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文档简介

五、NewtonCotes公式的截断误差1. 梯形公式的截断误差函数的一次拉格朗日插值公式为,而梯形公式是由下式得到:。如记梯形公式的误差为,则说明:插值公式的误差写成,它是依赖于的函数,而数值积分公式的误差只是两个数值之间的误差,与是无关的,只能记作,而不能记作。 因对于任意一次多项式,有,;对于某个二次多项式,;故而,梯形公式的代数精确度为1。2. 复化梯形公式的误差 将区间等分等份,按上面的公式,每个子区间上梯形公式的误差为,其中。故复化梯形公式的误差为由于在上连续,由连续函数的介值定理,存在,使得注意到,得到。于是,其中。这说明,复化梯形公式的误差量级为,当时，。3. 抛物线（辛浦生）公式的误差如果还用拉格朗日插值公式来估计误差,对于抛物线公式,则只能得到的形式,而得不出的形式。用其它方法可以证明,抛物线公式的误差为,。 因对于任意三次多项式,故抛物线公式的代数精确度为3。4. 复化辛浦生公式的误差 将区间a,b等分等份,为偶数(),每两个子区间()上用辛浦生公式,其误差为,因而,复化辛浦生公式的误差为由连续函数介值定理,存在,注意到,得到。如记,则。类似地,可以得到复化柯特斯公式的公式为,其中。例:计算定积分,其中,精确值为。解：将区间分成8等份，分点为,则 (1). 时,复化梯形公式,误差。(2). 时,抛物线公式,误差。(3). 时,复化梯形公式,误差。(4). 时,复化抛物线公式， ,误差。(5). 时,复化梯形公式,误差。注:的复化抛物线公式比的复化梯形公式还要精确。(6). 时,复化辛浦生公式， ,在7位有效数字下,误差。例:计算定积分。 (1). 如果要求误差小于0.002,用复化梯形公式计算时,须将区间0,2分成多少等份？ (2). 要求误差小于0.002,用复化抛物线公式时又应分成多少等份？ (3). 如果要求误差小于0.00002,用复化抛物线公式计算时,须将区间0,2分成多少等份？解:精确值 。(1). ,而,得,即,要求误差小于0.002,即,故而要求 ,于是得到。我们取,则。 。(2). ，而,得,即，要求误差小于0.002,即，故而要求，得。取,则。,误差。(3). 要求误差，即,得。取,则。误差。3. 高斯型求积公式牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的（区间a,b的两端点a, b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是(为奇数)或(为偶数)。而如果对
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