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书书书 答案全解全析 第一章 集合与简易逻辑 能力测试点 解析 瓓 瓓 瓓 瓓 瓓 瓓 或 解析 因为 通过分 析可知 故从 中选 与 中各元素相乘 都为 同理从 中选 与 中各元素相乘为 所以 中元素为 故 的所有元素之和为 故 选 解析 解析 从而 表示 的奇数倍的那些数 表 示 的整数倍的那些数 故 选 解析 是 的充 分非必要条件 解析 先考虑集合 的几何意义 然后画图 韦 恩图 逐一验证获解 解析 分别令 可以筛选出答案 解析 本题考查集合及最值问题 三者取一 二者取一 二者取一 共有 即 的最大值为 解析 由 可以得 有 个元素 解析 由 得 所以 瓓 故 瓓 或 解 析 当 时 集 合 只有 个元素 当 时 集合 中 至多有 个元素 即方程 的判别式 综上所述 或 解析 即集合 中的任何 个元素都是集 合 中的元素 是 的否定 其等价于集 合 中至少存在 个元素不属于集合 因此只有 正确 解析 又 或 即 又 相同 解析 表示由一元二次方程 的 两根构成的集合 有两种可能 但方程无正根 即 得 无正根 即 或 即 二 者 取 并 集 结果是 故 实 数 的 取 值 范 围 是 答图 解析 这类题型结合数轴分 析会更好 由于 如答图 所示 当 时 应满足 当 时 时 要满足 当 时 或 或 当 时 显然有 故 或 综上所述 或 时 要满足 显然 且 时成 立 此时 而 故所求的 值为 能力测试点 解析 注意 的系数 为零的情况 解析 由 的解集为 知 又 又 为 的两根 则 不等式变为 即 其解集为 解析 采用零点分段法则求出 瓓 解析 由于 的解集为 且 的解集是 或 解析 举特例法 设 解不等式组 和 可得 槡 解析 分类求解如下 由于实数 把数轴分成 三部分 所以 当 时 原不等式等价于 当 时 原不等式等价于 无解 当 时 原不等式等价于 综合 得原不等式的解集为 或 解析 的解集为 且 因而 由方程 得 因为方程 有两个相等的根 所以 即 解得 舍 或 将 代入 得 的解析式为 由 及 可得 的最大值为 由 解得 槡 或 槡 故当 的最大值为正数时 实数 的取值范围是 槡 槡 解析 当 即 时 解集为 当 即 时 解集为 且 当 即 或 时 解集为 槡 或 槡 原不等式可化为 当 即 或 时 解集为 当 即 时 解集为 当 即 或 时 解集为 当 时 原不等式可化为 即 当 时 分两种情形 当 时 原不等式化为 即 不等式的解集为 或 当 时 原不等式化为 由于 与 无法比较大小 故又分三种情形 当 即 时 原不等式的解集为 当 即 时 原不等式的解集为 当 即 时 原不等式化为 解集为 综上所述 当 时 解集为 当 时 解集为 当 时 解集为 当 时 解集为 当 时 解集为 或 解析 解法一 从函数图象与不等式解集入手 不等式 在 上恒成立 即 在 时图象恒在 轴下方 当 时 不等式变为 恒成立 当 时 设 对称轴 结合二 次函数图象 当 时 只需 可得 当 时 只需 即 综上可得 解法二 因不等式恒成立 所以不等式对应的函数在 上的最大值小于 从而转化为二次函数在闭区 间上的最值问题 设 当 时 满足不等式 当 时 对称轴为 结合二次函数图象 为 的增区间 成立 当 时 对称轴为 区间 为 的减 区间 综上所述 能力测试点 解析 命题 若 则 的逆否命题是 若 或 则 故选 解析 由题意知 是真命题 是真命题 也即 且 是真命题 于是也有 或 是真命题 则 正确 故 选 解析 本题考查简易逻辑的基础知识 命题 为假 由 解得 或 命题 为真 故选 若 则 解析 中的逆命题是 若四点中任意三点都不 共线 则这四点不共面 用正方体 作模型 上底面 中任何三点都不共线 但 四点共 面 所以 中逆命题为假命题 解析 轴 轴 原点 直线 本题 情形较多 任选其一即可 解析 的逆命题为 若 则 这是假命 题 否命题为 若 则 这是假命题 逆否命 题为 若 则 这是真命题 的逆命题为 若 则 这是真命 题 否命题为 若 则 这是真命题 逆否命题为 若 则 这是假命题 的逆命题为 若 则 这 是假命题 否命题为 若 与 不全等 则 这是假命题 逆否命题为 若 则 与 不全等 这是真命题 解析 由 得 或 由 得 命题 为假命题 或 则 或 或 或 满足条件的实数 的取值范围为 解析 假设 均小于 则有 而 这与 矛盾 中至少有一个不小于 解析 若 真 则 若 真 则 或 若 与 有且只有一个正确 则 或 或 即 或 解析 从三个方程中 至少有一个方程有实根 的否命 题 三个方程都无实根 考虑 若三个方程都无实根 则 三个方程中至少有 一个方程有实根时 的取值范围是 或 能力测试点 解析 故由 而 成立 不一定成立 所以应选 解析 考查充要条件的概念及三角运算 即 当 时 上式成立 而当上式成立时 得出 或 故 是 的充分而不必要条件 选 解析 解法一 又 不是 的子集 存在元素 但 即存在 但 故 但 不一定属于 解法二 举特例 设 即 解析 因为 时 方程 变成 这时方程的根为 所以 方程 至少有一个负数根 不能推出 另一方面 当 时 方程一定有两个不相等的实 数根 又两根之积为 方程的根一定是一个正根 一个负根 所以 能推出 方程 至少 有一个负数根 故选 答图 解 析 函 数 的图象如答图 所 示 其 单 调 递 增 区 间 为 当 时 函 数 在区间 上为增函数 则 于是可得 是 函数 在区 间 上为增函数 的充分不必要条件 故选 必要不充分 解析 当 且 时 方程 不为双曲线 并且 与 相交 并且 与 相交 解析 若两条直线在一个平面内的射影为一对平行直 线 则这两条直线平行或异面 由此结论知 只需要该对 直线在另一平面内的射影满足是两条相交直线即可 故可以填 并且 与 相交 并且 与 相交 解析 设 分别对应集合 由 或 或 由 或 是 的必要不充分条件 瓙 是瓙 的必要不充分条件 解析 或 是 的充分条件 若 则 这表明 即 解析 当 时 又 成等差数列 即 因此 是 成等差数列的 必要条件 当 时 此时 当 时 从而 为常数 是公差为 首项为 的等差数列 这表明 是 成等差数列的充分 条件 由 知 又是 成等差数列的必要条 件 因此 是 成等差数列的充要条件 解析 充分性 若 显然 成立 是 成立的充分条件 必要性 若 则 即 由于 均为正数 所以 即 则 是 成立的必 要条件 由 可知 成立的充要 条件是 第二章 函 数 能力测试点 解析 选项中 集合 中部分元素没有象 选 项中 集合 中元素有两个象 项符合映射定义 解析 由 二次函数图 象的对称性及映射概念知 对于 在集合 中存在 两个不同的原象 则 选 也可令 得 此方程有两个不同的解 即 解之得 解析 解析 由 得 则 又 所以 槡 即 得 当且仅当 且 即 槡 时 取 解析 由已知条件可得对任意 则 即 选项中的等式均恒成立 仅 中的等式不恒 成立 故应选 解析 当 时 若 符 合题意 故排除 当 时 若 则 故 不符合题意 从而 不正确 故选 解析 个 槡 槡 解析 若 则有 或 的解集为空集 由 得 解析 从而有 或 无解 由 得 解析 由条件求出 的范围 再把 表示为 然后求 的最大值 由 解得 当 时 取得最大值 解析 由 可推知 是以 为周期的 周期函数 当 时 又 解析 由 得 即 解析 由已知 令 得 又 由 知 要使 时 恒成 立 显然当 时不可能 解得 槡 能力测试点 解析 由题意得 即 或 所 以定义域为 解析 的定义域为 的定义 域为 解得 故选 解析 本题考查定义域的意义 用特值验证取不到 解二次不等式 选 解 析 由 已 知 条 件 可 得 或 故应选 解析 本题主要考查函数概念及图象 属于基础知 识 基本能力的考查 由图象和选项 利用特殊值即可求 解 令 可求出对应的函数值 解析 由函数 的图象与函数 的图象关于原点对称 则其定义域为 且 故应选 解析 令 则 即 解析 当 时 由 得 舍去 当 时 由 得 槡 槡 舍去 当 时 由 得 舍去 综上可得 槡 故应选 解析 整理比较系数 得 故应选 解析 由 知 是周期 的周期函数 又 当 时 当 时 解析 和 是 的不动点 即 对于任意实数 总有两个相异 的不动点 即是说对于任意实数 方程 即方程 总有两个相异的实 根 因此 且 对任意实数 恒成立 故当 时 对于任意实数 总有两个相异 的不动点 解析 设该企业应减员分流 人 全年该企业的经济效益为 元 则 当 人 时 元 故该企业应减员分流 人 能力测试点 解析 原函数的值域即为反函数的定义域 时 即 函数 的值域即反函数的定义域为 故应选 解析 作为选择题 本题只需判断出 中的最小值即可 由 在 上是增函 数 得 选项 不正确 故选 解析 对任意实数 恒成立 且 或 故 解析 当 时 函数 的反函数的定义域即为该函数的值域 为 解析 槡 槡 槡 因 但 不在 区间 内 故等号不成立 考虑函数的单调性 因 在区间 上单调递增 所以在其子 区间 上为单调递增函数 故原函数的值域为 解析 考查函数的对应法则和值域 定义 域 即函数三要素和函数增减性 定义域 得 即 即 值域为 解析 解法一 配方法 又 解法二 判别式法 由 得 时 又 函数的值域为 解法一 换元法 设 槡 则 于是 显然函数 在 上是单调递减函数 故原函数的值域是 解法二 单调性法 函数定义域是 当自变量 增大时 增大 槡 减小 槡 增大 因此函数 槡 在其定义域上是一个 单调递增函数 所以当 时 函数取得最大值 故原函数的值域为 解析 由已知有 当 时 当 时 即 因而此不等式的解是 利用韦达定理可求得 解得 解析 的最大值为 最小值为 又 当 此时 当 此时 解析 当 时 槡 解析 方程 即 亦即 由方程有等根 得 由 得 由 得 故 假设存在实数 满足条件 由 知 则 即 的对称轴为 当 时 在 上为增函数 于是有 即 或 或 又 故存在实数 使 的定义域为 值域为 能力测试点 解析 而 故选 解析 对任意 有 令 得 令 得 是奇函数 选 解析 是 上的奇函数 又 是 上的偶函数 由于 得 即 由 得 在 上是增函数且 在 上也是增函数 即 在 上是增函数 又 解析 函数 为奇函数 解析 本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性 等基础知识 属于基础知识 基本运算的考查 令 则 由于 在 上单 调递减 又 其对 称轴为 由于 为偶函数 其对称轴为 故 解析 由 得 所以 则 解析 对于 由于奇函数的图象关于原点对 称 而函数 的图象是由函数 的图象 向右平移一个单位得到的 故函数 的图象 关于点 对称 对于 由 只能 得出 只能说明周期性 并不能说明对 称轴为 对于 由 的图象关于 对称 则 的图象是将 的图象向左平 移一个单位 故图象关于 对称 故 是偶函 数 对于 由于 和 的图象关于 对称 将 和 的图象分别向左 向右平 移一个单位 得 和 的图象 故 和 的图象仍然关于 对称 故选 解析 的定义域为 且 又 是偶函数 的定义域为 又 槡 槡 槡 槡 槡 即 是奇函数 答图 解法一 的定义域为 当 时 当 时 当 时 既不是奇函数也不是偶函数 解法二 函数 的图象如答图 所示 图象关于原点或 轴都不对称 所以 既不是奇函数也 不是偶函数 奇函数 解析 为奇函数 且 设 则 为奇函数 解析 为偶函数 其定义域 应关于原点对称 其值域为 解析 当 时 为奇函 数 又 能力测试点 解析 由 得 或 由对数函 数及二次函数的单调性知 的单调递减区间为 故 选 解析 为 上的增函数 故应选 解析 任取 且 则 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 由 知 槡 槡 槡 槡 所以 即 所以函数 在 上单调递增 所以 在其定义域上也单调递增 且值域为 也就是说有最小值 解析 要使 在 上为增函数 必须使 且 解析 由 且 得 的定义域为 当 时 槡 在 上是减函数 符 合题意 当 时 槡 不符合题意 当 时 在 上是增函数 不符合题意 当 时 要使 在 上是减函数 则 综上所述 实数 的取值范围为 解析 在 上是减函数 在 上是增函数 的值域为 解析 令 得 由 及 得 又由 得 即 亦即 是定义在 上 的增函数 解得 槡 槡 综 上 所 述 不 等 式 的 解 是 槡 解 析 函数 在 上是减函数 函数 在 上 是 增 函 数 当 时 的取值范围是 能力测试点 解析 函数 存在反函数 函数 在 上不一定是增函数 如函数 存在反函数 但 不是增函数 显然 在 上为增函数 一定 存在反函数 所以应为必要而不充分条件 解析 由 得 所求的反函数是 解析 函数 过定点 其反函 数图象必过定点 故选 解析 令 可解得 故选 解析 即反函数的定义域为 由 得 槡 槡 故原函数的反函数为 槡 解析 设 则 若 由 得 若 则 故 无解 故选 解析 考查反函数的概念及运算 槡 排除 又由 槡 解得 槡 即 原函数的反函数为 故选 解析 由 得 且 函数 的反函数为 解析 本小题主要考查原函数与反函数图 象间的关系及反函数的求解问题 本题可转化为求 的反函数 即 但一定要注明 的定义域为 槡 解析 设 则 所以 即 设 则 故 槡 槡 解析 设 由 得 由 得 即 由 得 由 式得 解 析 解析 为奇函数 且 即 令 则 即 由 得 槡 即当 时 恒成立 令 其在 上单调递减 则 又 实数 的取值范围是 槡 能力测试点 解析 当 时 是减函数 当 时 的图象开口向上 对称轴 在 上是减函数 解析 在 上是单调函 数 即 解析 选 解析 解析 由 得 则 得 则 在 上递减 的值域为 解析 依条件 即 而 则 解析 由 得 在 上恒成立 而恒成立的条件是 得 或 得 综合得 解析 若 当 时 有最大值 即 且满足 若 当 时 有 最 大 值 解得 槡 且满足 槡 舍去 若 当 时 有最大值 且满足 综上可知 的值为 或 解析 本题主要考查二次函数 方程的根与系数关系 考查运用数学知识解决问题的能力 的解集为 且 因而 由方程 得 方程 有两个相等的根 即 解得 或 由于 舍去 将 代入 得 的解析式为 由 及 可得 的最大值为 由 解得 槡 或 槡 故当 的最大值为正数时 实数 的取值范围是 槡 槡 解析 联立方程组 消去 得 将题目中的问题转化为方程 在区 间 内有实数解 即方程在区间 上有一解或 两解 设 则 甲 乙 答图 由答图 可知 或 或 或 或 即为所求 解析 消去 得 再由条件 消去 得 且 解法一 抛物线 的顶点坐标为 且 又 而 方 程 在区间 与 内分别有一实 根 故方程 在 内有两个实根 解法二 方程 有两个实根 设方程的两根为 由韦达定 理 得 故两根为正 又 故两根均小于 命题得证 能力测试点 解析 由 可解得 故选 解析 因为 在 上单调递增 故当 时 于是 从而 又 从而 综上所述 解析 令 可解得 即得函数 的图象过定点 故选 解析 是 上的增函数 依题意有 故选 解析 由于函数的定义域为 则 由 及对数函数的图象知 故选 解析 从而 解析 函数 与 的图象关于直线 对称 而函数 与 的图象分别为函 数 与 的图象向左平移 个单位所得 原对称轴 相应的向左平移 个单位可得 的图象与函数 的图象关于直线 对 称 故选 解析 函数 的值域为 所求反函数的定义域为 槡 所求反函数为 槡 答图 解析 令 和 其 两函数的图象如答图 由图象可得方程 的 实数解的个数为 解析 由 可得函数 的定义域为 令 则 为减函数 而 在 上为减函数 在 上为增函数 由 复合函数的单调性可知 函数 的单调 递减区间为 解析 解析 定 义 域 为 即 解析 令 知 则有 解析 方程 变形为 原命题转化为仅有一个常数 使函数 定义域为 时值域为 的子集 又 故 由 知 的值域为 为使 需满足 即 根据题意 此关于 的不等式只有一解 即 且此时有 即 解析 当 时 增区间为 减区间为 当 时 增区间为 减区 间为 解析 原式 原式 槡 先对条件等式变形 求出 及 的值 由 两边平方得 再平方得 由 两边立方得 解析 设 则 且 两边取常用对数可得 则 即 则 即 同理 由 可得 因此 由 得 从而 由 知 从而所求正整数为 解析 定义域是 是奇函数 当 时 在 和 上是 增函数 当 时 在 和 上 是减函数 且 解 析 设 槡 由 槡 即 时原式有意义 又 是以 为 对称 轴 的 物 线 且 即 定 义 区 间 在对称轴 的右侧 故 在定义区间 上单调递增 要使原函数在 上单调递增 应满足 且 槡 解 得 存 在 实 数 只 需 即可满足要求 能力测试点 解析 由 槡 得 槡 即槡 与 槡 的图象关于 对称的图象 对应的函数是 解析 解析 点 关于直线 对称的点的坐标为 函数 的图象关于直线 对称的 图象的解析式为 故应选 解析 利用偶函数关于轴对称的性质 则有 在 上为增函数且 作出一个符合条件 的图象 得 的解集为 解析 由图可知 是 的两根 解析 解法一 的图象与 的图象 关于直线 对称 又 的 图象与 的图象关于 轴对称 由 得 即 解法二 经过 点 的图象与 的图象关于 轴对称 经过 点 又 的图象与 的图象关于 对称 必经过点 因此 解得 解析 当 时 略 槡 解析 当 即 或 时 当 即 时 或 图象如答图 所示 答图 函数 的单调区间有 其中增 区间是 与 减区间是 与 方程 有四个不相等的 实根 就是直线 与 函数的 图象有四个不同的公共点 设直线 与 的图象有三个公共点 令它的斜率为 则 由方程组 消去 得 由 得 槡 当 槡 时 方程 的两根 槡 故不合题意 当 槡 时 方程 的两根 槡 故符合题意 槡 第三章 数 列 能力测试点 解析 猜想 解析 赋值法 令 则 故数列 的所有偶数项 所有奇数项分别成等差 数列 故选 解析 本题考查数列中 与 的关系 解得 解析 把 化为 把 化为 则 解析 当 时 当 时 适合 所以 当 时 当 时 所以当 时 适合 所以 当 时 不适合 所以 解析 又 符合上式 是以 为首项 公比为 的等比 数列 则 解析 由 得 可采用累 加求和的方法 由 得 可采用累乘的方法 可构造等比数列求解 由条件可知 可采用两边取对数的方法求解 由 把 代 入 得 个式子 累加即可得 所以 即 所以 当 时 也符合 所以 由递推关系 有 于是有 将这 个式子累乘 得 所以当 时 当 时 符合上式 所以 由 得 令 所以 是以 为公比的等比数列 所以 所以 由已知 在递推关系两边取对数 有 令 则 所以 所以 是等比数列 所以 所以 所以 解析 当 时 当 时也能 满足上式 由 及对数的性质可得数列 中各项皆为正 值 又 即 能力测试点 解析 数列 是等差数列 解之得 故应选 解析 由等差数列的性质可得 又 故应 选 解析 由 有 又 公 差 故应选 解析 设首项为 公差为 由 解析 由 得 设公差为 则 故应选 解析 设等差数列 的公差为 由 可得 故应选 解析 由等差数列 中 知 故应选 解析 由已知条件可得 数列 是首项为 公差为 的等差数列 即得 故应选 解析 数列 是各项均为正数的等差数列 当且仅当公差为 时取等号 故应选 解析 由题意设 则 要 使 为整数 则正整数 故选 解析 由已知可得 即得 数列 是首项为 公比为 的等比数列 解之得 解析 由编码表可得 第 行是首项为 公差为 的等差数列 则第 行的 个数为 令 则有 令 可得 其整数解 可以为 在此表中编码 共出现 次 解析 设等差数列 的首项为 公差为 即 解得 解析 又 又 解析 通项为 或 解析 设等差数列 的公差为 则由题意得 解析 为等差数列 又 在 和 上均为减函数 于是 中最大项 为 最小项为 解析 设 槡 槡 即 槡 又 槡 槡 故 槡 槡 即 是等差数列 且首项为 公差为 又 槡 解析 由于 且 所以当 时 得 故 从而 数列 不可能为等差数列 证明如下 由 得 若存在 使 为等差数列 则 即 解得 于是 这与 为等差数列矛盾 所以 对任意 都不可 能是等差数列 记 根据题意可知 且 即 且 这时总存在 满足 当 时 当 时 所以由 及 可知 当 为偶数 则 从而当 时 当 为奇数 则 从而当 时 因此 存在 当 时总有 的条件是 为偶数 记 则 满足 故 的取值范围是 点拨 解答本题 首先由递推公式及 的值求 及 对于 可考虑反证法 在证明时注意反证法的 步骤 能力测试点 解析 故选 解析 故 选 解析 由于 是等比数列 选 解析 每 项一组的和依次组成的数列为 由 已知可得 设原等比数列为 公比为 则 同理 构成等比数列 且 公比为 由 可得 即 解得 或 前 项依次是 解析 设 且 则 由对勾 数 的图象知 或 解析 本题考查等比数列的通项公式 即 得 解析 等比数列每 项一组的和依次仍成等比 数列 设为 原问题就转化为 求 解析 即 解析 设 的首项为 公差为 则 通项公式为 则 是以首项为 公比为 的等比数列 的前 项和 解析 由 得 由 得 又 所以 所以 数列 的通项公式为 由 可知 是首项为 公比为 项数为 的等比数列 所以 解析 由于 则 于是有 又 由等比数列可知 数列 是以首项为 公比为 的 等比数列 由 可知 则 则 两边取对数 而 因此数列 从第 项开始大于零 解析 设 的公比为 当 时 当 时 综上 得 解析 依题意 即 由此得 即 是以 为首项 以 为公比的等比数列 因此 所求通项公式为 由 知 于是 当 时 当 时 又 综上 所求的 的取值范围是 能力测试点 解析 即 解得 解析 是 等 比 数 列 应为常数 当 时符合题意 当 时 不为常数 不是等比数列 故 选 解析 由 得 即 故选 解析 设插入的三个数为 即 成等比数列 则 且 与 同号 得 槡 易错点 若不会确定 的符号 取 因而得 解析 设 整理得 与 比较系数得 所以 因此数列 是首项为 公比为 的等比数列 故 解析 由 得 各式相加得 又 解析 由以上不完全归纳可知 成周期性变化 周期为 每隔 项增加 故第 棵应为 第 棵 种植点为 解析 由已知 又 即数列 是等比数列 点 在直线 上 即数列 是等差数列 又 证明 由已知 即证明不等式 当 时 不等式成立 假设当 时 不等式成立 即 成立 那么 当 时 以下只需 证明 成立 即只需 证明 成立 当 时 成立 当 时 不等式 成立 综合 原不等式成立 解析 由已知 两边取对数得 即 是公比为 的等比数列 由 知 由 式得 解析 解 由题设得 即 易知 是首项为 公差为 的等差数列 通 项公式为 解 由题设得 令 则 易知 是首项为 公比为 的等比数列 通项公式为 由 解得 求和得 解析 由题设有 解得 由题设又有 解得 解法一 由题设 及 进一步可得 猜想 先证 当 时 等式成立 当 时用数学归纳法证明如下 当 时 等式成立 假设当 时等式成立 即 由题设 的两边分别减去 的两边 整理得 从而 这就是说 当 时等式也成立 根据 和 可知 等式 对任何的 成立 综上所述 等式 对任何的 都成立 再用数学归纳法证明 当 时 等式成立 假设当 时等式成立 即 那么 这就是说 当 时等式也成立 根据 和 可知 等式 对任何的 都成立 解法二 由题设 的两边分别减去 的两边 整理得 所以 将以上各式左右两端分别相乘 得 由上式化简得 上式对 也成立 由题设有 所以 即 令 则 即 由 得 所以 即 解法三 由题设有 所以 将以上 各 式 左 右 两 端 分 别 相 乘 得 简 得 由 知上式对 也成立 所以 上式对 也成立 以下同解法二 可得 证明 当 时 注意到 故 当 时 当 时 当 时 所以 从而 时 有 总之 当 时有 即 能力测试点 解析 解析 当 为奇数时 当 为偶数时 解析 由题知 且 由 且 可得 易知 中有 个元素且构成等差数 列 首项为 第 项为 即 则 中各元素之和为 解析 显然 是一个等和数列即 形如 故选 解析 解析 该数列的通项为 分裂为两 项差的形式为 令 则 解析 曲线在 处即点 处的切线方程为 令 得 于是数列 的前 项和 为 解析 构造这样一个数列 在 以前的所有圆中有 个空心圆 有 即 解之得 槡 或 槡 舍去 槡 由题意可知有 个空心圆 解析 在一次函数 的图 象上 又 则 且 是以 为首项 公比为 的等比数列 由 知 若 则 故 即 解得 又由 得 解得 解析 设 的公差为 的公比为 则 为 正数 依题意有 解得 或 舍去 故 所以 解析 解法一 在 中 令 得 求得 令 得 求得 令 得 求得 令 得 求得 由此猜想 下面用数学归纳法证明 当 时 命题成立 假设当 时 命题成立 即 则由 及 得 即 这说明当 时命题也成立 根据 可知 对一切 命题均成立 解法二 在 中 令 求得 当 时 两式相减得 即 整理得 当 时 满足上式 由 知 则 解析 当 为奇数时 是公差为 的等差数列 当 为偶数时 是公比为 的等比数列 数列 的通项公式为 为奇数 为偶数 两式相减 得 第四章 三角函数 能力测试点 解析 经分析知只有 正确 解此类题型的关键是牢记锐角 钝角 相等的角和终边相 同的角的定义及范围 解析 所有与角 终边相同的角均可以表示为 的形式 显然 当 时 解析 有关圆心角所对应弦长的问题 过圆心作弦 的垂线是常用辅助线 弦长 解析 作图分析可知两个集合中的角的终边关系 此类题型除作图分析外 对 作奇偶分析也是常 用方法 即令 后分别 代原集合 比较分析它们的关系 解析 由角的定义知 槡 槡 解析 由 知角 在第一或第三象限 又 故 不可能在第三象限 解析 是第二象限角 是第一或第三象限 角前半区域的角 槡 只能在第三象限 解析 点 落在第四象限 又 槡 解析 与角 终边相同的角均可以表示为 故 角是与角 终边相同的角 故 当 时 角均在区间内 槡 解析 在第三象限时 故 解析 槡 点 到原点距离 槡 又 槡 槡 槡 槡 槡 当 槡 时 点坐 标为 槡 槡 由三角函数定义有 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡槡 当 槡 时 同样可求得 槡槡 解析 依题意 得点 到原点 的距离为 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 点 在第二或第三象限 当 在第二象限时 槡 槡 当 在第三象限时 槡 槡 答图 解析 解法一 在答图 的单位圆 及三角函数线中 在 内 为减函数 又 即 为锐角 将 代换 中 即得 不等式 成立 解法二 令 即 当 时 为单调增函数 即当 时 为单调增函数 即 对于 同理可证 原不等式得证 解析 是角 终边上一点 由此求得 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解析 条件中的角 表示 条不同终边的角 这 条终边分成五组 每组互为反向延长线 所以 故 能力测试点 解析 解析 解析 原式 解析 槡 解析 本题考查三角函数的化简变形 原式 槡 解析 本小题主要考查三角函数值的计算 以及诱 导公式等基本知识 槡 解 析 原式 解析 由 有 解得 解析 由等式 两边平方得 即 又 故 解析 槡 槡 又 槡 解析 由已知得 槡 解析 依题意有 则 将点 代入得 而 故 依题意有 而 槡 槡 解答本题第 问由题意可确定 与 的值 从而得到 解析式 第 问要充分考虑到 的范围 利用公式 即可求解 能力测试点 解析 槡 槡 槡 槡 故选 解析 由 槡 故应选 解 析 为辅助角 最小正周期为 解析 槡 槡 槡 槡 槡 槡 又 解析 解析 解析 即 注意 都是锐角 解析 由 槡 平方得 解 得 又 则 解析 槡 槡 则所求答案为 槡 原式 解析 由 则 槡 槡 由 知 由 当 时 与 矛盾 故舍去 当 时 可取 因此 解析 成等差数列 又 从而 故 槡 由两 角和的正切公式得 槡 槡槡 槡 槡 解析 由题意得 槡 由 为锐角得 由 知 所以 因为 所以 因此 当 时 有最大值 当 时 有最小值 所以所求函数 的值域为 解析 由于函数 在 中的最大值为 最小值为 故当 时 取得最大值 当 时 取得最小值 解析 左边 右边 即 整理得 又 解析 原式 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解析 本小题主要考查三角函数概念 同角三角函数 的关系 两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式 考查应用 分析和计算能力 槡 即槡 槡 由题知 整理得 或 而 使 舍去 槡 槡 槡 解析 由 得 由 得 又 能力测试点 解析 且函数 是偶函数 排除 故选 解析 依题意得图象 的解析式为 图象 的对称轴方程为 即 令 则 解析 显然 函数 是偶函数 排除 和 再注意到 当 时 有 排除 解 析 设 函 数 的 解 析 式 为 由图象可知 当 时 把 代入上式 函数 的解析式为 解析 令 得 再令 得 由初始零值点法可知向左平移了 个长 度单位 解析 解法一 由题图可知 将 代入 得 令 得 解法二 排除法 代入点 将 代入各选项 排除 将 代入 排除 故选 解析 依题意得点 的坐标分别为 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解析 槡 其中 又 在 处取得最小值 即 当 时 槡 槡 槡 是奇函数 而且它的图象关于点 对称 或 解析 对称轴为 槡 解析 由题图易得 的最小正周期 槡 槡 槡 槡 槡 或 解析 依题意得 令 列表如下 描点连线 答图 振幅 周期 初相为 将 图象上各点向左平移 个单位 得到 的图象 再把 的图象上各点 的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 得到 的图象 最后把 的图象 上各点的纵坐标伸长到原来的 倍 即得函数 的图象 解析 槡 槡 的最大值为槡 最小正周期 函数 在区间 上的图象如答图 答图 解析 由图象可知 将点 代入得 函数的解析式为 由 得 函数 的单调递增区间为 解析 所以要得到 的图象 只需把 的图象向左平移 个单位即可 槡 当 即 时 取得最大值槡 解析 由已知易得 且 且点 在其上 由 解得 即 为所求函数的解析式 函数 的递减区间即为 的递增 区间 由 解得函 数 的递增区间是 解析 根据题图可知 周期 当 时 又 函数的解析式为 函数 的图象按向量 平移后 得到 即为 的图象 解析 将 槡 代入函数 得 槡 因为 所以 又因为 所以 因此 因为点 是 的中点 槡 所以点 的坐标为 槡 又因为点 在 的图象上 所以 槡 因为 所以 从而得 或 即 或 解析 由题设知 因为 是函 数 图象的一条对称轴 所以 当 为偶数时 当 为奇数时 因为 槡 当 时 因为 在 上是增函数 且 所以 即 解得 所以 的最大值为 能力测试点 解析 函数 的最小正周期为 故应选 解析 由 槡 可得 又 故应选 解析 的单调增区间为 解 之 得 的 单 调 递 增 区 间 为 故应选 解析 依题意得 所以最小正周期为 故选 解析 最小正周期 为偶函数 是最小正周期为 的偶函数 解析 由 槡 令 可解得 即得该函数的单调递增区间为 故应选 解析 最小正周期 故选 解析 槡 槡 槡 当 时 原式 槡 答图 令 可看作两点 间的斜率 由答图 可 知 无最 大 值 所 以 槡 当 时 综上可知 的值域为 解析 由题意可得 且有 解之得 故应选 解析 解法一 函数 是偶函数 得 故排除 又 故选 解法二 也可采用特殊值法 令 验证可知 选 解析 槡 函数的最小正周期 解析 且 在 上只 有最小值而无最大值 在 时取最小值 且区间 的长度小于半个周期 当 时符合题意 此时 解析 的定义域 关于原点对称 又 是偶函数 在 上单调递减 在 上单调递增 而 在 上是单调递增的 在 上是单调递增的 正确 不一定正确 解 析 槡 的最小正周期 当 时 取得最小值 当 时 取得最大值 由 知 又 函数 是偶函数 点拨 解答本题第 问可先用二倍角公式及辅助角 公式化简 再求最小正周期和最值 第 问先求 并化简 再判断奇偶性 解析 槡 槡 槡 由 得 可知函数 的值域为 由题设条件及三角函数的图象和性质可知 的周期为 又由 得 即得 于是有 再由 解得 所以 的单调增区间为 解析 槡 的最小正周期 则 函数图象的对称轴方程是 令 则 令 则 故 的单调增区间为 的单调减区间为 解析 槡 槡 因为函数 的最小正周期为 且 所以 解得 由 得 因为 所以 所以 因此 即 的取值范围为 点拨 解答本题首先利用三角公式将函数 化为 的形式 然后结合题目中的已知条 件 如周期性 求出 及 在区间 上的取值 范围 在解题时注意运用换元 整体的思想方法 解析 槡 槡 函数 的单调减区间为 答图 从答图 可以直观地看出 此函数有一个对称中心 无对称轴 解析 槡 槡 槡 令 解得 函数 的单调递减区间是 函数 的图象按向量 平移后的解析 式为 要使函数 为偶函数 则 又 时 取得最小正值 第五章 平面向量 能力测试点 解析 不正确 是两个单位向量 与 方向 可能不同 所以不一定相等 正确 因为零向量的方向任意 所以 不共线 则 都是非零向量 不正确 相等向量的起点不一定相同 不正确 与 共线 则 或 共线 所以 四点不一定共线 综上所述 只有 正确 解析 忽略了方向相反的情况 只考虑了特例 没有包含 是零向量而 是非零向量的情形 是充 要条件 故选 解析 若 三点共线 由教材上例题有 为常数 故选 解析 本题应选用图形解法 如答图 故选 答图 答图 解析 如答图 所示 四边形 是平行四边形 是 的重心 且 等于 边上的 中线长的 所以 的模 长是 模长的 倍 故选 答图 解析 如答图 因为 从而 解析 举特例 令三角形 为等腰直角三角形即 可 点为斜边的中点 点为直角顶点 易得 解析 由已知 必存在实数 使 而 于是 解析 连接 是 的中点 瓛 四边 形 是平行四边形 又 解析 即 即 与 共线 解析 证明 共线 又它们有公共点 三点共线 与 共线 存在实数 使 即 是不共线的两个非零向量 答图 解析 由题意知 是 的中点 且 由平行四边形法则 如答图 又 能力测试点 解析 由 可得对任意 有 即 即 由向量相等的定义 得 解得 解析 又线段 与线段 无公共点 且 四边形 是平行四边形 又 槡 槡 不是菱形 更不是正方形 也不是矩形 解析 本题考查平面向量的基础知识 由已知可令 的方程为 则 到 的距离 且 槡 又知 与 反向 解析 槡 槡 解析 设 的平分线交 边于 则 得 由 得 槡 进一步得出 槡 槡 解析 由向量平行的充要条件 得 解得 解析 是 的中位线 是 的中点 解析 若 在 轴上 则 解得 若 在 轴上 则 解得 若 在第二象限 则 解得 若四 边形 为平行四边形 则 而 无 解 四边形 不能成为平行四边形 另由 得 知 三点共线 故 不能 成为平行四边形 解析 与 为共线向量 槡 即 槡 槡 又 解析 本题是易错题 错解 又 平移公式为 当 时 代入平移公式 得 错因 若记 则 又记 则 显然 按 平移后的向量 不是 所以 错误原因在于平移向量时 只 平移了终点 而没有平移起点 正解 平移公式是 将 分别代入可得 故 实际上向量的平移不改变其大小和方向 因而平移后坐 标不变 解析 三点共线 即 又 在 槡 上是单调函数 或 槡 即 槡 或 的取值范围是 槡 槡 当 时 在 槡 上的最小 值为 当 即 时 当 槡 即 时 能力测试点 解析 由题意 与 垂直 解析 故选 解析 槡 槡 曲线 为双曲线 如答图 所示 由已知可得 如答图 当点 在右支上时 由 得 如答图 当点 在左支上时 由 得 综上由 可得 或 故应选 答图 解析 即 选 解析 由两向量垂直知其数量积为 故 知 故 故选 解析 故应选 解析 槡 槡 槡 即得 槡 故应选 解析 由题意 即 解析 设点 的坐标为 则 边中点 的 坐标为 由 可得 即得 故应选 解 析 即 设 与 的夹角为 则 又 故应选 解析 原式 解析 解析 向量 与 的夹角为锐角 设为 即得 为钝角 又 槡 即得 槡 解析 即 与 的夹角的大小为 槡 解析 槡 槡 槡 槡 解析 若 则 由此得 又 所以 由 得 槡 槡 槡 槡 当 时 取得最 大值 即当 时 最大值为槡 解析 解法一 槡 槡 槡 槡 得 槡 槡 槡 解法二 槡 槡 槡 槡 槡 得 槡 槡 槡 解析 由题意知 由 得 即 由 槡 得 槡 即 槡 又 为 与 的夹角 槡 即 时 槡 解析 由条件可得 两边平方得 同理可得 由 可得 由 得 由 得 即可得 能力测试点 解析 由 按向量 平移 可变为 即 解 析 函 数 按 向 量 平 移 后 的 解 析 式 为 即 故选 解析 本小题考查向量平移公式及如何判定直线和 圆的位置关系 按向量 平移后为 槡 槡 或 解析 设 按向量 平移后函数 即 把对称中心 代入得 令 得 故选 解析 由三角形内角平分线定理有 为 的三等分点 又 且 故选 解析 函数 按向量 平移后为 又 故 易知 满足 解析 其对称中 心为 函数 满足 其对称中心为 则向量 的坐 标是 故选 解析 由 得 由定比 分点坐标公式可得 解析 可求 设 由 得 即 得 解析 抛物线 是由抛物线 按 平移得到的 的焦点坐标为 的焦点坐标 即为所求 槡 槡 解析 考查向量的概念及其运算 设 的平分线交 边于点 则 得 由 得 槡 进 一 步 得 出 槡 槡 解析 按向量 平移后为 即 的一条准线 只能为椭圆 即 解析 将 配方 得 故抛物线顶点 坐标为 将点 平移到点 时 设平移向量 有平移公式 即点平移公式为 于是 点 在抛物线 上 将平移公式代入可得 化简得 即平移后的函数解析式为 按平移公式 即 代入原抛物线的解析式 中得 化简得 与平移后 的曲线的解析式 比较可得 解得 所求平移向量为 解析 由题意有 设 则 点 的坐标为 解析 槡 槡 槡 时 最大值 所以 取最大值时 的集合为 因为 的图象向左平移 再向上平移 个单位 可得到 的图象 所以向量 可以是 解析 由 得 即 又 即 为等腰直角三角形 又 点在 上 椭圆的方程为 证明 由 得 分 所成的比 又 在 的平分线上 即 平分 能力测试点 解析 在 中 由正弦定理可得 槡 槡 槡槡 槡 故应选 解析 解法一 由正弦定理得 槡 槡 又 故 为锐角 所以 所以 槡 解法二 由余弦定理得 即 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 或 槡 舍去 答图 解析 设底边长为 则腰长为 解法一 设 为底边 上的高 则 且 解法二 解析 由条件 及余弦定理知 化 简 整 理 得 故 故选 解析 由已知条件可得 即 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 故应选 解析 即 又 即 为直角三角形 故选 解析 在 中 由正弦定理得 槡 化简得 槡 槡 化简得 槡 所以三角形的周长为 槡 槡 槡 答图 解析 如答图 由正弦定理 得 即槡 槡 又 则 即 为直角三 角形 则 故应选 解析 由 是等边 三角形 则 显然成立 由三角形的性质可知 又由已知 两式相除得 令 则 所以 得 因此 即 是等边三角形 因此 是 的充分必要条件 选 解析 由已知 可得 整理得 即得 故应选 槡 槡 解析 设 则 槡 槡 由余弦定理得 槡 槡 槡 由三角形三边关系 槡 槡 槡 槡 当 槡 时 的面积最大值为 槡 槡 或槡 解析 槡 槡 或 由余弦定理可得 槡 或 槡 槡 槡 解析 又 边最大 即 槡 又 角 最小 边为最小边 由 且 得 槡 由 得 槡 最小边 槡 解析 在 中 由 得 由 得 所以 由 得 由 知 故 又 故 所以 解析 在 中 由 得 槡 又 由正弦定理 得 槡 令 则由余弦定理 得 即 解得 或 舍去 所以 所以 即 解析 先由正弦定理把边 化为角 然后求解 把 中的结论代入 求解即可 由正弦定理得 依题意得 解得 由 知 故 都是锐角 于是 且 当 时 上式取等号 因此 的最大值为 解析 由已知及正弦定理可得 又在 中 即在 中 又 又 槡 槡 解析 又 解得 或 舍 由 可知 即 又 答图 解析 以 为原点 所在直线为 轴建立如答图 所示的平面直角坐 标系 设在 时刻甲 乙两船分别在 则 槡 由 可得 槡 槡 槡 槡 令 两点的坐标分别为 槡 槡槡 即 两船出发后 小时 相距 槡 海里 由 的解法过程易知 槡 槡 槡 槡 槡 当且仅当 时 的最小值为 槡 即两船出发 小时时 相距 槡 海里为两船最近距离 第六章 不等式 能力测试点 解析 令 则有 但 不成 立 令 有 但 不成立 是 的既不充分也不必要条件 解析 本题考查不等式的性质 而 又 且 正确 解析 又 解析 设 中至少有三个为正数 若全为正 数 则 若只有三个为正数 也有 设 中至少有三个为负 若全为负数 则 若只有三个为负 数 则 也有 中至少有三个为正数时 有 中至少有三个为负数时 有 解析 当 时 当 且 时 当 时 解析 又 由指数函数的性质得 为奇数时 为偶数时 解析 解法一 作差法 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 故 解法二 作商法 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 又因为 所以 若 则 所以 若 则 所以 综上所述 又 则 所以 解析 证明如下 由 得 在 上是单调减函数 又 为奇函数 同理 解析 当 时 而 槡 不在集合 中 从而 又 在 上为增函数 在集合 中 当 时 对任意的 总成立 能力测试点 解析 且 令 则 同理可得 比较可知选项 正确 解析 函数 的定义域为 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡槡 当且仅当槡 槡 即 时取等号 的最大值为 解析 是单调递减函数 又可证得 槡 槡 解析 本题考查利用基本不等式求函数的最值 槡 当且仅当 即 时取 解析 由已知得 解析 槡 槡 槡 槡 槡 又 是正数 槡 槡 槡 槡 槡 当且仅当 时 槡 槡 槡 槡 槡 当且仅当 即 槡 槡 时 槡 解析 由已知得 则 于是 由 得 即 得 由于 则 其中等号在当且仅当 即 时成立 的最小值是 解析 设铁栅长为 米 一堵砖墙长为 米 则 由题意得 应用二元 均值不等式 得 槡 即 槡 而 槡 槡 槡 因此 的最大允许值是 米 由 解得 米 即应设计正面铁栅的 长为 米 能力测试点 解析 本题考查不等式的性质及基本不等式的应用 选项 槡 槡 成立 选项 成立 选项 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 成立 或 解析 由 得 或 即 或 解析 设该商品原价为 两次提价后的价格按甲 乙 丙 三种方案的次序依次为 则 甲 乙两种方案提价的幅度相同 丙方案提价的幅度大 用分析法 要证 即要证 又 槡 槡 槡 槡 槡 槡 又 是不全等的正数 故 式成立 即原命题成立 解析 证 明 解析 左边整理成关于 的二次式 作 的判别式 得 成立 当 时取等号 即 这时 时等号成立 解析 由 设 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 当 时 恒有 槡 解析 令 则 因所证不等式即 故在上述代换之下 此不等式就等价于 事实上 因为 且 故 从 而 故原不 等式成立 解析 令 得 令 得 在 上是 奇函数 设 则 时 从而 在 上是单调减函数 又 且 能力测试点 解析 由 可解得 故应选 解析 由 的解集是 得 且 故