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文档简介

一、定积分计算基本方法1、 牛顿莱布尼兹公式：2、 定积分的换元法：设10 在上连续， 20 ， 30 在上连续，则。 注：条件3书上用较强的条件在上连续且当时，的值域不超出来代替。实际上代换的值域可以超出，如上图。3、定积分的分部积分法：注意事项：1、被积函数含绝对值记号。例1：解：当；当 。 （分界点x=1处）例2：解：例3：解： 2、广义积分有推广的牛顿莱布尼兹公式（1）如果在上连续，,原函数在上连续，则仍有（2）如果在上连续，的原函数适合存在记为则仍有。例1：计算解：当时，在上，。当时，是广义积分。或者用推广的牛顿莱布尼兹公式。当时， =。例2：解：。3、应用换元法时注意换元条件在上连续可导。有些不定积分的换元技巧在定积分的计算中失效。定积分由于积分区间的限制，求定积分不仅仅是求原函数问题。例1：分析：若令，而，在间断。解：=+=+=+=。例2：分析：若令，在间断。解法一：（令=（令） =解法二：= =+ =+（第一个积分令，第二个积分令） =注：三角函数周期是而不是2时，常用代换而不用半角代换。例3：解：令时取，时取。= 注：时若取，时取，则包含了（分母为0），所以不能这样取。同理，也不能取。但可以如下解=（注意：在上。）4、改变被积函数在某一点的值不影响积分值。例：设，求解：因在0，3上有界，且只有一个第一类间断点，所以存在。，而在上连续，故 。对于，若修改定义,则在1,3上也连续，且，故。所以+。二、间接计算法（不直接求原函数而计算定积分）1定积分的几何意义例：(1)（原函数不容易求出，但几何意义明显）(2)(3)2对称性(1) ,(2) ,(3),.例1：已知，求Fourier系数.解:(具体计算).或者考虑到为奇函数,.例2：解:或者利用对称性,被积函数为偶函数,故-.例3：解：.3三角函数积分的特定变形(1).(2).例1: I=解：因I=，故2I=，I=。注：类似的例子如I=（作代换，I=等。例2：I=解：因I=， 故2I= =. 所以I=.4、重要积分公式= =例1：解：令，则=4.例2：求与轴所围成弓形绕轴旋转得到的旋转体
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