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感悟数学之美 07310124 1 朱江波 感悟数学之美 朱江波 07310124 东南大学 数学系 南京 210096 摘要摘要 数学之美是抽象的 但是本文通过美丽的分形和正态分布两个具体的例子 向大家展 示具体的数学之美 本文所使用的数学工具并不 艰难 因此还是比较方便理解的 这正 是数学的深奥与简单之处 A Abstractbstract The beauty of mathematics is abstract but the passage shows the beauty of mathematics to readers by two specific examples of the beautiful Fractal and Normal dis tribution The mathematical tools of this passage are not difficult so it is easy to under stand This is the mathematics of the esoteric and simple 关键词关键词 分形几何 中心极限定理 正态分布 K Keywordseywords Fractal geometry central limit theorem Normal distribution 一 引言 数学 尤其是高等数学 让许多人望而却步 里面的内容博大精深 尤其是 1900 年 Hilbert 提出著名的 23 个问题之后 能像他那样通晓数学各个领域的人已经几乎不存在了 数学是那么高深 但同时数学也和我们紧密相连 数学之美 有些是具体的 像一些美丽的图形 黄金分割等等 但更多的是抽象的 不 是通过视觉听觉就可以感受出来 而是一种用心去体会的美 就像解析函数 学数学的人都 认为这种函数美 因为它处处可导 有许多非常好的性质 所以就美 所以 数学之美不仅 仅在于她的形式 更多的是她的内涵 本文在不回避 深奥 的数学 但回避 艰难 的数学的宗旨下 通过两个具体的例子 向大家展示数学之美 二 Cantor 三分集与分形几何 首先 我们还是先看一个比较直观的例子 1883 年 德国数学家 Cantor 构造了一个所谓 数学怪物 三分集 它是人类理性 思维的产物 并非某个现实原型的摹写 尤其值得关注的是 用传统的几何学术语言很难对 它进行描述 它既不是满足某些简单条件的点的轨迹 也不是一个简单方程的解集 可以说 它是一个新的几何对象 Cantor 三分集构造 将闭区间 0 1 三等分 去掉中间的开区间 1 3 2 3 剩下两个闭区间 0 1 3 2 3 1 又把这 两个闭区间各三等分 去掉中间的两个开区间 即 1 9 2 9 7 9 8 9 一般地 当进行到第 次时 一共去掉2n 1个开区间 剩下2n个长度是3 n的互相隔离的闭区间 而在第 1次时 再将 这2n个闭区间各三等分 并去掉中间的一个开区间 如此继续下去 就从 0 1 去掉了可数 感悟数学之美 07310124 2 朱江波 个互不相交 而且没有公共端点 的开区间 而且剩下的必是一个闭集 注1 它至少包含各邻 接区间的端点及其聚点 称它为 Cantor 三分集 记为 Koch 雪花 曲线 或许这个例子还不够直观 那么由瑞典人 Koch 于 1904 年提出的著名的 雪花 曲线 其做法与 Cantor 三分集有异曲同工之妙 但从视觉来看或许更让人看出数学之美 美丽的 Koch 曲线 Koch 曲线有着极不寻常的特性 不但它的周长为无限大 而且曲线上任意两点之间的 线内距离也是无限大 曲线在任何一点处都连续 但却处处不可导 该曲线长度无限 但却 包围着有限的面积 这显然和我们的常识所相悖 但它确确实实的被构造出来了 使得我们不得不惊叹于数 学的巧妙之处 正是 Cantor 三分集的出现 使得数学又一新的分支 分形几何出现 Cantor 三分集是最早出现的分形 首先 它具有 自相似性 即其局部与整体彼此相 似 这是分形的一个重要的特征 其次 它是无穷操作或迭代的结果 呈现出一种特别的精 细结构 这种奇异的几何图形 用欧式几何和解析几何的方法是难以表述的 Hausdoff 维数 提到分形几何 就不得不介绍一个 Hausdoff 维数 假设我们把分形图形分成 N 个相等 的部分 每一部分在线性尺度上都是原来图形的 1 m 那么这个图形的维数就是 logN logm 显然 当N mk k N 时 这个维数都不是我们常见的整数 这对我们这些生活在三维世界的人 来说是不可思议的 由 Hausdoff 维数计算公式我们可以算出 Cantor 三分集的维数是 log2 log3 0 63 而 Koch 曲线的维数是log4 log3 1 26 说明那一团挤在一起的图形 比一维的线段 维数要高 但是还达不到平面图像的二维水平 由此可见 数学之美是一种理性的美 通过理性的思维确实能构造出来这么美丽的产物 表达式不一定每个人都能看懂 但是图形却是大家共同的语言 三 中心极限定理与正态分布 正态分布 Normal distribution 就如她的英文翻译一样 叫正常态的分布 言外之意 其他的分布都是非正常态的 学过概率论的人都知道 正态分布是概率论中最基本最重要的 分布 而且那山峰一样的图形也很直观的表达出它的意思 但是正态分布为什么那么重要 中心极限定理便能很好的诠释这个问题 下面我们就在介绍中心极限定理的过程中感受正态 分布带给我们的数学之美 注注 1 由定理 由定理 直线上的闭集直线上的闭集 F 或者是全直线 或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间或者是全直线 或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间 即 F 的余区间 所得到的集 知所构造出来的集合为闭集 所得到的集 知所构造出来的集合为闭集 感悟数学之美 07310124 3 朱江波 Lindburg Levy 中心极限定理 设 是独立同分布的随机变量序列 且 2 0 记 1 2 则对任意实数 有 lim 1 2 2 2 由 Lindburg Levy 中心极限定理我们知道 在独立同分布的情况下 的分布函数列弱 收敛于标准正态分布 de Moivre Laplace 中心极限定理 设 重 Bernoulli 试验中 事件 在每次试验中出现的概率为 0 1 记 为 次 试验中事件 出现的次数 且记 则对任意实数 有 lim 1 2 2 2 再由 de Moivre Laplace 中心极限定理 我们能得到二项分布的正态近似 并且通过 修正可以使误差变的很小 这条定理说明当 时 二项分布也可以正态分布来代替 以上我们解决了在独立同分布的情况下随机变量的极限分布问题 但实际问题中诸 的独立性是常见的 但很难说 是同分布的随机变量 因此下面的条件和定理就阐述了在 独立不同分布的情况下随机变量的分布与正态分布关系的问题 Lindburg 条件 设 是一个相互独立的随机变量序列 它们具有有限的数学期望和方差 2 而随机变量的和 0 有 lim 1 2 2 2 0 1 上述条件称为 Lindburg 条件 而如果独立随机变量序列 满足 Lindburg 条件 则对任 意的 有 lim 1 0 满足 lim 1 2 2 1 0 则对任意的 有 lim 1 1 1 2 2 2 感悟数学之美 07310124 4 朱江波 由以上的定理我们可以得出在随机变量 独立的情况下 当 时 的分布都 可以用正态分布来代替 在假设检验中 大多数的检验都与正态分布直接或间接的有关 像 t 检验 F 检验或 2检验都是可以从正态分布中推导出来 这些检验一般都要求 所分析变 量在总体中呈正态分布 即满足所谓的正态假设 事实上 许多观察变量的确是呈正态分布 的 这也是正态分布是现实世界的基本特征的原因 四 结语 通过上面两个例子 我们看到了数学之美 无论是从图形的视觉效应还是实用价值来说 数学都有一种让人叹服的美 数学是那么深奥 因为她的思维 理论如此高深 但是同时她 又是那么简单 因为她的表达形式如此易懂 数学的简单与高深也就是数学之美 只要我们 用心感悟 也许数学并没有那么困难 参考文献 参考文献 1 程其襄 张奠宙 魏国强 胡善文 王漱石 实变函数与泛函分析基础