河南省八市重点高中联考高考数学模拟试卷 理（含解析）.doc

河南省八市重点高中联考2015届 高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1已知集合a=x|42x16，b=a，b，若ab，则实数ab的取值范围是( )a（，2b2，+）c（，2d2，+）2设ar，若（ai）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )a2b1c0d13设sn为等差数列an的前n项和若a40，a5|a4|，则使sn0成立的最小正整数n为( )a6b7c8d94已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则( )a且lb且lc与相交，且交线垂直于ld与相交，且交线平行于l5如果的值为( )abcd6已知点a、o、b为平面内不共线的三点，若ai（i=1，2，3，n）是该平面内的任一点，且有=，则点ai（i=1，2，3，n）在( )a过a点的抛物线上b过a点的直线上c过a点的圆心的圆上d过a点的椭圆上7已知函数f（x）=x22ax+2a22（a0），g（x）=ex，则下列命题为真命题的是( )axr，都有f（x）g（x）bxr，都有f（x）g（x）cx0r，使得f（x0）g（x0）dx0r，使得f（x0）=g（x0）8非零向量，满足2=，|+|=2，则，的夹角的最小值为( )abcd9如图，平面四边形abcd中，ab=ad=cd=1，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )ab3cd210已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )a，+）b（，c1，d，11已知椭圆+=1（ab0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为f，右顶点为a，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于b，c两点，若四边形abfc是菱形，则椭圆的离心率是( )abcd12设集合an=x|（x1）（xn24+lnn）0，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合an的并集是( )a（1，13ln3）b（1，6）c（1，+）d（1，2）二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上13观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67照此规律，第4个等式可为_14已知圆c：x2+y22ax+2ay+2a2+2a1=0与直线l：xy1=0有公共点，则a的取值范围为_15将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=，x=，x轴围成的图形面积为_16已知数列an的通项为an=sin（+）+（nn*），则数列an中最小项的值为_三、解答题本题共6小题，共70分17已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（1）=2且对于任意xr，恒有f（x）2x成立（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）x+518如图，在abc中，d为边ab上一点，da=dc已知b=，bc=1（）若dc=，求角a的大小；（）若bcd面积为，求边ab的长19已知函数f（x）=（x2）2，f（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，an+1=an，（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和sn20在三棱柱abca1b1c1中，已知aa1=8，ac=ab=5，bc=6，点a1在底面abc的射影是线段bc的中点o，在侧棱aa1上存在一点e，且oeb1c（1）求证：oe面bb1c1c；（2）求平面a1b1c与平面b1c1c所成锐二面角的余弦值的大小21如图，已知椭圆c：=1（ab0）的离心率为，以椭圆c的左顶点t为圆心作圆t：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆t与椭圆c交于点m与点n（1）求椭圆c的方程；（2）求的最小值，并求此时圆t的方程；（3）设点p是椭圆c上异于m，n的任意一点，且直线mp，np分别与x轴交于点r，s，o为坐标原点，求证：|or|os|为定值22已知函数f（x）=（x23x+3）ex定义域为2，t（t2）（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（2）证明：对于任意的t2，总存在x0（2，t），满足=（t1）2，并确定这样的x0的个数河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1已知集合a=x|42x16，b=a，b，若ab，则实数ab的取值范围是( )a（，2b2，+）c（，2d2，+）考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题；集合分析：先化简a，注意运用指数函数的单调性解不等式，再根据集合的包含关系，求出a，b的范围，运用不等式的性质，求出ab的取值范围解答：解：集合a=x|42x16=x|222x24=x|2x4=2，4，ab，b=a，b，a2，b4，ab24=2，即ab的取值范围是（，2故选：a点评：本题考查集合的包含关系及应用，考查指数不等式的解法，注意运用指数函数的单调性，同时必须掌握不等式的性质是解题的关键2设ar，若（ai）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )a2b1c0d1考点：复数的基本概念 专题：计算题分析：化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值解答：解：（ai）2i=（a212ai）i=2a+（a21）i 为正实数，2a0，且（a21）=0，a=1，故选b点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件3设sn为等差数列an的前n项和若a40，a5|a4|，则使sn0成立的最小正整数n为( )a6b7c8d9考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：根据给出的已知条件，得到a5+a40，然后由等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得答案解答：解：在等差数列an中，a40，a5|a4|，得a50，a5+a40，使sn0成立的最小正整数n为8故选：c点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题4已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则( )a且lb且lc与相交，且交线垂直于ld与相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论解答：解：由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾故与相交，且交线平行于l故选d点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题5如果的值为( )abcd考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：计算题分析：由题意求出的范围，确定的符号，求出cos，利用二倍角公式求出的值解答：解：因为，所以cos=，所以=；故选d点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的确定，三角函数的值的符号的确定，考查计算能力6已知点a、o、b为平面内不共线的三点，若ai（i=1，2，3，n）是该平面内的任一点，且有=，则点ai（i=1，2，3，n）在( )a过a点的抛物线上b过a点的直线上c过a点的圆心的圆上d过a点的椭圆上考点：向量的物理背景与概念 专题：平面向量及应用分析：根据题意，得出，即得出点ai（i=1，2，3，n）在过a点的直线上解答：解：根据题意，得有=，（）=0；=0，；点ai（i=1，2，3，n）在过a点的直线上故选：b点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的运算法则，寻求解答问题的途径，从而解答问题，是基础题7已知函数f（x）=x22ax+2a22（a0），g（x）=ex，则下列命题为真命题的是( )axr，都有f（x）g（x）bxr，都有f（x）g（x）cx0r，使得f（x0）g（x0）dx0r，使得f（x0）=g（x0）考点：全称命题；特称命题 专题：简易逻辑分析：求出两个函数的值域，然后判断选项即可解答：解：函数f（x）=x22ax+2a22=（xa）2+a22a222，g（x）=ex=（ex+）2，显然xr，都有f（x）g（x），故选：b点评：本题考查函数的值域命题的真假的判断，基本知识的考查8非零向量，满足2=，|+|=2，则，的夹角的最小值为( )abcd考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cos=|，再由基本不等式，可得cos，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值解答：解：非零向量，满足2=，|即有2|cos=|2|2，即2cos=|，由|+|=2，则|（）2=1，即有cos，由于0，则，则当|=|=1时，的夹角取得最小值为故选c点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题9如图，平面四边形abcd中，ab=ad=cd=1，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )ab3cd2考点：球内接多面体；球的体积和表面积 专题：计算题；压轴题分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积解答：解：由题意平面四边形abcd中，ab=ad=cd=1，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd顶点在同一个球面上，可知abac，所以bc 是外接球的直径，所以bc=，球的半径为：；所以球的体积为：=故选a点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键10已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )a，+）b（，c1，d，考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：将直线进行整理，得到直线过定点（1，1），作出不等式组对应的平面区域，根据条件得到ab应该在直线l的两侧或在直线l上，即可得到结论解答：解：直线l：（m+2）x+（m+1）y+1=0等价为m（x+y）+（2x+y+1）=0，即，解得，直线过定点p（1，1），作出不等式组对应的平面区域（阴影部分abc），要使直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则必有点a（1，2），b（1，1）在l的两侧或在l上得（m+2）1+（m+1）2+1（m+2）1+（m+1）（1）+10，即2（3m+5）0，解得故m的取值范围为（，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出直线过定点，以及利用不等式组作出平面区域是解决本题的关键11已知椭圆+=1（ab0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为f，右顶点为a，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于b，c两点，若四边形abfc是菱形，则椭圆的离心率是( )abcd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由椭圆方程求出f和a的坐标，由对称性设出b、c的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出b的纵坐标，将点b的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率解答：解：由题意得，椭圆+=1（ab0，c为半焦距）的左焦点为f，右顶点为a，则a（a，0），f（c，0），抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于b，c两点，b、c两点关于x轴对称，可设b（m，n），c（m，n）四边形abfc是平行四边形，2m=ac，则，将b（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（ac）=（a2c2），则不妨设b（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e28e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：d点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题12设集合an=x|（x1）（xn24+lnn）0，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合an的并集是( )a（1，13ln3）b（1，6）c（1，+）d（1，2）考点：函数的值域；并集及其运算 专题：函数思想；函数的性质及应用分析：先求不等式的解集，再构造函数求出所有函数的值域再求值域的并集就可以了解答：解：（x1）（xn24+lnn）=0的两根为x1=1，又n2+4lnn1，设f（n）=n2+4lnn，n（1，3），则，在n（1，3）时f（n）0，f（n）在区间（1，3）上单调递增，即f（n）f（3）=13ln3，所以集合an的并集为（1，13ln3）故选：a点评：本题利用构造函数，求函数的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集本题对初学者来讲有一定的难度，属于中档题二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上13观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67照此规律，第4个等式可为54=121+123+125+127+129考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，解答：解：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，设行数为n，用an1表示每行的第一个数，则an1=（n+1）3n，因此第4行的第一个数为：（4+1）34=121，则第4个等式为54=121+123+125+127+129，故答案为：54=121+123+125+127+129点评：本题解答的关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的方法，进一步解决问题即可14已知圆c：x2+y22ax+2ay+2a2+2a1=0与直线l：xy1=0有公共点，则a的取值范围为，）考点：圆的一般方程 专题：直线与圆分析：若圆c：x2+y22ax+2ay+2a2+2a1=0与直线l：xy1=0有公共点，则，解得a的取值范围解答：解：圆c：x2+y22ax+2ay+2a2+2a1=0的圆心坐标为（a，a），半径r=，若圆c：x2+y22ax+2ay+2a2+2a1=0与直线l：xy1=0有公共点，则，解得：a，），故答案为：，）点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般式方程，解答时易忽略12a0，而造成错解15将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=，x=，x轴围成的图形面积为考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质分析：数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与x=，x=，x轴围成的图形面积解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，得到函数=sin（2x）=sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=sinx的图象，则函数y=sinx与x=，x=，x轴围成的图形面积：+=cosx+cosx=+1=故答案为：点评：本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年2015届高考必考内容16已知数列an的通项为an=sin（+）+（nn*），则数列an中最小项的值为考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得n=4k，kn*时，an=sin+；n=4k+1，kn*时，an=sin（）+；n=4k+2，kn*时，an=sin（）+；n=4k+3，kn*时，an=sin（）+由此能求出数列an中最小项的值解答：解：an=sin（+）+（nn*），n=4k，kn*时，an=sin+=，n=4k+1，kn*时，an=sin（）+=，n=4k+2，kn*时，an=sin（）+=，n=4k+3，kn*时，an=sin（）+=数列an中最小项的值为故答案为：点评：本题考查数列中最小项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数的周期性质的合理运用三、解答题本题共6小题，共70分17已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（1）=2且对于任意xr，恒有f（x）2x成立（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）x+5考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质；函数最值的应用 专题：综合题分析：（1）由f（1）=2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作，化简后得到关于a与b的等式记作，又因为f（x）2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令0得到关于lga与lgb的不等式，把代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入即可求出a的值；（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可解答：解（1）由f（1）=2知，lgblga+1=0，所以又f（x）2x恒成立，f（x）2x0恒成立，则有x2+xlga+lgb0恒成立，故=（lga）24lgb0，将式代入上式得：（lgb）22lgb+10，即（lgb1）20，故lgb=1即b=10，代入得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）x+5，即x2+4x+1x+5，所以x2+3x40，解得4x1，因此不等式的解集为x|4x1点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，以及会求一元二次不等式的解集，是一道中档题18如图，在abc中，d为边ab上一点，da=dc已知b=，bc=1（）若dc=，求角a的大小；（）若bcd面积为，求边ab的长考点：正弦定理；解三角形 专题：解三角形分析：（1）在bcd中，由正弦定理得到：，计算得到bdc，又由da=dc，即可得到a；（2）由于bcd面积为，得到，得到bd，再由余弦定理得到，再由da=dc，即可得到边ab的长解答：解：（1）在bcd中，b=，bc=1，dc=，由正弦定理得到：，解得，则bdc=60或120又由da=dc，则a=30或60（2）由于b=，bc=1，bcd面积为，则，解得再由余弦定理得到=，故，又由ab=ad+bd=cd+bd=，故边ab的长为：点评：考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于基础题19已知函数f（x）=（x2）2，f（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，an+1=an，（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和sn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（i）f（x）=2（x2），由an+1=an，可得an+1=an，变形，利用等比数列的通项公式即可得出（）由题意bn=nan=，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（i）f（x）=2（x2），由an+1=an，可得an+1=an，化为，变形，an2是以a12=1为首项，公比为的等比数列，an=2+（）由题意bn=nan=，设数列的前n项和为tn，则tn=1+，=+，=1+=2，即tn=，sn=tn+n2+n=+n2+n点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20在三棱柱abca1b1c1中，已知aa1=8，ac=ab=5，bc=6，点a1在底面abc的射影是线段bc的中点o，在侧棱aa1上存在一点e，且oeb1c（1）求证：oe面bb1c1c；（2）求平面a1b1c与平面b1c1c所成锐二面角的余弦值的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得a1o面abc，从而a1obc，由等腰三角形性质得bcao，从而eobc，又oeb1c，由此能证明oe面bb1c1c（2）由勾股定理得ao=4，分别以oc、oa、oa1为x、y、z轴建立空间坐标系，求出面a1b1c的法向量和面c1b1c的法向量，由此能求出平面a1b1c与平面b1c1c所成锐二面角的余弦值解答：解：（1）证明：点a1在底面abc的射影是线段bc的中点o，a1o面abc，而bc面abc，a1obc，又ac=ab=5，线段bc的中点o，bcao，a1oao=o，bc面a1oa，eo面a1oa，eobc，又oeb1c，b1cbc=c，b1c面bb1c1c，bc面bb1c1c，oe面bb1c1c（2）解：由（1）知，在aob中，ao2+bo2=ab2，则ao=4，在a1ao中，则分别以oc、oa、oa1为x、y、z轴建立空间坐标系，c（3，0，0），a1（0，0，4），a（0，4，0），b（3，0，0），b1（3，4，4），c1（3，4，4），=（3，0，4），=（6，4，4），=（0，4，4），设面a1b1c的法向量=（x，y，z），取=（1，），设面c1b1c的法向量=（x，y，z），取=（0，1），cos，=，所以平面a1b1c与平面b1c1c所成锐二面角的余弦值为点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用21如图，已知椭圆c：=1（ab0）的离心率为，以椭圆c的左顶点t为圆心作圆t：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆t与椭圆c交于点m与点n（1）求椭圆c的方程；（2）求的最小值，并求此时圆t的方程；（3）设点p是椭圆c上异于m，n的任意一点，且直线mp，np分别与x轴交于点r，s，o为坐标原点，求证：|or|os|为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，得a=2，由此能求出椭圆c的方程（2）法一：点m与点n关于x轴对称，设m（x1，y1），n（x1，y1），设y10由于点m在椭圆c上，故由t（2，0），知=，由此能求出圆t的方程法二：点m与点n关于x轴对称，故设m（2cos，sin），n（2cos，sin），设sin0，由t（2，0），得=，由此能求出圆t的方程（3）法一：设p（x0，y0），则直线mp的方程为：，令y=0，得，同理：，故，由此能够证明|or|os|=|xr|xs|=|xrxs|=4为定值 法二：设m（2cos，sin），n（2cos，sin），设sin0，p（2cos，sin），其中sinsin则直线mp的方程为：，由此能够证明|or|os|=|xr|xs|=|xrxs|=4为定值解答：解：（1）依题意，得a=2，c=，b=1，故椭圆c的方程为（2）方法一：点m与点n关于x轴对称，设m（x1，y1），n（x1，y1），不妨设y10由于点m在椭圆c上，所以 （*） 由已知t（2，0），则，=（x1+2）2=由于2x12，故当时，取得最小值为由（*）式，故，又点m在圆t上，代入圆的方程得到故圆t的方程为：方法二：点m与点n关于x轴对称，故设m（2cos，sin），n（2cos，sin），不妨设sin0，由已知t（2，0），则=（2cos+2）2sin2=5cos2+8cos+3=故当时，取得最小值为，此时，又点m在圆t上，代入圆的方程得到故圆t的方程为： （3）方法一：设p（x0，y0），则直线mp的方程为：，令y=0，得，同理：，故 （*） 又点