数学新学案同步课件选修北师大版：圆锥曲线与方程44.1.ppt

4 1曲线与方程 第三章 4曲线与方程 学习目标1 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 2 理解方程的曲线和曲线的方程的概念 3 了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法 4 掌握根据已知条件求曲线方程的方法 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念 在直角坐标系中 如果某曲线C 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系 1 都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在上 那么 这个方程叫作 这条曲线叫作 曲线上点的坐标 曲线 曲线的方程 方程的曲线 知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤 思考曲线C上的点的坐标都是方程f x y 0的解 能否说f x y 0是曲线C的方程 试举例说明 答案不能 还要验证以方程f x y 0的解为坐标的点是否都在曲线上 例如曲线C为 以原点为圆心 以2为半径的圆的上半部分 与方程 x2 y2 4 曲线上的点都满足方程 但曲线的方程不是x2 y2 4 梳理 1 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念 是从不同角度出发的两种说法 曲线C的点集和方程f x y 0的解集之间是一一对应的关系 曲线的性质可以反映在它的方程上 方程的性质又可以反映在曲线上 定义中的条件 说明曲线上的所有点都适合这个方程 条件 说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏 2 曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系 通过曲线上的点与实数对 x y 建立了关系 使方程成为曲线的代数表示 通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质 一一对应 3 求曲线的方程的步骤 有序实数对 x y P M p M p M f x y 0 f x y 0 方程的解 思考辨析判断正误 如果曲线l上的点的坐标满足方程F x y 0 则1 曲线l的方程是F x y 0 2 方程F x y 0的曲线是l 3 坐标不满足方程F x y 0的点不在曲线l上 4 坐标满足方程F x y 0的点都在曲线l上 题型探究 类型一曲线的方程与方程的曲线解读 例1 1 设方程f x y 0的解集非空 若命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线C上 是假命题 则下列命题为真命题的是A 坐标满足方程f x y 0的点都不在曲线C上B 曲线C上的点的坐标不满足f x y 0C 坐标满足方程f x y 0的点有些在曲线C上 有些不在曲线C上D 一定有不在曲线C上的点 其坐标满足f x y 0 答案 解析 解析命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线C上 为假命题 则命题 坐标满足方程f x y 0的点不都在曲线C上 是真命题 故选D 2 以方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线C上的点 是 曲线C的方程是f x y 0 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 答案 解析 解析由曲线C的方程是f x y 0 得以方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线C上的点 但反过来不成立 故选B 反思与感悟 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 即直观地说 点不比解多 称为纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 即直观地说 解不比点多 称为完备性 只有点和解一一对应 才能说曲线是方程的曲线 方程是曲线的方程 跟踪训练1分析下列曲线上的点与相应方程的关系 1 过点A 2 0 平行于y轴的直线与方程 x 2之间的关系 解过点A 2 0 平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程 x 2的解 但以方程 x 2的解为坐标的点不都在过点A 2 0 且平行于y轴的直线上 因此 x 2不是过点A 2 0 且平行于y轴的直线的方程 解答 2 与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy 5之间的关系 解与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy 5 但以方程xy 5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5 因此 与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy 5 解答 3 第二 四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x y 0之间的关系 解第二 四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x y 0 反之 以方程x y 0的解为坐标的点都在第二 四象限两坐标轴夹角的平分线上 因此 第二 四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x y 0 类型二曲线与方程的应用 解答 点P 1 2 在方程x2 y 1 2 10表示的曲线上 解答 解答 引申探究本例中曲线方程不变 若点N a 2 在圆外 求实数a的取值范围 解结合点与圆的位置关系 得a2 2 1 2 10 即a2 9 解得a 3或a 3 故所求实数a的取值范围为 3 3 反思与感悟判断曲线与方程关系的问题时 可以利用曲线与方程的定义 也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断 解答 跟踪训练2若曲线y2 xy 2x k 0过点 a a a R 求k的取值范围 解 曲线y2 xy 2x k 0过点 a a a2 a2 2a k 0 类型三求曲线的方程 解答 命题角度1直接法求曲线的方程例3一个动点P到直线x 8的距离是它到点A 2 0 的距离的2倍 求动点P的轨迹方程 解设P x y 则 8 x 2 PA 化简 得3x2 4y2 48 故动点P的轨迹方程为3x2 4y2 48 解答 引申探究若本例中的直线改为 y 8 求动点P的轨迹方程 解设P x y 则P到直线y 8的距离d y 8 化简 得4x2 3y2 16x 16y 48 0 故动点P的轨迹方程为4x2 3y2 16x 16y 48 0 反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法 1 关键 建立恰当的平面直角坐标系 找出所求动点满足的几何条件 2 方法 求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤 在实际求解时可简化为三大步骤 建系 设点 根据动点满足的几何条件列方程 对所求的方程化简 说明 特别提醒 直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化 解答 解设点P x y 由M 1 0 N 1 0 点P的轨迹方程为x2 y2 3 x 0 命题角度2相关点法求曲线的方程例4动点M在曲线x2 y2 1上移动 M和定点B 3 0 连线的中点为P 求P点的轨迹方程 解答 解设P x y M x0 y0 又因为M在曲线x2 y2 1上 所以 2x 3 2 4y2 1 所以点P的轨迹方程为 2x 3 2 4y2 1 反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤 1 设动点P x y 相关动点M x0 y0 3 代入相关动点的轨迹方程 4 化简 整理 得所求轨迹方程 跟踪训练4已知圆C x2 y 3 2 9 过原点作圆C的弦OP 求OP的中点Q的轨迹方程 解答 解设P x1 y1 Q x y 达标检测 1 若命题 曲线C上点的坐标都是方程f x y 0的解 是真命题 则下列命题为真命题的是A 方程f x y 0所表示的曲线是曲线CB 方程f x y 0所表示的曲线不一定是曲线CC f x y 0是曲线C的方程D 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线C上 答案 1 2 3 4 5 解析 解析 曲线C上点的坐标都是方程f x y 0的解 但以方程f x y 0的解为坐标的点不一定在曲线C上 故A C D都为假命题 B为真命题 2 已知直线l x y 3 0及曲线C x 3 2 y 2 2 2 则点M 2 1 A 在直线l上 但不在曲线C上B 在直线l上 也在曲线C上C 不在直线l上 也不在曲线C上D 不在直线l上 但在曲线C上 答案 1 2 3 4 5 解析 解析将M 2 1 代入直线l和曲线C的方程 由于2 1 3 0 2 3 2 1 2 2 2 所以点M既在直线l上 又在曲线C上 故选B 3 等腰三角形底边的两个顶点分别是B 2 1 C 0 3 则另一个顶点A的轨迹方程是A x 2y 1 0 x 0 B y 2x 1C x 2y 1 0 y 1 D x 2y 1 0 x 1 答案 解析 1 2 3 4 5 解析设A x y 依题意 知 AB AC 化简得x 2y 1 0 又因为A B C三点不能共线 所以x 1 故选D 答案 解析 1 2 3 4 5 4 到直线4x 3y 5 0的距离为1的点的轨迹方程为 4x 3y 10 0和4x 3y 0 解析设该点坐标为 x y 则 所求轨迹方程为4x 3y 10 0和4x 3y 0 1 2 3 4 5 解答 1 2