4.2翻折变换(热点题型)·数学中考分类精粹.pdf

翻 折 变 换 题型概述 翻折变换不改变图形的形状和大小 必须指出沿着某条 直线去变换 翻折变换实际上是轴对称变换 翻折的直线就 是对称轴 解题时可运用轴对称的所有性质 比如 翻折前 后的图形是全等形 翻折的直线是对应点连线段的中垂线 等 典题演示 例 辽宁铁岭 矩形纸片A B C D 中 A B AD 将纸片沿E F折叠使点B与点D重合 折痕E F与 B D相交于点O 则D F的长为 A B C D 思路 点 拨 设D F x 则B F x C F x 在 R t D F C中 D F C F D C 即 x x 解得x 即D F的长为 完全解答 C 归纳交流 本题运用翻折的图形是全等形 设出D F的 长度 得出C F的长 然后在R t D F C中利用勾股定理是解 答本题的关键 例 江苏南京 如图 在菱形纸片A B C D 中 A 将纸片折叠 点A D分别落在点A D 处 且A D 经过点B E F为折痕 当D F C D时 C F F D的值为 A B C D 思路点拨 首先延长D C与A D 交于点M 由四边形 A B C D是菱形与折叠的性质 易求得 B CM是等腰三角形 D FM是含 角的直角三角形 然后设C F x D F D F y 利用正切函数的知识 即可求得答案 延长D C与A D 交于点M 在菱形纸片A B C D中 A D C B A A B C D D A 根据折叠的性质 可得 A D F D F D M A D F D F C D D F M M F D M B CM B C D C BM B CM M C BM M B C CM 设C F x D F D F y 则B C C M C D C F D F x y FM CM C F x y 在R t D FM中 t a nM t a n D F FM y x y x y C F F D x y 完全解答 A 归纳交流 此题考查了折叠的性质 菱形的性质 等腰 三角形的判定与性质以及直角三角形的性质 此题难度较 大 注意掌握辅助线的作法 注意折叠中的对应关系 注意数 形结合思想的应用 例 广东深圳 如图 将矩形A B C D 沿直线 E F折叠 使点C与点A重合 折痕交AD于点E 交B C于 点F 连接A F C E 求证 四边形A F C E为菱形 设A E a E D b D C c 请写出一个a b c三者之 间的数量关系式 思路点拨 由矩形A B C D与折叠的性质 易证得 C E F是等腰三角形 即C E C F 即可证得A F C F C E A E 即可得四边形A F C E为菱形 由折叠的性质 可得C E A E a 在R t D C E中 利用勾股定理即可求得 a b c三者之间的数量关系式为 a b c 完全解答 证明 四边形A B C D是矩形 AD B C A E F E F C 由折叠的性质 可得 A E F C E F A E C E A F C F E F C C E F C F C E A F C F C E A E 四边形A F C E为菱形 第四章 图 形 变 换 a b c三者之间的数量关系式为 a b c 理由 由折叠的性质 得C E A E 四边形A B C D是矩形 D A E a E D b D C c C E A E a 在R t D C E中 C E C D D E a b c三者之间的数量关系式为 a b c 归纳交流 折叠实际是一种对称变换 属于轴对称 折 叠前后图形的形状 大小不变 位置变化 证明或计算时 抓 住折叠中相等的边或相等的角是关键 名题选练 一 选择题 湖北武汉 如图 矩形A B C D中 点E在边A B上 将矩形A B C D沿直线D E折叠 点A恰好落在边B C的 点F处 若A E B F 则C D的长是 A B C D 第 题 第 题 贵州遵义 如图 矩形A B C D中 E是AD的中点 将 A B E沿B E折叠后得到 G B E 延长B G交C D于点 F 若C F F D 则B C的长为 A B C D 福建南平 如图 正方形纸片A B C D的边长为 点E F分别在边B C C D上 将A B AD分别沿A E A F 折叠 点B D恰好都落在点G处 已知B E 则E F的 长为 A B C D 第 题 第 题 浙江舟山 如图 已知 A B C中 C A B B A B 点D在边B C上 把 A B C沿AD翻折使 A B与A C重合 得 A B D 则 A B C与 A B D重叠部 分的面积为 A B C D 二 填空题 江苏扬州 如图 将矩形A B C D沿C E折叠 点B恰 好落在边AD的F处 如果A B B C 那么t a n D C F的 值是 第 题 第 题 浙江台州 如图 将正方形A B C D沿B E对折 使点 A落在 对 角线B D上 的A 处 连接A C 则 B A C 度 黑龙江绥化 长为 宽为a的矩形纸片 a 如图那样折一下 剪下一个边长等于矩形宽度的正方 形 称为第一次操作 再把剩下的矩形如图那样折一下 剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形 称为第二次 操作 如此反复操作下去 若在第n次操作后 剩下的矩 形为正方形 则操作停止 当n 时 a的值为 第 题 河南 如图 在R t A B C中 A C B B B C 点D是边B C上的一动点 不与点B C重 合 过点D作D E B C交A B于点E 将 B沿直线D E 翻折 点B落在射线B C上的点F处 当 A E F为直角三 角形时 B D的长为 第 题 第 题 辽宁本溪 如图 矩形A B C D中 点P Q分别是边 AD和B C的中点 沿过点C的直线折叠矩形A B C D使点 B落在线段P Q上的点F处 折痕交边A B于点E 交线 段P Q于点G 若B C长为 则线段F G的长为 三 解答题 天津 已知一个矩形纸片O A C B 将该纸片放置在 平面直角坐标系中 点A 点B 点P为B C 边上的动点 点P不与点B C重合 经过点O P折叠 该纸片 得点B 和折痕O P 设B P t 第 题 如图 当 B O P 时 求点P的坐标 如图 经过点P再次折叠纸片 使点C落在直线 P B 上 得点C 和折痕P Q 若A Q m 试用含有t的 式子表示m 在 的条件下 当点C 恰好落在边O A上时 求点P 的坐标 直接写出结果即可 海南 如图 在矩形A B C D中 把 B D分 别翻折 使点B D恰好落在对角线A C上的点E F处 折痕分别为CM AN 求证 ADN C BM 请连接MF NE 证明四边形MFNE是平行四边形 四边形MFNE是菱形吗 请说明理由 点P Q是矩形的边C D A B上的两点 连接P Q C Q MN 如图 所示 若P Q C Q P Q MN 且A B c m B C c m 求P C的长度 第 题 广东 如图 在矩形纸片A B C D中 A B B C 把 B C D沿对角线B D折叠 使点C落在C 处 B C 交AD于点G E F分别是C D和B D上的点 线段E F 交AD于 点H 把 F D E沿E F折 叠 使 点D落 在 D 处 点D 恰好与点A重合 求证 A B G C D G 求t a n A B G的值 求E F的长 第 题 翻 折 变 换 C B B A 或 或 根据题意 O B P O B 在R t O B P中 由 B O P B P t 得O P t O P O B B P 即 t t 解得t t 舍去 点P的坐标为 O B P Q C P分别是由 O B P Q C P折叠 得到的 O B P O B P Q C P Q C P O P B O P B Q P C Q P C O P B O P B Q P C Q P C O P B Q P C B O P O P B B O P C P Q 又 O B P C O B P P C Q O B P C B P C Q 由题意设B P t A Q m B C A C 则P C t C Q m t t m m t t t 点P的坐标为 或 由 折 叠 的 性 质 得 出 D AN NA C B CM A CM AD B C D A C B C A D AN B CM 在R t ADN和R t C BM中 AD B C D B D AN B CM ADN C BM 连接NE MF ADN C BM NF ME NF E ME F NF ME 四边形MFNE是平行四边形 MN与E F不垂直 四边形MFNE不是菱形 设A C与MN的交点为O E F x 作Q G P C于G 点 A B B C A C A F C E B C A F E F A C 即 x 解得x E F C F 在R t C FN中 t a n D C A NF C F B C A B 第 题 解得NF O E O F E F 在R t NF O中 ON O F NF ON MN ON P Q MN PN MQ 四边形MQ PN是平行四边形 MN P Q P Q C Q P Q C是等腰三角形 P G C G 在R t Q P G中 P G P Q Q G 即P G P C P G B D C 由 B D C翻折而成 C C C D C D A B 又 A G B D G C B A G A B G AD E 在 A B G和 C D G中 B AD C A B C D A B G AD C A B G C D G 由 可知