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几何证题方法探讲新洲区第一初级中学 一、几何证题的基本方法在逻辑学中，所谓分析，就是把思维对象分解为各个组成部分、方面和要素，分别加以研究的思维方法，它在思维方式上的特点，在于它从事物的整体上深入地认识事物的各个组成部分，从而认识事物的内在本质或整体规律；所谓综合，是在思维中把对象的各个组成部分、方面、要素联结和统一起来进行考察的方法。它在思维方式方面的特点是在分析的基础上，进行科学的概括，把对各个部分、各种要素的认识统一为对事物整体的认识，从而达到从总体上把握事物的本质和规律的目的。在数学研究及学习中，把分析与综合的思维方法运用到几何的逻辑证明或推导中，就形成了求解几何问题的分析法与综合法。分析法是由命题的结论入手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的。这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程。综合法则是由命题的题设入手，通过一系列正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。【例1】如图，AB是ABC的外接圆O的直径，D是O上的一点，DEAB于点E，且DE的延长线分别交AC、O、BC的延长线于F、M、G。求证：AEBEEFEG。OADMGCABEF【分析】欲证乘积式，先必须转化为比例式然后三点定形，只需证AEFEGB 【例2】如图，已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，过A、C、D三点的圆交AB于F。求证：F为CDE的内心。【证明】要证F为CDE的内心，只需证DF平分CDE；CF平分DCB即可。要证，只需证CDFFDE45即可（CDE90），而A、C、F、D共圆，有CDFCAF，只需证CAB45即可，而这由题设即得。要证，只需证BCFDCF即可，要证这两个角相等，可有如下一系列途径：（1）只需证BCFDCF即可因为CDCB，且FBCCDF45，只需证DFFB即可。又只需证FDBFBD即可，而由CDCB有CDBCBD。故结论获证。（二）综合法深入发掘题设内涵，充分运用已知条件，是熟练地运用综合法解题的关键。【例3】1、如图20-10，直线ykxk2（k0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线yax2有唯一公共点B，点B在x轴上的正投影为点E，已知点D（0，4）。（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在实数k，使经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B。若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由；（3）连接DE、CE，已知点F（0，1），直线FA与CE相交于点M，直线AC与DE相交于点N，不论k取何值，在ENMNCE；ENMNCD两个等式中有一个恒成立。请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论。图20-10EOCyBDAxEOCyBDAxNMFABCEHD对条件较少的命题，在运用综合法求解时，应注意寻找并作出那些能沟通已知与未知，使问题所涉及的边角、比值等图形条件得到汇聚的辅助线作为突破口，这样容易入手，有时还会有开阔的思路。【例4】等边ABC中，点D为BC上一点，且BD2DC，连结AD，作DCEDAC，交AD于E，连结BE，求证：BEAD。【分析】等边三角形是等腰三角形的特殊情形，因此可作AHBC于H，运用“三线合一”得出DC2与DHDB，结合条件DCEDAC，可知CDEADC，推出DC2DEDA，进一步推出DBEDAH，从而得证。（二）面积法我们在求解平面几何问题的时候，根据几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积表示有关几何量，从而把要证明的几何量之间的关系化为有关面积之间的关系，并通过图形的等积变形对所证问题来进行求解的一种方法，我们称之为面积法。面积法具有直观性较强、联系较广、便于条件与结论之间的搭桥、表述简明等特点，颇受教师与学生的重视与青睐。1、面积法解题的基本依据（1）面积公式：SABCah SABCbcsinA（2）变形定理：面积分割原理：一个图形的面积等于它的各部分面积之和；两个全等图形的面积相等；等底（含同底）等高的两个三角形面积相等；反之若两个三角形等高（或等底）且等积，则它们等底（或等高）；等积平行定理：SA1BCSA2BC；且点A1、A2在BC的同侧A1A2BC（3）几个常用的面积比定理两相似图形的面积比等于其相似比的平方；两个同（等）底的三角形（平行四边形）的面积比等于这边上对应高的比；两个同（等）高的三角形（平行四边形）的面积比等于它们底边的比；夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果截得两条线段之比总等于一个常数，那么这两个平面图形的面积之比为；共边比例定理：若PAB与QAB的公共边所在的直线与直线PQ交于M，则；ACBFPDE共角比例定理：若在ABC与ABC中，AA或AA180，则；内接于同一圆的两个三角形的面积比等于三边乘积的比。【例5】如图，ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P为BC上任一点，过P分别作PDAB于P，PEAC于E，试探究PDPE是否为定值。变式一：当点P在BC的延长线上时，PD、PE是否有相同或类比的结论？（PDPE）A1DBCEPABFPEDC变式二：若ABACBC5，点P为ABC内任一点，PDAB，PEAC，PFBC，垂足分别为D、E、F，试问PD、PE、PF满足怎样的关系？（PDPEPF）变式三：在变式二的条件下，将P点移到ABC形外时，又有怎样的关系？（PD+PFPE）ACDCCNMCBCP变式四：若将等腰三角形变为等腰梯形，P为下底边BC上任一点，PMAB于M，PNCD于N，PMPN是否为定值？面积所证题有很大的优越性，同时又有自身的局限性。（三）割补法ECDCCACBC在求解平面几何问题时，根据问题的题设和结论，合理适当地将原来的图形割去一部分，或补上一部分，变成一个特殊的、简单的、整体的、熟悉的图形，使原来问题的本质得到充分显示，通过对新图形的分析，探索原来问题的答案，我们把这种方法称之为割补法。1补出直角三角形如果图形中有直角或者相邻两角互余的情况，可考虑通过整形，补出或补成直角三角形来解题。【例6】如图，四边形ABCD中，BD90，A60，AB4， AD5，求BC、CD。2补出等腰三角形如果图形涉及三角形或四边形某角的平分线，或三角形一边上的中线（或高）与角平分线联系，可考虑补出等腰三角形来。ACECFCBDC【例7】如图，在ABC中，ACBC，ACB90，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，且AEBD，求证：BD平分ABC。3补出正三角形如果多边形有一个内角为60或120，涉及到等线段，可考虑将图形补成一个正三角形。【例8】如图，AA、BB、CC交于点O，且AA=BB=CC=1，（竞赛）AOC=BOA=COB=60。BCACCCOCBCA（1）求证：；（2）求证：SAOC、SBOA、SCOB 中至少有一个不大于。【证明】（1）延长AA至E，使AE=OA，延长BB至D，使BD=BO，连DE，在DE上截取F，使EF=OC易证ODE为正三角形，DF=OC则AOCAEF，BOCBDFBCACCCOCBCADFESAEFSBOASBDFS正ODESAOCSBOASCOBS正ODE又 SODE即SAOCSBOASCOB（2）设OAa，OBb，OCc则OA1a，OB1b，OC1cSAOCa(1c)，SBOAb(1a)，SBOCc(1b)SAOCSBOASCOB()3a(1a)b(1b)c(1c)a2a0 a(1a)同理b(1b)，c(1c)则SAOCSBOASCOB()3SAOC、SBOA、SCOB中至少有一个不大于FENDCBMAC4补出平行四边形【例9】凸四边形ABCDEF中，A=B=C=D=E=F，且ABBC=11，FACD=3，求BCDE。解：由题意知，AFCD，BCEF，则可将六边形补成平行四边形MCNFABM、DEN均为等边三角形MCABBC11FAMFAMCNABCDDEAB于是FACDDEAB3则DEAB3 得DEBC14 此例也可补成正三角形5补出正方形AFCECBCDG【例10】如图，在ABC中，ADBC于D，CAB45，BC=3，CD=2，求SABC。解：将ACD沿直线AC翻折得ACF将ABD沿直线AB翻折得ABE分别延长FC、EB交于G可证出AEGF为正方形设AFADAEx则CGx2，BGx3在RtBCG中，BC2CG2BG2(23)2(x3)2(x2)2解得x6（舍出负值）则SABC156补出圆CPDCBA已知共顶点的两条相等线段、角之间的关系，可以公共顶点为圆心补圆，以较方便转化角，转化线段之间的关系。【例11】如图，若PAPB，APB2ACBAC与PB交于点D，且PB4，PD3则ADDC_。A、6B、7C、12D、16解：以P为圆心，PB长为半径作圆PAPB，APB2ACB点A、点C都在圆上，延长BP交P于点E，则BE8PD3 BD1，DE7，由相交弦定理知：ADDC7（四）几何变换法将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换。几何变换包括平移变换、轴对称变换、旋转变换、相似变换、等积变换等。1平移变换将平面图形上的每一个点都按一个定方向移动定距离的变换叫做平移变换。xCyCFCACBCMCKCNCPCECOC【例12】如图，已知点A(0,3)，B(2,1)，C(2,1)，P(t, t2)为抛物线yx2上位于ABC内（包含边）的一动点，BP所在直线交AC于点E，CP所在直线交AB于点F，将表示为自变量t的函数。解：作PMAB，PNAC分别交BC于M、N，作PKBC于K。易知：，又PMPN （1t1）2CAOCCOCDOCOCPOCBOC1C2轴对称变换将平面图形沿某条直线翻折的变换，叫做轴对称变换。在轴对称变换下，对应线段相等。【例13】如图，P为AOB平分线OP上一点，PCOC于C，OAPOBP180，求证：OAOB2OC。3旋转变换AOCBOCCCOCEOCDOCMOCNOC2C1C把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。【例14】ABC、DCE均为等腰三角形，ACBC，DCEC，且ACBECD，M、N分别为AE、BD的中点，连结CM、CN、MN，将CDE绕点C任意旋转一定的角度，试探究CMN的度数。（用、的代数式表示）几何证题的基本方法还有同一法、反证法、代数法、坐标语等，这里就不一一讲解。二、几何证题的常用方法（一）基本图形的运用课程标准中指出，推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质，与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受合理化思想。任何一个复杂的几何题都是由几个基本图形叠加而成。尝试将一个复杂几何题分解成几个基本图形，这本身就是能力。【例15】如图，已知C是AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长，交BD于点F，直线CF交直线AB于点G。（1）求证：CG是O的切线；（2）若FBFE2，求O的半径。分析：本题含有如下几个基本图形。OCC CHBD CE=EHDF=BF BCD=90 BF=FDCF=FBOCC 三线合一（二）建立模型化数学学习是学生自己的活动过程，学生用自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解。数学教学是数学活动的教学，数学学习不是单纯的知识的接受，而是以学生为主体的数学活动。ACDOEOCOBOC对几何变换的认识，不应只停留在表面上，而是让学生自己去探究、发现其本质的属性，形成主体自己对图形的认知规律，从而将问题模型化。【例16】（1）如图等边ABC中，D是AB边上动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连AE。求证：AEBC。 （2）如图，将中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作EDC改成相似于ABC，请问是否仍有AEBC？证明你的结论。EOCAOCDOCBOCCBOCOCOCAOCDBAOCBAOCCAOCEAOCAOCDAOCCAOCBAOCEAOCAOCDAOCEAOCBAOCCAOCDAOCEAOCBAOCCAOCAOC归纳模型：（三）特殊结论的处理在证题过程中，有些结论并不是常见的，但在处理这些上也存在一些规律。1形如“ab2cd”的证明证明非常规乘积式“ab2cd”，它可化为四种不同的形式，即：这个“多余的2”可放在任一条线段的前面，只不过形式不同。【例17】如图，PA为O的切线，A为切点，PBC为的割线，半径ODBC，垂足为E，连结AD交BC于F，求证：AFDF2PFEF。点拨：若“2”置于PF前，即证：，可延长FP至Q，使PQPF，连AQ，只证QAFEDF。若“2”置于EF前，即证，因PAF为等腰三角形，可构建等腰DFG，再证：PAFDGF。若“2”以“”的形式置于AF前，即证：，作PHAD于H，证PHFDEF。若“2”以“”的形式置于DF前，即证：，取DF的中点M，证明等腰PAFMEF。2形如“”的证明（1）本例给出了证明线段倒数和（差）的一个基本方法，即欲证，先转化为证1，然后通过三角形相似进行等比代换，于是1。运用这一方法，可以证明一个有用的基本图形。AOCEBEDECE【例18】如图，ABC中，AD平分BAC，DEAC交AB于E，则有： ；若BAC120，则。OCAOCBAOCEAOCCAOCDAOC事实上，由条件可证等腰EAD（EAED），于是。如图作为一个基本图形，在今后的综合题目中，会用到它。（2）证明线段的倒数和（差）关系式，除了上述的“转化后等比代换法”外，还有如下几种方法：“通分法”【例19】如图，E为等边ABC外接圆的上任一点。求证：AEBEEC；。思考如下：运用“截长法”或“补短法”较易证明；除了运用“转化后等比代换法”外，还可以这样证明：左右边上式中，BEECAE是的结论，而BEECEDEA可由BDEAEC而得到。“建立等积式后的线段代换法”【例20】如图，ABC中，AB=AC，D、E为直线AC上两点，且DBC=EBC。DAOCAOCBAOCCAOCE1OC2OC求证：。思考如下：在尝试一些方法不奏效后，考虑先建立求证关系式中相关线段的关系式。由AB=AC得1=2+DBC，而1=E+EBC，所以2=E，于是ABDAEB，AB2=ADAE，瞄准“目标”进行代换得，AB2=(ACDC) (AC+CE)=(ABDC) (AB+CE)，所以AB2=AB2+(CEDC)ABDCCE，整理得DCCE=(CEDC)AB，也就是=，即=。提醒：本图又是一个基本图形，对应着一种基本方法和基本结论，今后都有用。FAOCDAOCGAOCAOCMAOCNAOCBAOCCAOCEAOCPCAOC“作平行线构造三角形相似”【例21】如图，ABC中，M、N分别是AB、AC中点，P是MN上任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E。求证：是定值。思考如下：抓“”和“”进行等比代换，可过A作BC的平行线交CE、BD的延长线于F、G，则ADGCDB、AEFBEC，所以，两式相加得，又由MN是ABC的中位线，得P是CF、BG的中点，PFGPCB，FG=BC，故=1是定值。OCOCEAOCAOCBAOCDAOCCAOCOOCIAOC3形如“a2bc”的证明 【例22】如图，ABC内接于O，I为ABC的内心，AI的延长线交BC、O分别于E、D两点，求证：DI2ABACAD2。FOCO1OCO2OCOCOCAOCCOCBOCMOCDOCEOC分析：形如“a2bc”的证明，在变形的过程中，将a2、bc这两个乘积式转化到同一条直线上，然后合一。本题先证ABACADEA，BDDI，再证BD2DEAD，即DI2ABACDEDAADAEAD(AEDE)AD2。4形如“”的证明 【例23】如图，O1、O2相交于A、B两点，过B作一直线交两圆于C、D，点M为的中点，连结AM交O1于E，交CD于F。求证：。分析：证“”有两种途径：先证，变形为 ，再证c2ab，约分后得出结论，该方法必有一约分过程；先证两三角形相似，得S1：S2m2：n2，再结合图形的具体情况，这两个相似共商或共底，可得S1：S2a：b，可得出结论。本题先证CEDM，可知：，可转化，再证DMFAMD，得DM2MFMA，代入即可。（四）如何探究综合题课程标准指出，在设计、安排和组织教学过程的每一环节都应当有意识地体现探索的内容和方法，让学生有自主探索、合作交流、积极思考和操作实验等活动的空间和机会，让学生在具有现实背景的活动中去研究、去探索，从而培养学生探索与创新精神，运用数学发现问题、解决问题、交流与处理信息的能力。yOCxOCAOCQAOCCAOCMAOCBAOCOAOCEAOCPAOC综合题类型包括：1结论探究题：在一定条件下，考查、探究、证明不同结论。2条件探究题：探究、选择某个条件来证明要求结论。解题步骤：1排除错误结论方法：动态排除 极限排除 转化后排除2证明求解正确结论方法：相似全等三角函数【例24】已知直线yx12交x轴于B，交y轴于A，以AB为直径作M，C为的中点，设P为线段OA的延长线上的一个动点（异于点A），给出下列两个结论：CQCP的值不变；的值不变。其中有且只有一个结论正确，请判断并求不变值。ECDOBNMAOCAOCMAOCAMAOCRMAOCNMAOCyNMAOCxNMAOCBNMAOCOBNMAOCDOBNMAOCCDOBNMAOCPAOCAC2CQCP【例25】如图A(2,0)，M(2,0)，P为y轴C点上方的一个动点，过P作M的切线PR、PE，R、E分别为切点，连结ER并延长交x轴于点N，当P点运动时，现给出两个结论：N点是定点；的值不变。其中只有一个正确，请判断、证明、求解。三、辅助线的作法AOCDMAOCCAOCEAOCBAOC（一）涉及中点的辅助线作法涉及中点，作辅助线可从四个方面思考：倍长中线；三线合一；斜边的中线等于斜边的一半；中位线。【例26】如图（1），ACB中，C=90，D为斜边AB上一点，过D作DEAB交BC于E，连结AE，M为AE的中点，连结MC、MD。求证：MCMD。图(1)ACABAEADAM 将DBE绕点B逆时针旋转一定的角度得到图(2)，试探究MC、MD的数量关系。 将BDE绕点B逆时针旋转一定的角度得到图(3)，试探究MC、MD的数量关系。 将BDE绕点B继续旋转，得到图(4)，MC、MD还相等吗？图(4)图(2)AMAEADACABA 旋转到图(5)的位置呢？（2003年国赛题）ACABAEADAMHAFA12图(5)BADACDAAEAMA图(3)ACABAMDAEA 在此对图（2）进行证明：方法一：倍长中线（相似法）延长DM至F，使MFDMOCOC连结AF、FC、CD易证AMFEMD，得AF DEACABAEADAM12PHAEDBD AHD=90可证1=2ABCEBD AFCBDCACF=BCD FCD=90=ACBMCMD方法二：用斜边的中线（全等法）分别取AB、BE的中点P、Q，连PM、PC、MQ、DQACABAEADAMPHAPHA3211可证PC=AB=MQDQ=BE=PMDQB=CPB由BPMQ知MPB=MQB1=2MPCQDMMC=DM方法三：构造中位线（翻折法）将ABC、EBD沿直线BC、BD翻折或QBC、PBD，连结AP、EQBP=BE ，BA=BQ1=2=3BAPBQEAP=QE 由中位线知：CM=QE，MD=APMC=DM图（3）图（4）图（5）可仿图（2）进行证明，证法基本类似，略有不同。【例27】已知等腰ABC和等腰DCE，AB=AC，DC=DE，ACB=DCE，P、M、N分别为AD、BC、CE的中点，连结PM、PN。图(4)ABAPADAMANAEACAABAMANADAEAPpACAPAABAMACANADAEACAMAEADAANAEAP图(1)图(2)图(3)（1）如图，B、C、D依次在同一条直线上，ACB=45，则MPN=_； 如图，B、C、D依次在同一条直线上，ACB=60，则MPN=_； 如图，B