平面直角坐标系复习讲义教师用.doc

罗集初中 周福运12章 平面直角坐标系的复习讲义一、平面直角坐标系相关概念1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（x，y）. 点在y轴右边，则x0；在y轴上，则x=0；在y轴左边，则x0。点在x轴上方，则y0；在x轴上，则y=0；在y轴下边，则y0。坐标原点坐标为（0，0）；P（a，b）到x轴的距离为纵坐标的绝对值,到y轴的距离为横坐标的绝对值。2、平面直角坐标系及其有关的概念图1-123-1yO-2-31231-2-3x第一象限第二象限第三象限第四象限（+，+）（-，+）（-，-）（+，-）（1）平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，如图1.（2）坐标轴：在平面直角坐标系中，水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.（3）象限：如图1，坐标平面被两条坐标轴分成、四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 值得的注意是：坐标轴上的点不属于任何象限.O1a1bP（a，b）图23.点的坐标已知点的位置确定点的坐标：对于平面内任意一点P如图2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点P的坐标.已知点的坐标确定点的位置已知平面直角坐标系内一点的坐标，如P（-3，1），只需在x轴上找出表示-3的点，再在y轴上找出表示1的点，过这两点分别作x轴和y轴的垂线，两垂线的交点就是点P.二、点的坐标的特征：（1）各个象限内的点的坐标特征：第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（，+）、（，）、（+，）。反之也成立。例1、如果点c(x,y)在第三象限,x+1=2,y2=3.则点c的坐标为分析：因为c(x,y)在第三象限，所以x0,y0.x+1=2,有x+1=2或2，解得x=1或3 Y2=3,有y2=3或3，解得y=5或1所以x=3,y= 1.故点c的坐标为（3，1）（2）坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点表示为(x,0), 当在x轴正半轴上x为正，当在x轴负半轴上x为负；y轴上的点表示为(0,y), 当在y轴正半轴上y为正，当在x轴负半轴上y为负；坐标原点的坐标表示为（0,0）.反之，如果某点的坐标为(x,0)，则它必在x轴上,如果某点的坐标为(0,y)，则它必在y轴上, 如果某点的坐标为(0,0)，则它必是坐标原点。）坐标轴上的点不属于任何象限。例、已知点p(m,2m1)在x轴上，则p点的坐标为分析：因为x轴上的点纵坐标为零，所以2m1=0,m=.故点p的坐标为（,0）（3）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：如果点p(a,b)在第一、三象限的夹角平分线上，那么a=b. 反之也成立。如果点p(a,b)在第二、四象限的夹角平分线上，那么a+b=0. 反之也成立。 例3、点A(,)在第二象限的角平分线上，则a=分析：因为点A(,)在第二象限角平分线上，所以0所以a=3.（4）和x轴、y轴平行的直线上点的坐标特征：一般地，平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上各点的横坐标相等。反之，如果两点的纵坐标相等，那么过这两点的直线平行于x轴；如果两点的横坐标相等，那么过这两点的直线平行于y轴.例4、已知点A(m,2)和点B(3,m1),且直线ABx轴.则m的值为分析：因为直线ABx轴，所以m1=2,且m3,解得m=1。例5、已知线段ABy轴,如果点A的坐标为（，）且AB=4,则点B的坐标为分析：因为线段ABy轴,所以A,B两点的横坐标相等，又因为AB=4且点B可能在点A的上面或下面,所以点B的坐标为(2,7)或(2,1)。三、图形平移后的坐标变化规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a（aO）个单位长度，可以得到对应点（xa，y）或（xa，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b（bO）个单位长度，可以得到对应点（x，yb）或（x，yb）.yx(-1,3)(-2,-1)(1,1)o图(2)四、由坐标变化导致图形的平移：在平面直角坐标系内，如果一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移b个单位长度. 注意：平移不改变图形的形状和大小。例7、如图2，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）A.(2,0) (3,4) (1,6) B.(2,0) (4,3) (1,6) C.(0,2) (3,4) (1,6)D.(0,2) (3,3) (1,6)分析：将三角形向右平移2个单位长度，三个顶点的横坐标都要加2，再向上平移3个单位长度，三个顶点的纵坐标都要加3，所以平移后三个顶点的坐标分别为（0，2），（3，4），（1，6）。故应选C。五、坐标系中图形的面积计算1. 线段长度的计算：x轴上的两点或平行x轴的直线上两点其纵坐标相等，这两点的距离为横坐标差的绝对值；y轴上的两点或平行y轴的直线上两点其横坐标相等，这两点的距离为纵坐标差的绝对值； 2.图形的面积计算：对于处理平面直角坐标系中的有关几何图形的面积问题，一般的思路都是化不规则的为规则的图形，再利用相关的几何图形的面积公式求解.转化为一些能用面积公式表达的图形的和与差来求解六、如何求坐标平面内三角形的面积（一）、三角形的一边在坐标轴上例1.已知点A(4.5,5),B(6,0),C(-2,0),求ABC的面积.解析：在x轴上的两个点（a,0）、(b,0)相互之间可以通过左右平移得到，它们之间的距离为.由于BC边在x轴上，因此，以AB为底求三角形的面积比较方便.BC=.作ADBC于D，则点D的坐标为(4.5,0),高AD=5，所以，例2.已知点A(0,5),B(0,-1),C(-4,-3),求ABC的面积.解析：在y轴上的两个点（0, a）、(0,b)，相互之间可以通过上下平移得到，它们之间的距离为.因此AB=.作CDAB于D，则点D的坐标为(0,-3),高CD=4， 所以，（二）、三角形的一边与坐标轴平行例3.已知点A(2,3),B(2,-4),C(6,1),求ABC的面积. 解析：由A、B两点的坐标知，ABy轴，所以，要求ABC的面积，以AB为底比较简单， AB=.作CDAB于D，则点D的坐标为(2,1),高CD=.所以，例4.已知点A(-4,3),B(2,3),C(0,7),求ABC的面积. 解析：底AB=,高CD=.（三）、坐标平面内任意三角形面积的求法例5.已知点A(-2,1),B(1,-3),C(3,4),求ABC的面积. 解析：显然，ABC的每一条边都与坐标轴不平行，因此，以ABC的任意一边为底边都不容易求ABC的面积.为此，构造矩形CDEF(C为矩形的顶点，A、B分别在矩形的两边上，矩形的各边与左边轴平行)，D、E、F的坐标分别为D（-2，4）、E（-2，-3）、F（3，-3）.这样ABC的面积可以按下列方法之一求得：（1）=（2）=（3）=解决这个问题的方法是转化（本题的方法是化一般为特殊）.转化是数学中的重要思想，在学习数学的过程中，转化思想无处不在，掌握了转化的数学思想，学习数学就会事半功倍.练习：1.在平面直角坐标系中，点（2，3）所在的象限是（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限简析由于点(2，3)的横坐标20，纵坐标30，所以点(2，3)是在第二象限，故应选B.2.在平面直角坐标系中，若点P（x2，x）在第二象限，则x的取值范围为（）A.0x2B. x2C. x0D. x2简析已知第二象限中符号规律是：横坐标0，纵坐标0，于是有x20，x0，即0x2.故应选A.3.已知点M（3a9，1a）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a = （ ）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）0分析：在第三象限的点的横坐标为负，纵坐标也为负，故，解得，又a为整数，故a = 2，选（B）.4.点P（m3，m1）在直角坐标系的轴上，则P点的坐标为（ ）.（A）（0，2） （B）（2，0） （C）（4，0） （D）（0，4）分析：由于点P（m3，m1）在直角坐标系的轴上，所以，即，因而，故点P的坐标为（2，0），应选（B）.5.已知点Q（）在第一象限的角平分线上，则m = _.分析；由于点Q（）在第一象限的角平分线上，所以，移项，得，对等式左边因式分解，得，故或.6.点A（4，y）和点B（x，3），过A、B的直线平行与x轴，且AB = 5，则x = _，y = _.解：因为. 过A、B的直线平行与x轴，所以y = 3，又因为AB = 5，所以，所以或.7 平面直角坐标系内，点A（n，1-n）一定不在（ ）.（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解析：因为n+(1-n)=10,所以n和1-n不可能同时小于0,根据各象限内的坐标特点可知,点A(n,1-n)不可能在第三象限,应选(C).8 已知点P(x+2,x-3)在x轴上,则点P的坐标是（ ）. 解析:根据在x轴上点的坐标特点,可知x-3=0,所以x=3,所以x+2=3+2=5,故点P的坐标是(5,0).9 已知平面直角坐标系内一点P（-4，-2），请写出点P(-4,-2)到x轴和y轴的距离.解析：点到直线的距离，也就是这一点到直线的垂线段的长度.根据上面的结论知点P到x轴的距离为|-2|=2,到y轴的距离为|-4|=4,10 平面直角坐标系内，下列哪一对数表示的点与x轴的距离最远（ ） （A） （1，3） （B）（5，2） （C）（-3，5） （D）（0，-4）解析：因为坐标平面内的点的纵坐标的绝对值反映该点到x轴的距离，纵坐标的绝对值大点，到x轴的距离远.观察可知选（C）.11 已知线段AB平行于x轴，若点A的坐标为（-2，3），线段AB的长为5，求点B的坐标.解析：因为AB平行于x轴，所以A、B两点的纵坐标相同，又线段AB的长为5，所以B点的坐标为（-7，3）或（3，3）.说明：由平面几何知识“两点间的距离，就是连接两点之间线段的长度.题目中线段AB的长度是为5，就的点B到点A的距离为5个单位长度且由AB/y轴可知点B可能在点A的左右两侧，所以有两解.12 已知点P（a+3，7-a）位于象限的角平分线上，则点P的坐标为_.解析: 一、三象限的角的平分线上的点的横坐标和纵坐标的值相等；二、四象限的角的平分线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数.当点P在一、象限角的平分线上时，有a+3=7-a,解得a=2,所以P点的坐标为(5,5).当点P在二、四象限角的平分线上时，有a+3+7-a=0，无解，所以点P不能在二、四象限角的平分线上.所以点