高等数学综合练习309.pdf

1 综合练习 309 解答 一 选择填空题 1 已知 2a bc 则 abbcc 解 2abbccabacbccabc 2 设32aijk 2bijk 则 cos a b 解 3 cos 2 21 a b a b a b 3 函数 22 lnzxy 在点 1 2处的全微分为 解 24 55 dzdxdy 4 曲面23 z zexy 在点 1 2 0处的切平面方程为 解 1 2 0 2 2 14 2 0 z nyxe 故切平面方程为240 xy 5 设 sinfx y zxyz 则 grad1 3 0 f 解 gradsin cos cosfyz xzyz xyyz 故 grad1 3 00 0 3f 6 过点 1 2 1M 且与直线 2 34 1 xt yt zt 垂直的平面方程为 解 340 xyz 7 函数 22 4fx yxyxy 的极大值点为 解 42 x fx yx 42 y fx yy 得驻点 2 2 又2 xx Af 0 xy Bf 2 yy Cf 故 2 40ACB 故 2 2 为极大值点 2 8 函数 fx y在点 00 xy处存在两个偏导数 00 x fxy和 00 y fxy是它在 该点连续的 条件 A 充分非必要 B 必要非充分 C 充分必要 D 既非充分也非必要 解 选 D 9 二次积分 2 22 0 y x dx edy 的值为 A 4 1 e B 4 1 2 e C 4 1 1 2 e D 4 1 1 2 e 解 222 2222 4 0000 1 1 2 y yyy x dx edydy edxyedye 故选 C 10 函数uxyz 在椭球面 2 22 1 4 y xz 上的点 3 2 33 333 P 处沿 椭球面在该点的外法线方向的方向导数为 A 3 B 5 C 5 3 D 3 5 解 212 2 2 2333 P y nxz 故 5 grad 3 n u u e n 故选 C 二 求 32 22 1 1 D x y Idxdy xy 其中 22 10D xyy 解 1 32 22222 00 1 0ln2 1112 DD x y Idxdydxdydd xyxy 三 设 22 0 0 0 0 0 xy x y xyf x y x y 1 求 0 0 x f 0 0 y f 2 讨论 fx y在 0 0处的连续性 3 证明 fx y在 0 0处不可微 3 解 1 0 00 0 0 0lim0 0 x x f xf f x 类似地 0 00 y f 2 22 0 0 1 lim 0 2 x y fx yxyfx y 故连续 3 22 22 0 00 00 0 xy fxyffxfy x y xy xy 而 22 0 0 lim xy x y xy 不存在 故不可微 证毕 四 设 yy xzz x 是方程 zxg xy 和 0G x y z 确定的隐函数 其中 g G分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数 求 dy dx 解 1 0 0 xzz yz xyz dzdy gxg zxg xy GgGxg Gdydxdx G x y zdxGxg G dydz GGG dxdx 五 在椭圆 22 44xy 上求一点 使其到直线236xy 的距离最短 解 令 2 22 236 44 13 xy Lxy 则由0 xy LLL 解得 8 5 x 3 5 y 故最短距离为 1 13 d 六 设 f u具有二阶连续导数 而 sin x zf ey 满足方程 22 2 22 x zz e z xy 求 f u的表达式 解 sin x x zey f 22 sinsin xx xx zey fey f cos x y zey f 22 sincos xx yy zey fey f 故 22 2 22 0 x zz e zfuf u xy 解得 12 uu f uC eC e 4 七 求 cos D Ixy dxdy 其中D由0y yx 和 2 x 围成 解 22 coscos x yx y Ixy dxdyxy dxdy 422 0 42 coscos1 2 y x y x dyxy dxdxxy dy 八 求 22 Ixyz dv 其中 为平面曲线 2