识的学习 不仅能较容易地理解 记忆和应用新知识 而且建立了 广泛的 联系紧密的知识网络 具有较强的迁移能力 能较容易地用于新情境 另外 理解性学习对于促进学生形成积极主动的学习态度 学会自主学习也有非常积极的作 用 理解性学习是思维最近发展区内的学习 学生的思维会受到适度的挑战 他们的 好奇心能得到激发 对解决复杂问题能力的自信心能得到增强 在理解性学习中 学 所谓数学认知结构 就是学生头脑里的数学知识按照自己理解的深度 广度 结合若自己的感觉 知觉 记忆 恩维 联想等认知特点 组合成的具有内部规律的整体结构 吴宪芳 郭熙汉等 数学教育学 华中师范大学出版杜 1 9 9 6 年1 月 第4 2 页 王爱珍 数学理解及理解障碍的探究 广东教育学院学报 2 0 0 4 年5 月 第2 4 卷第2 期 9 生独立思考的愿望 自主探索的精神 坚持不懈的品质都能得到加强 总之 在学生 努力解决复杂问题或理解较难的数学原理时 他们能感受到成功的乐趣 这种成就感 会反作用于学生的学习而使他们继续努力学习 2 2 1 理解是人类形成智慧的需要 美国教育学家G M B l e i n k i n 和A V K e l l y 曾说过g 教育不在于获得有用的知识 或技能 两在于发展求知能力 不在于学习而在于达成理解 不在于获得信息 而在 于完成智慧 人类经历了几千年的发展进化历程 积累了宝贵的知识经验 而在整个 发展进程中 人们又在前人所得到的成果的基础上不断地学习 创新 试图更完美地 运用与发展前人的精神财富 而这一过程离开了 理解 是无法进行的 人们在不断地 学习过程中 注入各自的理解 从而得到发展 并不断地完善 整个人类才不断地得 以前进 即使是现在的教育 也是使学习者经过一系列的学习等活动 把外在的知识 内化为个人的经验 即对所学习的知识进行理解 整合 汇入个人的经验之中 逐步 形成个人的智慧 在人生的各个方面显示其力量 2 2 2 理解是获得数学知识的核心环节 理解是数学学习过程的核心环节 也是掌握 运用数学知识 提高数学能力的关 键 是学生获得知识的一种重要方式 在数学教育界 最为人们广泛接受的一种思想是 学生应该要理解数学 在数学教育中有许多研究的目标是推行理解地学习 专家认为 任何知识只有通过理解才能被人建构意义 进入个体的经验中 成为其中的一部分 已有的知识也才能真正地成为个人的知识 p c r s o n a lk n o w l e d g e 才是活的知识 学习 者才能对其应用自如 反之 当已经有的知识不能与个人的经验有机地融为一体时 它 便不能成为真正的 个人的知识 这种知识虽然有可能被学习者占有 但却不能活 用 这不是我们所追求的目的 2 2 3 数学理解是数学课程学习的教育目标之一 西方国家很早就非常重视学生的 数学的理解 这一点在 美国学校数学课程 与评价标准 1 9 8 9 年版 英国国家数学课程 1 9 9 9 年版 以及 美国学校数学 课程原则与标准 2 0 0 0 年版 中得到了很好地体现 其中美国学校数学标准完整地描 绘了由学前到1 2 年级的学生所应达到的数学理解 并且对学生们的数学理解做出评 价 其中有这样几段精彩的论述值得我们思考 1 我们生活在一个数学的世界里 无论我们决定去购物 还是选择保险或者健康计划 或者使用一个软件包 我们都依 曹才翰 蔡金法 数学教育心理学 北京师范大学出版社 2 0 0 6 年6 月第2 版 第1 5 8 页 1 0 赖于对数学的理解 2 在这样一个世界里 那些理解数学并且能作数学的人 将比那些不懂数学的人有更多的机会 英国国家数学课程 中也有这样的例子可 循 如 儿童应建立他们对数学的理解 并且随着时问的推移发展这种理解 在 所有学段都应该帮助儿童通过实践活动来发展对数学的理解 对学生的理解能力的 要求较高 美国1 9 9 6 年颁布的 国家科学教育标准 中 教学重点的变化之一是 不 太强调在一个单元或一章结束后对学生进行事实性知识测验 而比较强调不断评价学 生的理解能力 评价重点的变化之一是 不太强调科学知识 比较强调评价科学理 解力 内容重点的变化是 不太强调了解科学事实和信息 更强调理解科学概念 日本文部省于1 9 9 8 年1 2 月公布了2 0 0 2 年实施的 中小学数学学习指导要领 该 要 领 削减了一些复杂的计算 精简了一些知识点 把重点放在 对方法的理解 上 加 强了理解数学本质的要求 现在 随着我国数学教育事业的发展和研究的逐步深入 数学理解 也越来越 受到众多专家学者的重视 实际上 我国原来的初高中数学教学目标也有明确要求 学 生应加深理解关于数量 图形等的基础概念 原理和规律 如今新研制的 全日 制义务教育 数学课程标准 对此也作了槽彩的描述 义务教育阶段数学课程应从 现行大纲中获取数学知识 技能和能力为首要目标 转变为首先关注每一个学生的情 感 态度 价值观和一般能力的发展 使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系 体会数学的价值 增进对数学的理解和应用数学的信心 数学课堂也应由单 纯传授知识的殿堂转变为学生主动从事数学活动 以构建其有效的数学理解场 所 2 0 0 3 年颁布的 普通高中数学课程标准 实验 指出 要强调对数学本质 的认识 否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里 数学的现代发展 也表明 全盘形式化是不可能的 因此 高中数学课程应该返璞归真 努力揭示数学 概念 法则 结论的发展过程和本质 数学课程要讲逻辑推理 更要讲道理 通过典 型例子的分析和学生自主探索活动 使学生理解数学概念 结论逐步形成的过程 体 会蕴涵在其中的思想方法 追寻数学发展的历史足迹 把数学的学术形态转化为学生 易于接受的教育形态 笔者认为 学生易于接受的教育形态 也就是让学生能很好 的理解数学知识的教育形态 在教学建议中指出 教师应帮助学生理解和掌握数学基 础知识 基本技能 在评价建议中指出 评价应重视考察学生能否从实际情景中 抽象出数学知识以及能否应用数学知识解决问题 评价要注重对数学本质的理解和思 想方法的把握 避免片面强调机械记忆 模仿以及复杂技巧 在教材编写建议中谈 到 教材编写要体现相关内容的联系 帮助学生全面理解和认识数学 由此可见 数学理解 已引起了我国广大数学教育工作者的普遍关注 1 1 硕士学位论文 M A S T E R ST H E I S 全日制义务教育数学课程标准 在课程总体目标的阐述中使用了 了解 认识 理解 掌握 灵活运用 的要求 高中数学课程标准 也在知识与技能的目标水平 中使用了 知道 了解 模仿 理解 独立操作 掌握 应用 迁移 等词 可见 数学理解是数学课程的目标之一 从这个意义上说 我们要求学生学习数学 是希望学生在掌握数学知识的基础上 能从数学角度去思考问题 理解问题 解决问 题 进而锻炼思维 培养情感 最终成为富有创造力的人 强调理解在数学教学与学 习过程中的核心作用 把理解当作教学的一个中心环节去给予充分的关注 2 2 4 数学理解能力是其他能力的基础 数学学习中 理解 无疑是第一位的 它已成为继 问题解决 之后当今世界 数学教育界所关注的又一中心话题 P M EN e w sM a y1 9 9 7e d i t i o n M a t h e m a t i c s F o r u m 美国数学教育专家贝尔觚A B e l l 曾利用实验对理解在数学学习中的重要 性给出过很好的证明 从某种意义上说 没有理解就不能有真正意义上的学习 它是 对知识进行掌握 应用的前提 也是进行后继学习的基础 我国教育哲学博士金生铉曾经指出 就学生的学习过程而言 理解是学习的基 础 任何认知方式都是建立在理解之上的 不论是分析 概括 归纳还是系统化 都 需要理解 理解使学习成为可能 在学习过程中 学生进行着对学习情景的理解 对 自我的把握以及对学习材料最初意义上的把握等等 理解总是渗透到学习活动的各个 方面 如动机 情感等 使学习活动得以进行 理解的关键就是把个人的整体经验投 向了相关的学习内容 并发生意义关联 这样才可能使学习者的认知活动得以实现 由此可见 理解对于学习而言是多么地重要 没有理解 就没有真正的数学学习的开 始 而学生的其他学习能力若没有建立在理解的基础上 其后果是不堪设想的 素质教育要求 学生具有数学的综合能力 它包括3 大基本能力 运算能力 空 间想象能力 逻辑思维能力 还有形象思维能力 直觉思维能力 聚合思维能力 发散思维能力 观察能力 记忆能力 运用能力 创新能力及数 学理解能力等 其中就数学理解能力与其它能力 的关系 我国学者刘广军曾作出过这样的描述 它 们之间关系可用空间的笛卡儿坐标系来表示 如 图2 一1 原点0 表示数学理解能力 它在开始时是一 马复 试论数学理解的两种类型 数学教育学报 2 0 0 1 1 0 3 5 0 5 3 1 2 个点 向其它各方向进行辐射 但当其它能力提高时 又反辐射于理解能力使其变化 为实心球体 这样循环往复球体越来越大 因此 它是其它能力的发源地 X 轴正向表 示运算的技能 Y 轴正向表示几何知识及相关的技能 z 轴正向表示思维活动的形态 一切思维能力都位于z 轴的不同区间段上 这此区问段有重叠的部分 逻辑思维能力 位于从原点起第一大段 这样平面y o z 表示空间想象能力 平面X O Z 表示运算能力 而平面x o y 表示解决问题的数学思想方法 三种基本能力都是双向的 一方面由理解 能力使之进一步发展 另一方面又反作用于理解能力 使理解能力增强 运用能力和 创新能力是数学能力的综合 它们好像第一象限内垂直于x o y 平面的回转单叶双曲面 围成的几何体 最底层是观察能力 其次是运用能力 再向上就是创新能力 创造能 力 它是多维度的 由此可知数学理解能力与其它知识能力问的关系 只有把最激动人心的发现 概 括 抽象的创造活动提供给学生 让学生真正理解数学知识的绝妙之处且能激发学生 的最大兴趣 从根本上提高他们的理解能力 形成良性循环 2 3 数学理解障碍 为了促进中学生的数学理解 有必要对数学理解障碍作一定程度的分析 因为破 除中学生数学理解上的障碍实际就是促进中学生的数学理解 Z3 1 数学理解障碍的涵义 所谓 数学理解障碍 简单地说 就是指学习者在理解数学知识时 遇到了困 难 但就整个理解过程来说 是指在学习者现有的认知水平范围内 通过数学学习活 动 试图以目前自身已有的知识和经验对数学知识信息进行思维加工 但尚未能正确 地重新加以解释 重新建构其意义 从而不能把新的学习内容正确地纳入已有的认知 结构 在认识其本质和规律的思维过程中出现断层的一种认知状态 此时 学习者不 能把握前后知识间内在的联系 由于数学本身所具有的特点 使得学生要想理解 学习后面的知识 必须理解好 前面的知识 如果学生不能把握数学知识等的本质内涵及其所蕴涵的内在联系 就会 产生理解障碍 所以 教师讲授新的内容时 必须事先了解学生的与新知识有关的认 知情况 并根据学生原有的理解状况进行教学 要想促进学生对数学的理解 就要了 解学生