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琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式是由琴生发现的重要不等式 它在解决有关函数不等式方面的问题具有重要作用 它也有多种变通形式 运用时要根据具体情况而定 琴生不等式与函数或曲线的凹凸性相关 其判定有多种方法 主要是定义法和二阶导数法 若为 下凸函数则 2 2 类似有 1 1 若为 上凸函数则 2 2 类似有 1 1 琴生不等式 琴生不等式 函数的凹凸性的判定定理 设在 区间 a b 内具有二阶导数 1若在区间 a b 内 0 为二阶导数 下同 则函数 在 a b 是下凸的 2若在区间 a b 内 0 则函数 a b 是上凸的 这个定理高诉我们 要定出函数的凹凸性 只要在函数的考察内 定出的同号区间以及相应的符号 琴生不等式 试题分析 一若 满足 1 1求证 其中 1 0 2求证 m n p q 其中m n p q m p q n3求证 n n 试题分析 试题分析 在1问中 如何运用数学归纳法来证明是 而主要的问题也是集中在对第k 第k 1的处理 而如何运用所假设更是成了重中之重 难中之难 在这问中更是涉及到了在数学归纳中对换元思想的运用 这是在高中数学比较少见的 体现着数学归纳中蕴涵着的有限与无限的思维方式 在2问中宜直接对提设的不等式进行变换 有点定比分点的味道 在3问中是1问的特例 试题分析 高考中的考查 05年全国卷 22 1 1 1 求其最小值 2若p 满足 p 1 2 1 p 0 求证 p p n 1问借助导函数很容易判定 2问要用数学归纳原理 有一定的难度 事实上就是琴生不等式的一种形式 08年江西卷 22 简化 高考中的考查 高考中的考查 若x y z 0 且xyz 8 求证1 1 x 1 1 y 1 1 z 2 作为压轴型的难题 其思维方式也大为迥异 对考生的思维能力有很高的要求 我们再来看一道相类似的试题 基于此 我们不难发现高考与竞赛之间有着紧密的联系 这也就提醒着我们的同学在平时学习过程中要对竞赛类的试题也要有所接触 但不宜钻的过深 造成基础不扎实 影响整体水平的发挥 只需要对竞赛类的试题的处理方法有一定的了解 掌握这类试题的分析和讨论的切入点 以提高自身的应变能力 因为大多数的竞赛试题在思维上 还是在创新上 都有着一定的技巧 高考中的考查 高考中的考查 05年国家集训队试题1求证1 1 p 1 1 q 1 1 r 3 1 其中00 2求证1 1 p 1 1 q 1 1 r 0 3 2 在集训队的解释中 其构造了函数 1 1 通过判
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