湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.2 数轴导学案 华东师大版 .doc

1 湖北省武穴市实验中学七年级数学上册湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2 22 2 数轴导学案数轴导学案 华东师大华东师大 版版 目标 概览 2 数轴这一概念是中学数学中数形结合的起点 数形结合是帮助学生理解数学 学好数学的思 想方法 本章有理数的性质与运算都是结合数轴进行的 由此可见 数轴这一概念的重要性 在学 习过程要注意以下几点 能正确地画出数轴 初步了解有理数与数轴上点的对应关系 能将有理数用数轴上的点来 表示 会利用数轴比较大小 画数轴时一定要注意规范性 在数轴上表示负分数时应慎重 可利用数轴的方向防止错误 发生 任何有理数都可以用数轴上的点来表示 但是数轴上的点并不都表示有理数 初步理解数形结合的数学思想 正确认识数学的抽象性 如任何一个有理数都可以在数轴上表示出来 无论这个点是在距 原点多么远或多么的近 思考 交流 在一条东西向的马路上 有一个汽车站 汽车站在 3 米和 7 5 米分别有一棵柳树和一棵杨树 汽车沿西 3 米和 4 8 米处分别有一棵槐树和一根电线杆 试画图表示这一情景 你能用图形来说明这一情景吗 学法 指津 本节学习内容比较抽象 学习它要注意方法 把抽象问题具体化 数轴是通过描述位置的问题引起的 我们应对具体的例子进行分析 如温度计的度数设置等 运用数形结合方法 利用数轴的直观性 掌握比较大小的方法 运动的观点 利用数轴分析物体的运动 理解数与数之间的关系 知识 导学 知识点一 重点 数轴的概念 2 数轴的概念是通过实践从具体事物中抽象出来的 如秤杆上有 点 可以读出物体的重量 船闸的标尺刻度 反映出水位的高低 我们最熟悉的温度计可以表示出零上 3 度 也可以表示出零 下 5 度及零度 零上的温度比零下的温度高 如零上 3 度比零下 9 度高 由上面这些具体事例可看 出它们具有共性 都有原点 如秤杆有 定盘置 温度计有零度 都有长度单位 都有正方向 这些具体事物都启发我们用直线上的点来表示数 于是就引起了数轴的概念 只有真正理解 数轴引入的背景 在今后使用数轴时 才能避免数轴画法的不完整或错误 数轴的引入使我们感到 数轴的规定是容易被我们接受的 只有对一个概念理解得透彻 才能在以后的学习中正确地使用它 因此我们定义 规定了原点 正方向和单位长度的直线叫数轴 数轴有三要素 原点 单位长度及正方向 三者缺一不可 数轴是条直线 不是线段 在同一数轴上 单位长度确定后 一个单位的长度表示的数量应 相同 即数轴上的刻度要均匀 思维升华 你能理解任何有理数都能在数轴上表示吗 知识点二 重点 数轴的画法 画一条直线 一般画成水平的直线 在直线上选取一点原点 并用这点表示零 在原点下边标 0 确定正方向 一般规定向右为正 用箭头表示出来 选取适当的长度作为长度单位 从原点向右 每隔一个单位长度取一点 依次表示 1 2 3 从原点向左 每隔一个单位取一点 依次表示 1 2 3 8 6 4 2 0 2 4 6 8 30 20 10 0 10 20 30 甲乙 注意 原点位置 单位长度的大小可根据实际情况适当选取 确定单位长度时 根据实际情况 有时也可每隔两个 或更多 单位长度取一点 从原点 向右 依次表示 2 4 6 反之亦然 3 画数轴常见错误 无方向 无原点 单位长度不统一 负数的 排列错误 知识点三 数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 正有理数可以用原点右边的点表示 负有理数可以 用原点左边的点表示 零用原点表示 如图所示 从原点向右 1 4 个单位长度的 a 点表示 1 4 从 原点向左 1个单位长度的 b 点 表示 1等等 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 3 2 a 1 0 1 b 2 3 知识点四 难点 在数轴上表示数的大小 温度计上的温度高低 形象地反映出数轴上两数的大小 有理数在数轴上的排列呈有序性 数轴上的点在数轴上是有序排列的 可以利用数轴判断有理数的大小 通过具体的观察 我们知道 在数轴上表示的两个数 右边的数总比左边的数大 正数都大于零 负数都小于零 正数大于负数 能力拓展 我们在小学中学过两个正分数的大小比较方法 你能比较两个负分数的大小吗 技巧 解悟 一 考查数轴的定义及画法 例 1 选择题 下面是一些同学在作业中所画的数轴 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 1 2 3 0 1 2 3 2 0 其中画图正确的是 a b c d 解析 图 中表示相邻两整数的点之间的距离不一致 图 中负有理数的标记不对 图 中 漏画了表示方面的箭头和长度单位 4 答案 选 c 经验技巧 书写与画图的规范性对于初学者来说相当重要 同学们要自觉地培养良好的学习 习惯 为了分析某个具体问题 在草稿纸上画图 那样的图未尝不可 但完成画数轴的作业 则切 切不可 例 2 下列判断正确的是 a 数轴就是一条直线 b 数轴上右边的点表示正数 c 在数轴上离原点越远的点表示的数越大 d 任何一个有理数 都可以用数轴上的点表示出来 解析 数轴是一条规定了原点 正方向和单位长度的直线 即数轴是一条直线 但直线与数 轴不能等同起来 故 a 不正确 b 中的说法不准确 应该说 在数轴上原点右边的点所表示的数是 正数 在原点左边的点所表示的数是负数 c 中说法是错误的 应改为 在数轴上原点的右边 距 离原点越远 表示的数就越大 d 中的说法是正确的 答案 d 二 考查知识点数轴上的点与有理数的关系 例 3 在数轴画出表示下列各数的点 3 3 2 5 2 1 6 0 2 2 1 2 1 解析 先按数轴的画法画出数轴 然后根据数的正 负及它们到原点的距离标出各点 答案 画出数轴如图示 3 2 5 2 0 1 6 2 2 1 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 标出各数 名师点拨 要分清正 负 正数在正数轴上 负数在负数轴上 2 5 在点 3 与 2 所表 示的点的中间 并不是在 2 与 1 中点 例 4 在数轴上 a 点和 b 点所表示的数分别为 2 和 1 若要使 a 点表示的数是 b 点表示的数 的 3 倍 应将 a 点 5 a 向左移动 5 个单位b 向右移动 5 个单位 c 向左移动 4 个单位d 向左移动 1 个单位或向右移动 5 个单位 解析 b 点表示的数是 1 它的 3 倍是 3 3 所对应的点 c 在原点右侧 3 个单位处 a 点在单 位左侧两个单位处 根据题意 要使 a 在点 c 处 要由原来的 a 点向右移动 5 个单位 故选 b 答案 选 b 经验技巧 正确找出数在数轴上的对应点 和由数轴上点的位置确定对应的数是解本题的关 键 三 考查知识点 在数轴上表示有理数的大小 例 5 下列说法中正确的是 a 有最大的负数 没有最小的正数b 有最小的负数 没有最大的正数 c 没有最大的有理数和最小的有理数d 有最小的负整数和最大的正整数 解析 用数轴表示数 这是数与形结合 将抽象的数直观化 而数轴是一条直线 它可向两 旁无限无限延伸 在有理数中 负数包括负整数和负分数 所以没有最小或最大的负数 只有最大 的负整数 1 正数包括正整数和正分数 同样没有最大或最小的正数 只有最小的正整数 1 0 既 不是正数也不是负数 因此有理数中没有最小的有理数 也没有最大的有理数 故选 c 答案 选 c 方法规律 最小的正整数是 1 最大的负整数是 1 常作为考试命题的热点 例 6 在数轴上表示 2 5 0 1 2 5 1 3 等有理数 并用 把它们连接起来 4 3 4 1 解析 在数轴上画出各数表示点通常有两条 画数轴 三要素要齐全 找出表示数的点 并用实心小园点表示 且在该点标上数或字母 如在数轴上标出 和 所表示的点 应将 0 与 1 4 3 4 1 两点间线段四等分 靠近原点的四等分点标为 靠近 1 的四等分点标为 这里容易称错 请 4 1 4 3 注意 答案 如图所示点 a b c d e f g 分别表示有理数 2 5 0 1 2 5 3 4 3 4 1 e d c f a g 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2 5 1 0 1 2 5 3 4 3 4 1 6 误区警示 根据数轴的三个要素画好数轴 表示数的字母要依次对应有理数 不能画成如图 所示 d c a b 2 5 1 0 2 5 3 能力 拓展 应用题 例 1 把 0 5 在数轴上的对应点沿数轴向左或向右分别移动 4 个单位长度后 所得的点对应 的数是什么 解析 离开 0 5 在数轴上的对应点沿数轴向左和向右分别移动 4 个单位长度 图所示 4 5 0 5 3 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4 个单位 4 个单位 答案 把 0 5 在数轴上的对应点沿数轴向左和向右分别移动 4 个单位长度后 所得到的数分 别为 3 5 和 4 5 经验技巧 这种数与形之间相互应用 是一种重要的数学思想 叫做数形结合思想 本题应 注意不能理解为离开原点 4 个单位的点 创新题 例 2 如图所示 在数轴上的点 a b 分别表示数 3 和 2 c 是 a b 两点之间的中点 求点 c 所表示的数 a c b 3 2 1 0 1 2 3 解析 很多同学误认为 a b 两点间长度为 5 个单位长度 故 5 2 2 由点 b 向左找到距 2 1 点 b 为 2个单位长度的点 c 的位置 故点 c 的位置表示的数为 其实上述解法忽视了有理数的 2 1 2 1 符号 从而导致错误 答案 点 c 距离原点个单位长度 且点 c 在原点的左边 2 1 点 c 表示的数是负数 即 2 1 7 方法规律 求两点的中点 可用线段的长度进行计算 实验题 例 3 在数轴上 到表示 1 的点的距离等于 2 5 的点有几个 请在数轴上画出来 解析 根据数轴上点与数的对应关系 离开 1 向右边 2 5 个单位长度的点表示的数为 3 5 离开 1 向左边 2 5 个单位长度的点表示的数为 1 5 故在数轴上 到表示 1 的点的距离等于 2 5 的 点有 2 个 答案 到表示 1 的点的距离等于 2 5 的点有 2 个 它们是 a b 两点 如图所示 a1 5 1 b3 5 3 2 1 0 1 2 3 4 误区警示 在数轴上到某点距离相等的点有 2 个 它们分居于这一点的两侧 且关于这一点 对称 综合题 例 4 如果 x 为有理数 那么 x x x x 或 x0 时 x x 当 x 0 时 x x 当 x 0 时 x x 故以上选择只有 1 个正确 故选 a 方法规律 对字母的讨论要注意讨论的方法 你能举例说明吗 例 5 小明在做题时 不小心墨水洒在数轴上 如图所示 请根据图中标出的数值写出墨迹 盖住的所有整数 解析 此题要求找出 12 1 到 6 5 之间的整数及 0 到 10 5 之间的整数与 10 5 到 15 之间的整 数 8 答案 1 2 11 10 9 8 7 及 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 与 11 12 13 14 15 误区警示 12 1 到 6 5 之间的整数为 12 11 10 9 8 7 而 13 不在其中 例 6 一病人早晨测体温为 38 3 中午测体温时 体温上升了 1 2 下午打完点滴后 体温有所降低 晚上测量时 体温比中午下降了 2 问病人晚上体温为多少 与早晨测量时的体 温相比 晚上体温比早晨变化了多少 记作什么 并借助数轴分析 解析 早晨体温38 3 中午体温上升了1 2 即为39 5 下午比中午降低2 即为 37 5 故晚上体温为 37 5 晚上体温比早晨体温降低了 0 8 记作 0 8 答案 37 5 38 3 39 5 0 10 20 30 40 晚上病人体温为 37 5 比早晨降低了 0 8 记作 0 8 探究 体验 探究题 例 1 如图所示 在数轴上有三个点 a b c 回答 a b c 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 将点 b 向左移动 3 个单位后 三个点所表示的数哪个最小 是多少 将点 a 向右移动 4 个单位后 三个点所表示的数哪个最小 是多少 将点 c 向左移动 6 个单位后 这时 b 点表示的数比 c 点表示的数大多少 怎样移动 a b c 中的两个点 才能使三个点表示的数相同 有几种移动方法 解析 中点的移动与对应的数经过实验探究 很容易求出它们点对应的数 的移动 方法较多 有三种情况 a 点不动 移动 b c 二点 b 点不动 移动 a c 二点 c 点不动 移动 a b 两点 a b c 同时移动呢 答案 a 4 b 5 c 3 最小为 b 5 a 8 b 2 c 3 最小为 a 8 a 4 b 2 c 3 此时 b 点表示的数比 c 点表示的数大 1 至少有三种移动方法 9 a 点不动 将 b 点向左移动 2 个单位 c 点向左移 7 个单位 b 点不动 将 a 点向右移动 2 个单位 c 点向左移 5 个单位 c 点不动 将 a 点向右边移动 7 个单位 b 点向右移动 5 个单位 还有 a b c 均移动的情况 则移法有无穷种 经验技巧 数轴上数与点的对应可以用数轴形象地表示出来 可以通过点在数轴上移动来进 行分析 开放题 某乳制品加工厂销售员小王给某超市送来 10 箱奶粉 每箱 20 袋 每袋重 400 克 他正要返 回工厂时 厂部突然来电话 说 10 箱中有一箱因灌装机器有故障 故奶粉每袋少了 20 克 要他立 即把缺量的一箱事回去换 当时超市正忙 要小王只准称一次 就找出缺量的那一箱 小王非常聪 明 他拿笔将 10 只箱子分别编上号码 1 2 3 10 然后从第 1 号箱取 1 袋 第 2 号箱子 取 2 袋 依次类推 直到从第 10 号箱取出 10 袋 共 55 袋 一起放到秤台上称 得重量为 21920 克 然后他就找出了缺量的那一箱 你知道是怎么回事吗 解析 一共取 55 袋 按标准重量为 400 55 22000 克 但实际重量为 21920 克 相差 80 克 已知某中央有一箱重量不够 且每袋少 20 克 故 80 20 4 说明所取的 55 袋中正好 有 4 袋缺 量 很显然就是从第 4 号箱取出的 故应将第四箱奶粉带回厂更换 答案 缺量的是第四箱 方法规律 小王的方法很奇妙 10 箱奶粉中每箱分别取 1 2 3 10 袋 由于 10 箱 中只有一箱重量不够 且每袋少 20 克 因此只要计算出标准重量与实际重量之差即能分析出来 习题 解疑 p23 练习 正确 错在数轴上的刻度不均匀 数轴上的负数表示有错误 正确 a 5b 1 5c 2 5d 6 3 5 1 8 0 6 5 3 10 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 5 1 8 0 6 5 3 10 p25 练习 10 正确 错误 应为 0 14 应为 10 9 3 6 2 5 3 0 16 1 6 1 10 2 1 2 1 9 7 p25 习题 2 2 a b c d 各点所表示的数分别为 3 2 5 5 6 3 2 1 0 5 4 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 400 50 0 250 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 50 100 150 200 250 300 3 位于原点左边 距原点 3 个单位长度 4 2 位于原点右边 4 2 个单位长度 1 位于原点左边 距原点 1 个单位长度 位地原点右边个单位长度 2 1 2 1 a 向右移 7 个单位长度 终点表示的数为 4 a 向左移 7 个单位长度 再右移 5 个单位长度 终点表示的数为 1 采用逆向思维方式 终点表示的数为 0 向右移动 5 个单位长度表示的数为 5 再向左移动 3 个单位长度所表示的数为 2 即 b 所表示的数为 2 16 6 2 3 3 2 5 6 16 8 存在最小的正整数 它为 1 不存在最小的负整数 存在最大的负整数 1 不存 在最小的整数 自主评价 11 一 基础题 数轴的三要素是 与原点的距离为 4 个单位的点有 个 它们分别表示有理数 和 若点 p 在数轴原点的右边 则点 p 表示的是 数 表示 3 的点在原点的 边 表 示 3 的点距原点 个单位长度 距离原点 3 个单位长度的点表示的有理数有 数轴上的点 a b 分别表示数 1 和数 2 点 c 表示 a b 两点间的中点 则点 c 表示的数是 下列说法正确的是 a 数轴上的一个点可以表示两个不同的有理数 b 数轴上有两个不同的点表示同一个有理数 c 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点 d 有的有理数不能在数轴上表示出来 如图所示 根据有理数 a b c 在数轴上的位置 下列关系正确的是 c a 0 b a b c 0 ab a b c 0c a c b 0d b 0 a c 数轴上点 a 到原点的距离是 5 点 a 表示的数是 3 1 a 5b 5c 5或 5d 不能确定 3 1 3 1 3 1 3 1 若有理数 m n 在数轴上点 m 表示数 m 点 n 表示数 n 那么下列说法正确的是 a 点 m 在点 n 的右边b 点 m 在点 n 的左边 c 点 m 在原点的右边 点 n 在原点左边 d 点 m 和点 n 均在原点右边 有理数 a b c 在数轴上对应点的位置 如图所示 3 2 1 0 1 2 则下列关系式中 正克的是 a a b c 0 b a b c 0 c ab ac d ac bc 提高题 10 数轴上 a b 两个点分别表示 1 和 1 这两点间有多少个有理数 有哪几个整数 包括 12 a b 两点表示的有理数 11 如图一只蚂蚁从原点 0 出发 它先向右爬了 2 个单位长度到达点 a 再向右爬 3 个单位