图形_数列问题_高一_高二_高三_.pdf

数理天地 高 中版 高考数学高分之路 2005 年第 6 期 高考数学高分之路 图形 数列问题 高一 高二 三 骆 永明 浙江省绍兴市稽山中学 31 2 0 本文对图形和数列的综合问题作了分类解析 1 数列 解析几何 此类 题型常以解析 几何 中的常见 图形 为依 托 借助于定比分 点坐标 公 式 直 线与 曲线 等 知 识 来求解 数列 的递 推关 系和等差 等比数列等 基础知识 考查知识的综合运用和解决问题的创 新能力 例1如图 1 6 C的三个顶点坐标分别 所以 l 一五 一 4 3 因为 y n 4 b n l 一 y4 十8 一 y如 4 一 f 一卫二竺土主 一 1一 丛 一 4 一 4 一 牛 y 4 n 4 仕 一 y4 一 生瓦 4 1 b 一 y 一y 一 万护 U 六 与一图 r P l zL 为 0 0 1 0 0 2 设 PI 为线 段刀C的中点 尸2 为线段 I 的中 点 尸3 为线段OP I 的中点 对于每 一个正整数 n 尸n 3 为线段 尸 尸n 1 的中点 令尸 的坐标为 x y 所以 二 1 一 生b n 全足公比为一丁的寺比致列 任 1 a 二y 十y 1 白 y叶2 2 数列 函数图象 此类题型主要借助于常见 的函数 一次 函数 二次函数 暴函数 指 数函数 对数函数 图象 为背景 考查了数列的通项 数列 的求和以及不等式等基 础知识 有助于提高学生的运算能力和创新能力 1 求 al aZ a3 及 a 2 证明 y 4 3 若记b b 是等比数列 解 l 因为 一 一 专 n o N y4 n 4 一 y4 n 任N 书 证明 0 4 年浙江高考 yl 二 yZ y4 一1 l3 万 y 5 一 万 图2 所以 又由题意可知 y3 a l 例2设 a 0 如图2 已知直线l y一 a x 及曲线C y 一 xZ C上的 点Q I 的横坐 标 为 a 一 0 a一 a 从C上 的点Q n l 作直线平行 于 x 轴 交直线l于 点尸 l 再从点 尸n 1 作直线平行于 y 轴 交曲线C于点 Qn 1 Q n y 十yn 1 y 3 一 一一一气于一一一 乙 所以 a n l l 一 万为 1 一1 2 3 的横坐标 构成数列 a 1 试求 a n l 与 a 的 关系 并 求 a 的通项 公式 yn 2 y n 3 2 当 a 1 蕊 冬时 证明 乙 一 粤 n l y n 2 乙 y y n l 一1一 一 只 乙 l 一 于y n 十 乙 yn l y n 2 a 艺 3 当 a 一 2 鑫 一1时 证明 因此 a 为常数列 0 3 年江苏高考 1 一 3 V 艺 目 解 a 刀 al 即 2 n 任N 开 2 将等式粤y n 2 乙 一2两边除以2 a 一 a走 一 a 2 l 因为 Q a a 三 尸 n 1 告 三 a 三 1 代 产y n 十 任 为 1 y n 2 2 Q n 1 告 三 劣 a 之 夕 n 一 夕 2 y n 4 一 2 所以 a 一 生 三 2005 年第 6期 高考数学高分之路 数理天地 高中版 1 a 乏 一1 11 口n 告 告 且 A 二A二 z 1 丁一气户 气犷 八 一1 八 L陀 乙 2 3 2 n 2 告 l l 222 a 一2 点 B I B Z 上 OB I B 依次在 射线 y 一 x x 0 江 酚 31 3j 二二二 1 告 l 2 2r2 且 B n一IB 2 万 a a 荃 r 1 户 a l 一 a a 工 2一 一 一 n一2 3 1 用 n 表示OA OB 一 al Zr z 由 a 1 知 a 1 a 三 2 设向量A o B 所在直 线的抖 率为k 求hm k 0 4 年绍兴县质量调刚题 又 1 al毛咒犷 乙 解 A IAZ 4 i 所以 一 1 aZ 乓丁 3 因为当 k 1 时 a k 2 壳 壳 A 二A 1 1 二 一一二介 下 八 1 八 乙 1万一万卜 甲一下 八1八2 乙 邢一i 1 一 乏 二百 所以 6叭 一i 41 一 J卜 目 卜 6叭 1 A lAZ 十A n 一IA 所以 习 a 厂 a 2 乏二l 1 右 乓 几下夕 又ak 一 ak l 10 二 二 同理 OB 一 一月一曰卜 1 十 只二 二二了 i 乙 补 9一2 4一 i OB I B 1 B Z B 一IB 1 1 一 下 下又al 一 a n 1 不 下 1 00 一 Zn 1 i Zn l j 3 由 1 知 当 a 1 时 a 一 荃 一 2 由 1 知 A 二 9一2 4一n 0 因此习 a 一 a a 2 所以 limk 二 lim B Zn 1 Zn l Zn 1 一1 门 日 Oe Zn l一 9一24一 n 介 1 一 习 a荃 卜 一 荃 a 圣 斌 镇 习 a气一 a 壮 荃 2 一 l一 a a 荃习 a 贾 4 数列 平面几何 此类题型主要以正三角形 正方形等图形为 背景 考 查了数列与 极限等知识 提 高学生观察 思维 能力和运算 能力以及分析问题和解决问题 的能力 例4如图4 尸1是正 A刀C的边AB 上的 C A入灸 一 l 了 2 诀 乙 图 阮 术 J 少山 Q l 1 切 l JJQ B 1一 a l a 荃 a 全 1 al a a 矛 1一 a 矛 1 二丁 J 3 数列 平面向量 此类题型融 数列于向量之中 重点考查等差 数列和等比数列 的基础知识 数列求和 数列极 限等知识 有 助于培养学生提高综 合运用数学知 识分 析问题和解 决问题的能力 例3如图3 已知i j 分别是x轴 y 轴方 向 的单位向量 点 A l A A 依次在 x 轴 上 6叭 1 一i 叭 2 一5 i 2 一 点 B尸1笋 于AB 一 了 3 一 从P l向及二作垂线 垂足为Q l 从Q l 向边 沁作 垂 线 垂足为 R I 从R l 向边AB作垂 线 垂足 为P 2 然后再由尸2开始重复上 述作法 依次得Q Z R Z P3 Q3 R 3 P4 1 观察点歹 Pl PZ P3 向哪一个定点PO 尸 它们趋 2 若 八刀C的边长 为1 B尸1 1 二丁 贝场当n j l5 数理天地 高 中版 高考数学高分之路 20 05年第6期 为何值时 解 P o P 0 0 01 参考数据 1 9 3 l 设正 八刀C x 则BQ 一 刀尸 所以 均 二 同样 CR 刀 二 c o s60 0 47 71 1 92 0 3010 的边 长 为 a B尸 二 l 一万x l 一 a 一万x c o s60 生 一生 二 2 一 2 一 例5如图5 有一列曲线尸 Pl 尸 已 知 尸 所围成的图 形是面积 为1的等边三角形 尸k 1 是对 尸k 进行如下操作得到 将尸k的每条边 三等分 以每边中间部分的线段为边 向外 作 等 边三角形 再 将中间部分的线段去掉 k 二0 1 2 记S 二 为曲线尸 所围成图形 的面积 1 求数列 S 的通项公式 2 求lim s 02年全国高中数学联赛 八尺 一 一生 一生 2 一 2 一 1 1 不 a 十 厂X 乙任 所以八尸 1 一 八尺 c o 6 0 l 1 1 一 下 l 一言 a 十 了 x 乙 乙任 刀尸 l 1 1 1 一 a 一于l于a 于x 一 2 2一 4 31 x 计 一 万 a 一百x 李拳 万 a 一百x 2 x 计 一万a 1 一一百 工 2 一了 夕 所以当x l 2 护 二了a 盯 叹x n J 2 一一 一 二犷a 少足自狈刀 J 2 1 J 一 二犷a厂对 比刀一 二 了 阴寺比效夕U O O 即 x 二 2 二犷a 十 j 2 x l 一了a f 生 一 8 图 5 解 l 对尸 进 行操作 容易看出尸 的每 条 边变成 尸1 的 4条边 故 尸1 的边 数为 3x4一 1 2 同样 对尸1进行操 作 尸1 的每条边变成 尸 的 4 条边 故 尸 的边数为 3x42 不难 得到尸 的边数 为3 又4 n 已知尸 的面积S 一1 比较尸1与尸 容 易看出 尸 在 尸 的每条边上增 故h a 即点尸 趋向于定点尸 P 在 八刀上 且 刀尸 2 了a 加一个小等边三角形 其面积为兴 O 尸 有3 条边 而故 a 2 一 3 一 X 2 尸 尸 1 1 万1 一 万O 十 3X 二二 1 十下 j J 2 x 1 一了a 再比较尸 与尸1 可知 尸 在尸l的每条边上增加 生 r生 一 3 8 合 一 音 一 1 了一 个小等边三角形 一 1 1 共回积刀 只万 X 只 万 j O P I 有 3X4条边 一一 1 一 矛 5 2 5 1 3X4X 1 4 1十气丁 十 只 jj 而故 l 一 3 由尸 尸 半准 撰类 似地有 1 一3 1 93 一31 92 n 4 久 3 7 9 s 一5 2 3x