实验11 数据的统计与分析.docx

数学实验（数据的统计与分析）郭明钊 化21 2012011880一、 炮弹落点问题1、 问题分析：本题与例6相似，思路也是差不多的，就是用随机模拟作数值积分。只是增加了一个相关系数的条件，横纵坐标有了相关性，那么二维正态分布的概率密度表达式也就不同了，而且，由于相关性改变了分布的对称性，所以就不能同例6那样只是计算第一象限来代表整个目标区域，而是要在全部四个象限上计算。2、 模型的建立：炮弹命中圆形目标区域的概率为其中代表圆形区域（包含四个象限），是n个点中落在内的点的坐标, （均以1m为单位），而随机点分别为和区间上的均匀分布随机数。那么就可以通过均匀随机地在上述的正方形区域内抛洒n个点，然后对落在区域内的点的函数值进行求和来求解二重积分最终得到所求的概率。3、 Matlab实现在matlab中输入以下内容a=100; %圆形区域的半径sx=80;sy=50;n=1000000; %撒点的个数m=0;z=0;r=0.4; x=unifrnd(-100,100,1,n); y=unifrnd(-100,100,1,n); %随机撒点for i=1:n u=0; if x(i)2+y(i)2=a2 u=exp(-1/(2*(1-r2)*(x(i)2/sx2+y(i)2/sy2-2*r*x(i)*y(i)/sx/sy); z=z+u; m=m+1; endendP=4*a*a*z/2/pi/sx/sy/n/sqrt(1-r2)重复计算5次，得到如下结果这五次的实验的均值是0.69798 方差是3.47E-07由此可见，炮弹命中圆形区域的概率大约是0.74、 问题小结：这个题目的特点就是相关系数的存在，其所带来的改变不仅仅是概率密度函数形式的改变，由于x，y两坐标有了相关性，区域的对称性也会发生改变。正确建立模型后用matlab求解是很方便的，n取得越大，得到的数越稳定越精确。这个题目使我更深刻认识了蒙特卡罗方法，更深刻理解了这种随机模拟求解定积分重积分的思想.二、 轧钢问题1、 问题分析：这是一个涉及正态分布的非线性优化的问题。目标函数是要使浪费的钢材最少，而由于粗轧得到的长度的不同会造成两种不同形式的浪费。第一种形式是粗轧得到的钢材长度小于规定长度以至于全部浪费；第二种形式是粗轧得到的钢材长度大于规定长度，那么大于的那部分被浪费。2、 建立模型：第一问：对于上述的第一种形式，浪费量的期望可以表示为，其中p（x）是粗轧得到的长度的概率密度函数，x服从正态分布，所以有，此式中m是正态分布的期望。对于上述的第二种浪费形式，浪费的期望可以表示为。则目标函数为另外，除了有上述内容，还应增加约束条件，这是因为m是正态分布的期望，如果小于，则至少有一半的钢材粗轧后被浪费，显然不会有最优解。再有，考虑到正态分布的法则，则可以认为m左方大于的点概率密度极小可以近似为0，所以l不能小于m-，也就是有。下面再进行化简：对于此题第一问，以下不用规划的方法，而是使m在l与l+3之间取值，观察的值的变化，判断m为何值时，浪费的总值最小。对于第二问：这是一个条件期望的问题，根据条件概率和条件期望的有关知识，可以得到，也就是在第一问的基础上除以粗轧钢材不小于于规定长度的概率。3、 Matlab实现：第一问：在matlab中输入以下内容clearv=1;for x=2:0.001:2.6 %m的取值范围 m=x; F=normcdf(2,m,0.2); %求分布函数F(l) z(v,:)=m,m-2*(1-F); v=v+1; %用z（v,:）记录每一次循环的结果endzplot(z(:,1),z(:,2) %绘制浪费期望与m的关系图像可以从结果看出，随着m的增大，浪费总量z值先减小后增大，得到的数值结果中截取一部分如下：2.0000 1.0000 2.0010 0.9970 2.0020 0.9940 2.0030 0.9910 2.0040 0.9880 2.0050 0.9851 2.0060 0.9821 2.0070 0.9791 2.0080 0.9761 2.0090 0.9731 2.0100 0.9701 2.3280 0.4290 2.3290 0.4290 2.3300 0.4289 2.3310 0.4289 2.3320 0.4289 2.3330 0.4289 2.3340 0.4289 2.3350 0.4289 2.3360 0.4290 2.3370 0.4290 2.3380 0.4290 . 2.5880 0.5913 2.5890 0.5922 2.5900 0.5932 2.5910 0.5941 2.5920 0.5951 2.5930 0.5960 2.5940 0.5970 2.5950 0.5979 2.5960 0.5989 2.5970 0.5998 2.5980 0.6008 2.5990 0.6017得到的图像如图根据上面标红色部分的数据和图像中的最低点坐标可知，第一问浪费量最小时的均值m约为2.33m。第二问：在matlab中输入以下内容clearv=1;for x=2:0.001:2.6 %m的取值范围 m=x; F=normcdf(2,m,0.2); %求分布函数F(l) z(v,:)=m,(m-2*(1-F)/(1-F); %条件期望 v=v+1; %用z（v,:）记录每一次循环的结果endzplot(z(:,1),z(:,2) %绘制浪费期望与m的关系图像得到的结果也是z随着m的增大先下降后上升。数据点截取一部分如下：2.0000 2.0000 2.0010 1.9861 2.0020 1.9723 2.0030 1.9586 2.0040 1.9451 2.0050 1.9316 2.0060 1.9182 2.0070 1.9050 2.1210 0.9158 2.1220 0.9106 2.1230 0.9053 2.1240 0.9002 2.1250 0.8950 2.1260 0.8900 2.1270 0.8849 2.1280 0.8799 2.3490 0.4481 2.3500 0.4481 2.3510 0.4480 2.3520 0.4480 2.3530 0.4479 2.3540 0.4479 2.3550 0.4479 2.3560 0.4479 2.3570 0.4479 2.3580 0.4479 2.3590 0.4479 2.3600 0.4480 2.3610 0.4480 2.3620 0.4480 2.5930 0.5969 2.5940 0.5979 2.5950 0.5988 2.5960 0.5997 2.5970 0.6007 2.5980 0.6016 2.5990 0.6026 2.6000 0.6035 得到的图像如下根