高等数学考研训练题典型例解专题个案分析.pdf

J o u r n a l o f Ma t h e ma t i c a l M e d i c i n e Vo 1 2 2 No 4 2 0 0 9 文章编号 1 0 0 4 4 3 3 7 2 0 0 9 0 4 0 4 9 0 0 4 中图分 类号 G6 4 2 4 6 文献标识码 A 教 学研 究 高等数学考研训练题典型例解专题个案分析 李 荣 江 西南大学数学与统计学院重庆 4 0 0 7 1 5 摘要 基于文献 1 中发现的某些 不应忽视 的问题 给予 了专题个案分析 并 提出了相应 的完善之法 关键词 分析 变换 通解 特解 1引言 近来 一些立志考 研 的学生 常来询 问一 些高 等数 学考研 培训教材中的某些训练题的求解等诸多问题 其时顺便 随手 翻阅了一下他们手中所持有的文献E 1 3 发现其中常微方程部 分有一些不应忽视 的问题 如 把求 解或解 微分 方程 与求微 方 程的通解混同 判断微分方程的类型重视 明确不够 明明已 是可求解方程类型并且已有求解公式可资利用时而不用 求 解方法粗糙致使产生漏解 任意常数不确定取值范围 求解方 法不够简明 甚至有时还有失误等等 由于现在立志考研 的 学生为数不少 所涉及 的地域 范 围亦不小 所 以由此而产 生的 影响自然不可小视 有必要给予指 出 提出完善之法 以便引 起重视 不使这些不应忽视的问题成为影响我们学习学好高 等数学的一个因素 2 典型个 案分析 个案 1 题设条 件中隐含的条件注意重视得不够 致使求 得 的一 阶微分方程解 的个数有所 减少 文献E 1 P 1 6 O E 例 6 9 设函数 厂 在 O c 上连续 且 O O 已知它在 O z 上的平均值等于 厂 O 与 厂 z 的几 何平均值 求 z 文 献 1 解 法 由 题意 得 I f 出 一 而 令 一 有r 厂 出 一 z 0 两边求导 得 一n厕 n 即 喜 厂 z 一 z 号 令 一 z 专 得 意 一 i 1 一 一 可 求 得 c x l 即 1f x c x I 一 f l u 即 一 丽 c 0 个案分析 收稿 日期 2 0 0 9 0 2 1 9 49 0 首先 这是一个求解一阶微分方程的问题 而不是一个求 解一阶微方程的初值 问题 这是因为对题设条件得出的积分 1 f 方 程 I f 出 一 而两 边取x 0 q 0 时的 极限 0 0 一厂 O 无法确定唯一初值或任意常数 C 求解的关键是 把由题设条件得出的积分方程化为一阶微分方程 尔后再考 虑用适当的方法求其解 一般言之 求解一个给定的微方方 程 组 首要的是判断其类型 若是已可求解的方程类型 其 时特别注意千万不 要忘记 交换 自变量 未 知 函数 的地 位后再 给予判断 则按其相应解法或充分利用其求解公式直接求解 之 否则 则注意观察分析所给方程的特点 作适当的变量变 换或 同解变形化为 已可求解 的方程类型求解 其次 文献 1 所给解法由于对题设条件所隐含的条件 在 O o o 上恒有 厂 z O 在 0 上可导 注意重视得不够 因而致使 任意 常数 c的取值 范 围确 定得 不 对 造成所求解 z 的个数有所减少 其完善方法应当是下 述解法 解 由已知 厂 z 在 O z 上的平均值等于 厂 O 与 z 的几何平均值 得 1 f z l f d o 厂 z z o A 山 o 又由 l厂 z 在 O 上连续且 O O及方程 A 的 右端知 在 O c x 上恒有 厂 O 同时由方程 A 的左端 在 O c x 上可导知其右端在 O c 上亦 可导 从 而 f x 在 O o o 上可导 方 法 1 方程 A 可 同解变形为 f z I厂 d t 厂 0 厂 z x 0 B 0 并且对方程 B 两端关于 求导 得 一厕 即 f x 一 号 z o c 这是 一昔 的贝努利方程 其通解为 数理 医药学杂 志 2 0 0 9 年 第 2 2卷 第 4期 汀吉 e i 1 1 一 号 m 出 f 一 出 E 一 去 j 出 c 一 I 一 轰 f 出 c 一 一1 c x 厂 O 厂 O 其 中 常数 c由下述方法确定 因在 O o 上恒有 厂 z o 故 厂 z 告 O 从而有 1 J f O c x O 于是 c 是满足 f 一 的任意常数 方 法 2 令 厂 出 一 F 则 z F 一 x 0 于是 方程 A 变为 F f 一 而x O 即 F 一 厂 0 z z o 分 离 变 量 得 筹 一 积 分 得 志一 志 c2 一 即 一 急 o 故厂 z F z 一 干 其中 常数c z 由下 述方法确定 因 当 z o 时 0 故 当 z o 时 F Iz 一I f t d t 0 从 而有 l f O c z x o即 一 7 于是 是满足 c 2 一 7 南 的 任 意 常 数 由方法 1 方法 2可知 文献 1 所 给解法 中所求 出的 z 所含有的任意常数 c 并非是只取非负实数 最后 将本研究所给两种解法与文献 1 所给解法相比较 即知 以本研究 的解法 2为好 因为解法 2仅用 一变 量交 换 即将积分方程化为了一个可分离变量方程 且其求解甚易 而 本研究的解法 1与文献 1 所给解法类似 但本研究解法 1由 于重视求解方程类型的判断而直接运用其已有的求解公式求 解而使其求解较易 同时还注意了任意常数 C z 的取值范围的 确定 个案 2 求解方法粗造 不严密而导致漏解 文献 1 P 1 5 9 例 6 8 解下列方程 3 x y d x 2 x y d y 文 献 1 解 法 原 方 程 一 2 z 一 y Z x 1 一 号 z 一 y 令 一 z 2 则方程 一 4 z 一一2 拿一 一 d z 4 l 艘 一4 1 n y l n c a y Y 令 z c y y 为方程 的解 代入并整理 得 f 一一 2 y c 一 一2 1 c 方程 的解 一 一2 1 c 原方程 的通解 为 z 一 一 2 1 n c 个案分析 首先 求解或解微分方程 就是要求 出微分方程的全部 解 而文献 1 所给解法其实是求微分方程的通解 而且通解 中的任意常 C 也未明确确定其取值范 围 所以文献 1 所给解 法严格说是不合要求的 其次 文献 1 所给解法粗造 不严密 详略不当 已有求 解公式可资利用而不用 却按照求解公式的推导方法绕一大 圈方才求出其通解来 无此必要 细致而较严密的完善方法 是下述解法 首先 若视 Y为未知函数 则 2 z 一j 4 O 若视 z为未知 函数 则 x y O 否则这时原方程 已不是微分方程了 其次 若视 z为未 知 函数 时 则 当 x y 0时 原方程 可等 价 地 变 形 为 煮 一 2 z 一 y 3x 1 这 是 已 有 求 解 公 式 可 资 利 用 的已可求解方程类型一 一一1的贝努利方程 其通解为 一P I I 一 a y E l 一1 y I D 一 詈 d y d y c 一 4 号 k y 4 一2 y d y f y 4 一 2 f 一 Y 2 1 n 1y l c c 2 1 n l y l 常 数 显然 一0亦是原方程 的解 而 x O则不是 于是 原方程 的全部解 为 一 一2 l n l Y J c c 2 1 n l Yl 常数 及 y 0 若平等看待 z Y 则原方程的等价对称形方程为 xy d x 2 x d y O D 显见方程 D 存在与 Y有关的积分因子 一 且 J 旦 一8 d y e 5 吉 一 3 o 1 当 o时 相应的恰当方程为 xy 一 d x 一 一 2 x Y一 d y O 相应 的恰 当函数为 z 一 f z 出 f y l 一 2 y 一 d y 吉 X 2 1n l 1 Y 一 4 一 专 z 2 l n f Y f y 一 于是 原方程的通解为 I n l y l 去 z y 一c 或 一 2 1 n l Y l c c 2 1 n l 常数 2 当 一O时 原方程的左右两端皆为零 故 一0亦是 4 9 J o u r n a l o f M a t h e ma t i c a l Me d i c i n e Vo 1 2 2 No 4 2 009 原方程的解 于是 由 1 2 即知 原方程的全部解为 Lz 一 一2 1 nl yl c y c 2 1 n l y l 常数 及 O 同时容易注意到存在上述同样问题的其实还不止此例 例如 实例 1 P 1 5 7 例 6 4 求解下列微分 方程 3 z k z d O 1 一O 文 献 1 解 法 解 3 原 方 程 一 1 詈 令 y z 一 Y一 z 一 代入原方程 z 一 v 丁 干 初始值 d t l 一 l n x l n c 一 C X代入初始值 1 一O c 一1 故原方程 的解 为 一 X 2 一 1 本 案的完善 之法是下述分解法 解 因 z 0 故原方程可变形 的 一 警 1 考 1 这是一齐次方程 故可令y 2 则 z 一 z 3 2 3 代 入 1 得 z 一 而即 d u 一士v 而 4 分 离 变 量 得 幽 一 积分 得 l n l 一 I nl zl 1 n l C 1 c 0 常 数 即 而一c z z o f o 5 或 干 一 z O c 常数 亦即 一 i C 1 1 常数 也就是 一 r 即 1 一 c 常数 数理 医药学杂志 2 0 0 9 年 第 2 2卷 第 4 期 积 分 得詈 而 一 cz c 专 常 数 个案 3 求解方法可简化而实际未简化 如文献 1 P 1 5 4 求解下列方程 3 2 P x 2 y Z 2 z 文献 1 解法 令 z 则 2 x 2 y y 一 原 方 程 2 z e 詈 詈一 2 x u 一 詈 e 詈 令 一 而 U X V 0 4 X V 代入 口 z 一 8 一 一 出 一 一 l 眦 c 一 P 一 l 眦 c 本案的改进解法 因原方程含有未知函数 Y的正弦 余弦函数 故由此启示 我们考虑用求三角函数有理式的不定积分时已使用过的作三 角万能代换 t g 一 将这里微分方程化为 为未知函数的 等 价 方 程 去 求 解 如 此 若 令t g 号 则s i n y 而 2 u c s 一 三 五d u 代 入 原 方 程 得 1塞 1 1 U d c一 十 出 山 山 u 山 这是关于新未知函数为 的一阶非齐次线性方程 它与 原方程同解 且其通解为 P 一 x e i d z c e 一 一 矿 k c P 一 x 1 矿 c 一c e 一 1 x c为任意常数 故原方程的通解为 t g c e l c c 为任意常数 再如 文献 1 P 1 6 8 例6 1 6 解下列微分方程 1 一 s i n 其中文献 1 用算子法求此方程特解的解法如下 非 齐 次方程 的特解 为 一 l s in z 一 s in z 1 D一 1 一一丽s 1 n z E 二 s m z z 1 c o s x s i n x 本 研究 改为采用下述法是否应该更好些 呢 原方程的一特解为 z 一 s in 1m l m 一l m卜 雨 1 l m 一 c o s z s i n 1 c s s i n 5 2 y 2 y x e X c o s x 其中 文献 1 用算子法求此 方程的一特解的解法如下 非齐次方程 的特解为 1 y j 矿c s z D I Z 2 D I 2 z z 1 矿 两 戏o S z c s z是e x 的实部 先求 z再取实部 即得 1 DZ l z 本研究改为采用 下述 法是否应该更好些 呢 原 方程的特解为 Y z 1 X e Z c o s Re 1 e 1 恤 Re 1 丽 1 志 R e 一 号 1 一 击 D z 一 R e 一 号 面1 z R 一 薹 面 1 1 z 2 一 1 Re e c s x i s i n lz 一 i z z 十 1 z c o s x xs i n