高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学).pdf

第六章第六章 定积分及应用定积分及应用 经济数学经济数学 微积分微积分 定积分的几何应用 中央财经大学 一 微分元素法一 微分元素法 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 当把非均匀变化的问题实际中在物理 几何以及工程 则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时 分问题来处理常可将问题归结为定积 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A 取极限 求和 近似 分划 局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 替 变 在局部上以 不变 代关系部上近似于不变的辩证 采用按照定积分的概念 1 11 iii n i ii n i i xxxfAA 便有关系式 个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见ii d 1 且取称之为典型小区间表示为小区间xxxxx ii 则有为区间的左端点x i d xxfA d 记为或积分元素的微分元素为量通常称Axxf d dxxfA 0d 相当于取极限过程对区间的可加性由量 xA d 0 上 无限累加 起来在区间将微分元素baAx 上的值 在区间就得到量即作定积分baA d d b a b a xxfAA 加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之 具有可加性要求所计算的量在应用微分元素法时A 注意注意 个子区间上部总等于它在该区间的各量上即在区间Aba 的和分量A 的步骤如下求量A d 1 xxxba 中任取一小区间在区间 2 记为近似值在小区间上的部分量的求出AA d d d xxfAxxfA 微分元素为 3 上的值在区间计算定积分求出量baA d d b a b a xxfAA 一 一 平面图形的面积平面图形的面积 1 1 1 1直角坐标系中平面图形的面积 xfy xgy ax bx 积所围成的平面图形的面 及求由连续曲线bxaxxgyxfy Ox y ab 为面积元素则微分元素任取baxxx xxx Ad xxgxfAd d 所求面积为于是 b a xxgxfA d Ox y xfy xgy ax bx ab 积的计算公式为所围成的平面图形的面 bxaxxgyxfy 及求由连续曲线 d baxxgxfA b a dycyyxyx 及求由连续曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面 d dcyyyA d c 类似地 x y o d c yx yx S 例1 解解 2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy Ox y 2 xy 2 yx 2 1 A B 1 求积分区间 联立方程组 2 xy 2 yx 1 1 4 2 BA 求得交点 d 2 d 2 2 xxxA 微分元素 3 计算面积 2 1 4 32 2 d 2 1 2 32 1 2 2 xx xxxxA 1 2 x积分区间 例1 解解 2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy Ox y 2 xy 2 yx 2 1 A B 1 求积分区间 联立方程组 2 xy 2 yx 1 1 4 2 BA 求得交点 d 2 d 2 2 xxxA 微分元素 3 计算面积 2 1 4 32 2 d 2 1 2 32 1 2 2 xx xxxxA 例1 解解 2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy Ox y 2 xy 2 yx 2 1 A B 1 求积分区间 联立方程组 2 xy 2 yx 1 1 4 2 BA 求得交点 d 2 d 2 2 xxxA 微分元素 3 计算面积 2 1 4 32 2 d 2 1 2 32 1 2 2 xx xxxxA 有何想法 例2 解解 2 2 所围平面图形的面积直线求曲线xyxyxy Ox yxy2 xy 2 xy 1 求积分区间 2 微分元素 3 计算面积 联立方程组 2 xy xy 2 xy 2xy xy 2xy 0 0 4 2 1 1 OBA求得交点为 A B 12 2 0 2 1 1 0 积分区间为 dd 2 d 1 0 xxxxxA 中在 d 2 d 2 1 2 xxxA 中在 6 7 d 2 d 2 2 1 2 1 0 xxxxxxA 2 2 2 2参数方程形式下平面图形的面积 出如果曲线由参数方程给 ttytx 处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面 件满足定积分换元法的条和此时要求函数tt 例 解解 积所围成的平面图形的面 20 sin cos 33 ttaytax求星形线 Ox y a 2 2 3 只需求出由对称性 1 然第一象限中的面积A 4 即可后乘以 1 积分区间 0 2 0 tax时 2 微分元素 dcossin3 cosd sind d 24233 1 tttatataxyA 3 所求面积 0 2 242 0 1 d cossin3 4d 44 tttaxyAA a 8 3 dsin sin1 12 2 2 0 422 attta t 3 3 3 3极坐标系中平面图形的面积 O x d rrr及射线求由曲线 所围成的平面图 r 为积分变量取形的面积时 剩下的问则积分区间为 积分值题是求微分元素和计算 rr d 在该小区间上任取一个小区间 d 的圆扇形的面积近中心角为可以用半径为 rr 面积元素为从而形的面积似代替其上的窄曲边扇 d 2 1 d 2 微分元素 rA xbax 得到如图所示的轴的平面分别作垂直于和点过点xxxx 可以用很小时当和其半径分别为两个圆xxxfxf 似旋转为高的圆柱体的体积近以为半径的圆为底以xxf 22 xxfxyVxxx 上的体积体在 积分区间 微分元素 Ox y 1 1 1 1 A B a b xfy xxx 在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕x 体积 axABba 与直线上的一段弧 bax 积分区间 微分元素 dd 2 xyV d d 2 xxfV 计算体积 d b a VV d 2 b a xy 2 2 2 2 上的一段弧在区间计算连续曲线dcyx 转体的体积轴旋转一周所产生的旋绕x 轴所围成的平面图形以及与直线ydycyAB 类似于上面的作法可得 dcy 积分区间 微分元素 dd 2 yxV d d 2 yyV 计算体积 d b a VV d 2 b a xy 例 解解 1 2 2 2 2 轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆yx b y a x 旋转体的体积 O x y a a b b 1 只需用上半椭圆轴旋转绕x aax 积分区间 微分元素 dd 2 xyV 3 4 d d 2 22 2 2 abxxa a b VV a a a a d 22 2 2 xxa a b 计算体积 2 只需用右半椭圆轴旋转绕y aax 积分区间 微分元素 dd 2 yxV 3 4 d d 2 22 2 2 bayyb b a VV b b b b d 22 2 2 yyb b a 计算体积 O x y a a b b O x y 2 2xy xy 1 1 M x 例 解解 2 2 轴所以及与抛物线求圆弧yxyxy 轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕yx 转体的体积 1 轴旋转绕x 积分区间 微分元素 d 2 dd 2222 xxxxyV 6 7 d 2 d 2 1 0 a a xxxVV 计算体积 之差可视为两个旋转体体积 xy 2 2xy 1 1 M交点 1 0 x 圆环的面积 O x y 2 2xy xy 1 1 M 2 轴旋转绕y 积分区间 微分元素 dd dd 4222 1 yyyyyxV d d 2 1 2 1 0 121 VVVVV 计算体积 2 1 1 0 y 1 0 上在区间 d 2 dd 22 2 yyyxV 2 1 上在区间 15 22220 d 2 d 2 1 2 1 0 4 yyyy 有其它的计算方法吗 O x y 2 2xy xy 1 M 2 轴旋转绕y 0 1 0 xx如图所示 x xx 小矩形生成轴旋转时平面图形绕y 故微分的空心圆柱体一个壁厚为x 元素为 d 2 2d 2 xxxxV 周长 高 厚 15 22220 d 2 2d 1 0 2 1 0 xxxxVV 于是 例 解解 2 0 cos1 sin ttayttax的第一拱求摆线 转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕x Ox y a 2 a 式这是曲线的参数方程形 法处理我们可以按照积分换元 d 2 b a xyV 由 cos1 sin 且则令tayttax 20 ax 20 t d 2 0 2 a xyV 故 d cos1 cos1 2 0 22 ttata 5d cos1 3 2 0 33 atta 展开 回想一下旋转体体积计算公式 的创建过程 Ox y A B a b xfy x 在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕x 体积 axABba 与直线上的一段弧 bax 积分区间 微分元素 dd 2 xyV 计算体积 d b a VV 2 xSy 轴的截平面上的面积垂直于x d b a VV d b a xxS 有何想法 三 平行截面面积为已知的几何体的体积三 平行截面面积为已知的几何体的体积 xSxA轴的平面所截得的面积被垂直于设几何体 O x y a b x xS 上的体积为位于区间则几何体若baAbaCxS d b a xxSV 微分元素 d xxS 例 解解 的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底 的正劈锥的体积高为h O x y h x a a y h y y 2 2 1 22 xahhy