第二章 一维随机变量及其分布.pdf

第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 第一节第一节 随机事件随机事件 一 引入 对于日常生活中的每一个随机 试验 它的可能结果都有唯一的实 数与之对应 例例1 1 1 1 从装有从装有8 8 8 8个白球 个白球 4 4 4 4个黑球与两个个黑球与两个 黄球的箱中随机取出两球 每取出一个黑黄球的箱中随机取出两球 每取出一个黑 球得球得2 2 2 2分 白球扣分 白球扣1 1 1 1分 黄球不得分也不扣分 黄球不得分也不扣 分 以分 以X X X X表示分数 则表示分数 则 X 2 X 2 X 2 X 2 的概率是多的概率是多 少 少 二 随机变量的概念二 随机变量的概念 定义 定义 设设S S S S e e e e 是试验的样本空间 是试验的样本空间 X X X X是是 定义在定义在S S S S上的一个单值函数 即对于每上的一个单值函数 即对于每 一个一个 有一实数 有一实数X X X X X eX eX eX e 与之对与之对 应 则称应 则称X X X X为为随机变量随机变量 随机变量常用随机变量常用X Y ZX Y ZX Y ZX Y Z表示 表示 注 随机变量的取值随试验结果而定 注 随机变量的取值随试验结果而定 X X X X取各取各 个值也有一定的概率 个值也有一定的概率 eS 在随机试验中引入适当的随机变在随机试验中引入适当的随机变 量 可以用来描述试验中的事件 也量 可以用来描述试验中的事件 也 可以更方便更简洁的求概率 可以更方便更简洁的求概率 如刚才的例题 求至少取得一个黑如刚才的例题 求至少取得一个黑 球的概率 球的概率 P A P XP A P XP A P XP A P X 1 P X 1 P X 2 1 P X 1 P X 2 1 P X 1 P X 2 1 P X 1 P X 2 P X 4 46 91P X 4 46 91P X 4 46 91P X 4 46 91 例例2 2 2 2 如何用随机变量表示下列随机事件 如何用随机变量表示下列随机事件 1 1 1 1 将将3 3 3 3个球随机地放入三个格子中 事件个球随机地放入三个格子中 事件 A A A A 有一个空格有一个空格 B B B B 有两个空格有两个空格 C C C C 全有球全有球 2 2 2 2 进行 进行5 5 5 5次试验 事件次试验 事件D D D D 试验成功一次试验成功一次 E E E E 试验至少成功一次试验至少成功一次 F F F F 至多成功三次至多成功三次 三 随机变量与普通函数的区别三 随机变量与普通函数的区别 1 1 1 1 随机变量取各个值有一定的概率 随机变量取各个值有一定的概率 普通函数则不然 普通函数则不然 2 2 2 2 随机变量定义在样本空间上 即随 随机变量定义在样本空间上 即随 机变量的机变量的 定义域定义域 可以不是实数集 而可以不是实数集 而 普通函数的定义域是实数集或它的子集 普通函数的定义域是实数集或它的子集 四 随机变量的分类四 随机变量的分类 离散型离散型 随机变量随机变量 连续型连续型 非离散型非离散型 奇异型 混合型 奇异型 混合型 第二节第二节 离散型随机变量及其离散型随机变量及其 分布率分布率 一 定义一 定义 若随机变量若随机变量X X X X的取值的取值x x x x1 1 1 1 x x x x2 2 2 2 x x x xn n n n 取取 这些值的概率依次为这些值的概率依次为p p p p1 1 1 1 p p p p 2 2 2 2 p p p pn n n n 则称则称 X X X X为离散型随机变量 而称为离散型随机变量 而称P X xP X xP X xP X xk k k k k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 为为X X X X的分布律或概率分布 的分布律或概率分布 可表示为可表示为X X X X P X xP X xP X xP X xk k k k p p p pk k k k k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 或或 X X X X X x X xX xX x1 1 1 1 x x x x2 2 2 2 x x x xk k k k P P P Pk k k k p p p p1 1 1 1 p p p p2 2 2 2 p p p pk k k k 二二 分布律的性质分布律的性质 1 1 1 1 p p p pk k k k 0 0 0 0 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 2 2 2 2 1 1 k k p 例例1 1 1 1 设袋中有设袋中有5 5 5 5个球 其中个球 其中2 2 2 2白白3 3 3 3黑 现从中黑 现从中 任取任取3 3 3 3只球 不放回 求抽得的白球数只球 不放回 求抽得的白球数X X X X 的分布律 的分布律 三三 几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布 1 1 1 1 伯努利概型与二项分布伯努利概型与二项分布 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 分布分布 设随机变量设随机变量X X X X值可能取值可能取0 0 0 0与与1 1 1 1两个值 它的两个值 它的 分布律是分布律是 0 p 1 k 0 10 p 1 k 0 10 p 1 k 0 10 p X XP 注 泊松分布的参数注 泊松分布的参数 表示单位时间 或单位表示单位时间 或单位 面积 内随机事件的平均发生率 它适合于描面积 内随机事件的平均发生率 它适合于描 述单位时间内随机事件发生的次数 述单位时间内随机事件发生的次数 例例3 3 3 3 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X X X X服从参数为服从参数为 的泊松分布 且已知一对夫妇有不超过的泊松分布 且已知一对夫妇有不超过1 1 1 1个孩个孩 子的概率为子的概率为3e3e3e3e 2 2 2 2 求任选一对夫妇 至少有三 求任选一对夫妇 至少有三 个孩子的概率是多少 个孩子的概率是多少 第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 引入 引入 考虑非离散型随机变量考虑非离散型随机变量X X X X 可能取值充 可能取值充 满某个区间 它取某个特定值的概率常常是满某个区间 它取某个特定值的概率常常是 0 0 0 0 因此我们所关心的不再是它取某个特定 因此我们所关心的不再是它取某个特定 值的概率 而是这类随机变量的取值落在某值的概率 而是这类随机变量的取值落在某 个区间上的概率 个区间上的概率 P xP xP xP x1 1 1 1 X X X X x x x x2 2 2 2 如 测量误差 灯泡使用寿命 排队时间等 如 测量误差 灯泡使用寿命 排队时间等 为此 需引入随机变量的分布函数的概念 为此 需引入随机变量的分布函数的概念 一一 分布函数的概念分布函数的概念 定义 设定义 设X X X X是随机变量 对任意实数是随机变量 对任意实数x x x x 事件 事件 X X X X x x x x 的概率的概率P XP XP XP X x x x x 称为随机变量称为随机变量X X X X的分布 的分布 函数 记为函数 记为F xF xF xF x 即 即F xF xF xF x P XP XP XP X x x x x 易知 对任意实数易知 对任意实数a b aa b aa b aa b a b b b b P aP aP aP a X X X X b b b b P xP xP xP x b b b b P xP xP xP x a a a a F bF bF bF b F aF aF aF a 二二 分布函数的性质分布函数的性质 1 1 1 1 单调不减性 单调不减性 若若x x x x1 1 1 1 x x x x2 2 2 2 则 则F xF xF xF x1 1 1 1 F x F x F x F x2 2 2 2 2 2 2 2 归一性 对任意实数归一性 对任意实数x x x x 0 0 0 0 F xF xF xF x 1 1 1 1 且且 3 3 3 3 右连续性 对任意实数右连续性 对任意实数x x x x lim 0 x FF x lim 1 x FF x 0 00 0 lim xx F xF xF x 反之 具有上述三个性质的实函数 必是反之 具有上述三个性质的实函数 必是 某个随机变量的分布函数 故这三条性质是分某个随机变量的分布函数 故这三条性质是分 布函数的充分必要性质 布函数的充分必要性质 注 分布函数是个普通函数 注 分布函数是个普通函数 三三 分布函数的计算方法 离散型 分布函数的计算方法 离散型 一般地 对离散型随机变量一般地 对离散型随机变量X P X X P X X P X X P X x x x xk k k k p p p pk k k k k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 其分布函数为 其分布函数为 故 对离散型随机变量故 对离散型随机变量X X X X 其分布函数 其分布函数F xF xF xF x 在在 X X X X x x x xk k k k处有跳跃 其跳跃值处有跳跃 其跳跃值p p p pk k k k P X P X P X P X x x x xk k k k k kk k xx F xP Xxp 例 例 设随机变量设随机变量X X X X具有分布律如下表 试求出具有分布律如下表 试求出 X X X X的分布函数 的分布函数 第四节第四节 连续型随机变量及其连续型随机变量及其 概率密度概率密度 一 概率密度一 概率密度 1 1 1 1 定义 定义 对于随机变量对于随机变量X X X X 若存在非负函数 若存在非负函数f xf xf xf x 使其对任意实数使其对任意实数x x x x 都有 都有 则称则称X X X X为连续型随机变量 为连续型随机变量 f xf xf xf x 为为X X X X的的 概率密度函数 简称概率密度或密度函数 概率密度函数 简称概率密度或密度函数 记为记为X X X X f xf xf xf x x x x x x F xP Xxf t dt 2 2 2 2 密度函数的性质密度函数的性质 1 1 1 1 非负性 非负性 f x f x f x f x 0 0 0 0 x x x x 2 2 2 2 归一性 对任意实数归一性 对任意实数x x x x 0 0 0 0 F xF xF xF x 1 1 1 1 注 性质注 性质 1 1 1 1 2 2 2 2 是密度函数的充要性质 是密度函数的充要性质 1f x dx 3 3 3 3 对于任意实数对于任意实数a a a a b ab ab ab a b b b b 几何意义 几何意义 X X X X落在区间落在区间 a ba ba ba b 的概率等于区的概率等于区 间间 a ba ba ba b 上曲线上曲线y y y y f xf xf xf x 之下的曲边梯形的面积 之下的曲边梯形的面积 4 4 4 4 若若x x x x是是f xf xf xf x 的连续点 则 的连续点 则 b a P aXbF bF af x dx dF x f x dx 例例1 1 1 1 设随机变量设随机变量X X X X的概率密度为的概率密度为 求常数求常数a a a a x f xae 例例2 2 2 2 设随机变量设随机变量X X X X的分布函数为的分布函数为 x 0 x 0 x 0 x0 x 0 x 0 x 0 求求 f xf xf xf x 1 2 1 1 2 x x e F x e 注注1 1 1 1 对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X X X来说 对任意实数来说 对任意实数a a a a X a X a X a X a 不是不可能事件 但不是不可能事件 但P X a 0P X a 0P X a 0P X a 0 所以所以 故计算连续型随机变量落在某一区间的概率时 故计算连续型随机变量落在某一区间的概率时 可以不考虑开闭区间 可以不考虑开闭区间 注注2 2 2 2 分布函数 分布函数F xF xF xF x 是一个连续函数 是一个连续函数 b a P aXbP aXbP aXbf x dx 例例3 3 3 3 设随机变量设随机变量X X X X的密度函数如下 的密度函数如下 0 0 0 0 x 1x 1x 1x 1 1 1 1 1 x 2x 2x 2x 2 其他其他 求 求 1 X 1 X 1 X 1 X的分布函数的分布函数F xF xF xF x 2 P 0 5 x 1 5 2 P 0 5 x 1 5 2 P 0 5 x 1 5 2 P 0 5 x 1 5 2 0 x f xx 三三 几个常用的连续型分布几个常用的连续型分布 1 1 1 1 均匀分布均匀分布 若若 a x ba x ba x ba x b 其他其他 则称则称X X X X在在 a ba ba ba b 内服从内服从均匀分布均匀分布 记做 记做 X U a bX U a bX U a bX U a b 1 0 Xf xba 由由f xf xf xf x 可得可得X X X X的的分布函数分布函数为 为 x ax ax ax a a a a a x x x x b b b b x x x x b b b b 0 1 xa F x ba 设设X U a bX U a bX U a bX U a b 则 则X X X X具有下述意义的具有下述意义的等可能性等可能性 它落在区间它落在区间 a ba ba ba b 中等长度的子区间内的可能中等长度的子区间内的可能 性是相同的 性是相同的 它落在子区间内的概率只依赖于之区间的长它落在子区间内的概率只依赖于之区间的长 度 而与子区间的位置无关 度 而与子区间的位置无关 例例4 4 4 4 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的10101010分 分 25252525分 分 55555555分发车 设乘客不知发车时间 于每小分发车 设乘客不知发车时间 于每小 时的任意时刻随机地到达车站 求乘客候时的任意时刻随机地到达车站 求乘客候 车时间超过车时间超过10101010分钟的概率 分钟的概率 解 解 设事件设事件A A A A 乘客候车时间超过 乘客候车时间超过10101010分钟分钟 X X X X 乘客于某时乘客于某时X X X X分钟到达分钟到达 则则X U 0 60 X U 0 60 X U 0 60 X U 0 60 P A P 10 X P A P 10 X P A P 10 X P A P 10 X 15 P 25 X15 P 25 X15 P 25 X15 P 25 X 45 45 45 45 P 55 XP 55 XP 55 XP 550 x 0 x 0 x 0 x x x x 0 0 0 0 则称则称X X X X服从参数服从参数 的的指数分布指数分布 记为记为 0 x e Xf x 0 XE 易知 易知 X X X X的的分布函数分布函数为 为 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x 0 0 0 0 1 0 x e F x 例例5 5 5 5 电子元件的寿命电子元件的寿命X X X X 年 服从参数为 年 服从参数为3 3 3 3 的指数分布 的指数分布 1 1 1 1 求该电子元件寿命超过 求该电子元件寿命超过2 2 2 2年的概率 年的概率 2 2 2 2 已知该电子元件已使用了 已知该电子元件已使用了1 51 51 51 5年 求它年 求它 还能使用还能使用2 2 2 2年的概率 年的概率 3 3 3 3 正态分布正态分布 若若X X X X的密度函数为的密度函数为 x x x x 其中其中 是常数 则是常数 则 称称X X X X服从参数为服从参数为 的的正态分布正态分布 也称 也称 为为高斯分布高斯分布 记为 记为 2 2 2 1 2 x f xe 2 2 XN 正态分布是实践中应用最广泛 在理论上正态分布是实践中应用最广泛 在理论上 研究最多的分布之一 故它在概率统计中占有研究最多的分布之一 故它在概率统计中占有 特别重要的地位 特别重要的地位 实例 学生考试成绩 质量管理等实例 学生考试成绩 质量管理等 当当 时 时 N 0 1 N 0 1 N 0 1 N 0 1 称为标准正称为标准正 态分布 记标准正态分布的密度函数和态分布 记标准正态分布的密度函数和 分布函数分别为分布函数分别为 则则 0 1 xx 2 2 1 2 x xe 2 t x 2 1 2 xedt 直接积分积不出来 人们利用数直接积分积不出来 人们利用数 值积分 编制了值积分 编制了 的函数表 的函数表 P258P258P258P258 表格中表格中z z z z的纵轴表示整数位和小数位第一的纵轴表示整数位和小数位第一 位 横轴表示小数位第二位 则可得位 横轴表示小数位第二位 则可得 x 1 28 x 2 653 标准正态分布函数的性质 标准正态分布函数的性质 1 1 1 1 2 2 2 2 设设X N 0 1 X N 0 1 X N 0 1 X N 0 1 则 则 若若 则 则 1xx P aXbba 2 XN ba P aXb 例例6 6 6 6 设设 求 求 33 PX 2 XN 由此可见 由此可见 X X X X落在落在 以外的概率小于以外的概率小于3 3 3 3 所以基本上可以把区 所以基本上可以把区 间间 看作是随机变量看作是随机变量X X X X实际可实际可 能的取值区间 这一说法称为正态分布的能的取值区间 这一说法称为正态分布的 法则 法则 3 3 3 3 3 例例7 7 7 7 某兵工厂生产的子弹头后端的直径服从某兵工厂生产的子弹头后端的直径服从 参数参数 的正态分布 的正态分布 规定直径范围 规定直径范围 7 94mm7 94mm7 94mm7 94mm 8 12mm8 12mm8 12mm8 12mm 内为合 内为合 格品 今生产格品 今生产5 5 5 5粒子弹 求不合格品数不超粒子弹 求不合格品数不超 过过1 1 1 1粒的概率 粒的概率 0 06mm 8mm 第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 引入 引入 一般有 设一般有 设X X X X为随机变量 为随机变量 g xg xg xg x 为为 连续函数 则连续函数 则g Xg Xg Xg X 也为随机变量 也为随机变量 一 一 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 设设X X X X的分布律为 的分布律为 P X xP X xP X xP X xi i i i p p p pi i i i i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 且且g xg xg xg xi i i i 的值全不相等 则的值全不相等 则 Y Y Y Y g Xg Xg Xg X 的分布律为 的分布律为 P YP YP YP Y g xg xg xg xi i i i p p p pi i i i i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 若若g xg xg xg xi i i i 中有相等的中有相等的 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 则 则 应该把那些相等的值对应的概率相加 应该把那些相等的值对应的概率相加 例例1 1 1 1 设设X X X X的分布律为 的分布律为 X 1 0 1 2 2 5 X 1 0 1 2 2 5X 1 0 1