高等数学A上册1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性.pdf

一 连续函数的运算法则一 连续函数的运算法则 第九节第九节 二 初等函数的连续性二 初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 一 四则运算的连续性一 四则运算的连续性 0 1 0 0 0 处也连续处也连续在点在点 则则 处连续处连续在点在点 若函数 若函数定理定理 x xg xg xf xgxfxgxf xxgxf cos sin 内连续内连续在在例如例如 xx csc sec cot cos sin tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxx x x x 即连续函数经过四则运算后还是连续的 即连续函数经过四则运算后还是连续的 即三角函数在其定义域内连续即三角函数在其定义域内连续 二 反函数的连续性二 反函数的连续性 定理定理2 2 单调递增 递减 的连续函数必有 单调递增 递减 的连续函数必有 单调递增 递减 的连续反函数单调递增 递减 的连续反函数 例如例如 2 2 sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy 1 1 arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy 1 1 arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy cot arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy 反三角函数在其定义域内连续反三角函数在其定义域内连续 1 0 aaay x 可以证明指数函数可以证明指数函数 内单调且连续内单调且连续在在 1 0 log aaxy a 对数函数对数函数 0 内单调且连续内单调且连续在在 lim lim lim 3 0 00 00 0 ufufxf uufux uuxx xx 则有则有连续连续 在点在点且函数且函数如果如果 定理定理 意义意义 如果如果f 是连续函数 求极限时可以把是连续函数 求极限时可以把 极限符号与函数符号交换 极限符号与函数符号交换 三 复合函数的连续性三 复合函数的连续性 ux 令令 lim lim 00 xfxf xxxx 即即 例例1 1 1ln lim 0 x x x 求求 1 x x x 1 0 1ln lim 原式原式 1 limln 1 0 x x x eln 解 解 0 1ln xxx当当 由此可得由此可得 是连续函数 是连续函数 uln 例例2 2 1 lim 0 x e x x 求求 上例结果 上例结果 1 1ln lim 0 t t t 原式原式 解 解 1te x 令令 1ln tx 则则 0 0 tx时时当当 由此可得由此可得 ln 1 lim 0 a x a x x 当 当0 1 xxe x 利用 利用 a ea ln 4 00 0 也连续也连续 在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点 函数函数连续连续在点在点设函数设函数 定理定理 xxfyx ufyxxu 证明 证明 lim 0 xf xx 意义意义 连续函数经过连续函数经过复合复合运算后还是连续函数运算后还是连续函数 lim 0 xf xx 0 xf 四 初等函数的连续性四 初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域三角函数及反三角函数在它们的定义域 内是连续的内是连续的 1 0 aaay x 指数函数指数函数 内单调且连续内单调且连续在在 1 0 log aaxy a 对数函数对数函数 0 内单调且连续内单调且连续在在 xy 幂函数幂函数 x e ln t ey lnxt 在定义域内连续在定义域内连续 结论 基本初等函数在定义域内是连续的结论 基本初等函数在定义域内是连续的 基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算后连续连续函数经四则运算后连续 连续函数经复合运算后连续连续函数经复合运算后连续 一切初等函一切初等函 数在其定义数在其定义 区间内连续区间内连续 初等函数求极限 初等函数求极限 lim 00 0 定义区间定义区间 xxfxf xx 直接代入 直接代入 例例3 3 1sinlim 1 x x e求求 1sin 1 e原式原式 1sin e 解 解 证明证明 lim xv xu lim lnxvxu e 0 幂指函数幂指函数 的函数称为的函数称为形如形如 xuxu xv lim lim 0 lim bxv axu bxvaxu 则则 性质 如果性质 如果 lim lnlimxvxu e ba e ln b a 定义 定义 ln lim xvxu e lim ln limxvxu e x ex ln 解解 原式原式 6 sin 6 21 0 2 1 x x xvexxux x 时时当当 解解 sin 3 121 0 x xx时时当当 11 原式原式 错错 要点要点 连续函数经过四则运算后还是连续的连续函数经过四则运算后还是连续的 单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续函数必有单调的连续反函数 连续函数经过复合运算后还是连续函数连续函数经过复合运算后还是连续函数 如果如果f 是连续函数 求极限时可以把极限符号是连续函数 求极限时可以把极限符号 与函数符号交换与函数符号交换 lim lim 00 xfxf xxxx 初等函数在定义区间内是连续的初等函数在定义区间内是连续的 lim 00 0 定义区间定义区间 xxfxf x