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1 概率论与数理统计试卷概率论与数理统计试卷 一 10 分 对一个三人学习小组考虑生日问题 1 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率 2 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率 3 求三个人的生日不都在星期天的概率 二 10 分 在八个数字中 0 1 2 7 中不重复地任取四 个 能排成一个四位偶数的概率是多少 三 10 分 袋中装有 30 个乒乓球 其中 20 个黄的 10 个白的 现有两人依次随机地从袋中各取一次 取后不放回 试求第二次取得黄球的概率 四 10 分 设盒中有 5 个球 其中 2 个白球 3 个红球 现从中随机取 3 球 设X X X X为抽得白球数 试求X X X X的数学期望 与方差 五 12 分 设随机变量X服从参数为 3 的指数分布 即其概率密度函数为 00 03 3 x xe xf x X 试求 2 2XY 的概率密度函数与数学期望 六 12 分 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容 器内 调节器整定在C 90 液体的温度 X 以C 记 是一个 随机变量 服从正态分布 其方差为 2 6 0 试求液体的温度保 持在C 91 89的概率 七 12 分 设随机变量 X 与 Y 具有概率密度 2 其它0 20 20 8 1 yxyx yxf 试求 YDXD 与 32 YXD 八 12 分 试求正态总体 5 0 2 N的容量分别为 10 15 的两独立样本均值差的绝对值大于 0 4 的概率 九 12 分 已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布 在 一批该种灯泡中随机地抽取 10 只测得其寿命值 以小时记 为 999 17993 051001 841005 36 1000 891003 741000 231001 26 试求未知参数 2 及 的置信度为 0 95 的置信区间 262 2 9 025 0 t 023 19 9 2 025 0 7 2 9 2 975 0 试卷参考解答试卷参考解答 一 10 分 对一个三人学习小组考虑生日问题 1 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率 2 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率 3 求三个人的生日不都在星期天的概率 解 解 1 0525 0 343 18 3 7 6 7 1 7 1 1 p 2 9446 0 343 324 3 7 6 7 6 7 1 7 6 7 6 7 6 2 p 3 9971 0 343 342 7 1 7 1 7 1 1 3 p 二 10 分 在八个数字中 0 1 2 7 中不重复地任取 四个 能排成一个四位偶数的概率是多少 解 解 4464 0 5678 5663567 p 三 10 分 袋中装有 30 个乒乓球 其中 20 个黄的 10 3 个白的 现有两人依次随机地从袋中各取一次 取后不放回 试求第二次取得黄球的概率 解 解 设 i A 第i次取得黄球 2 1 i 3 2 30 20 29 20 30 10 29 19 30 20 1211212 AAPAPAAPAPAP 四 10 分 设盒中有 5 个球 其中 2 个白球 3 个红球 现从中随机取 3 球 设X X X X为抽得白球数 试求X X X X的数学期望与 方差 解 解 1 0 10 1 0 3 5 3 3 C C XP 6 0 10 6 1 3 5 2 3 1 2 C CC XP 3 0 10 3 2 3 5 1 3 2 2 C CC XP X012 pk0 10 60 3 2 13 026 011 00 XE 8 13 026 011 00 2222 XE 36 0 2 1 8 1 222 XEXEXD 五 12 分 设随机变量X服从参数为 3 的指数分布 即其概率密度函数为 00 03 3 x xe xf x X 试求 2 2XY 的概率密度函数与数学期望 解解 2 2xy 04 xy 0 x 2 yx y x 22 1 0 y 00 0 22 3 2 3 y ye y yhyhf yf y X Y dxxeexdxexXEYE xxx 0 3 0 32 0 322 4 232 2 9 4 9 4 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 xxx edxexe 另解 因为 2 3 1 3 1 3 XDXEZX 2 2 2 222 XEXDXEXEYE 4 9 4 3 1 9 1 2 2 六 12 分 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容 器内 调节器整定在C 90 液体的温度 X 以C 记 是一个随 机变量 服从正态分布 其方差为 2 6 0 试求液体的温度保持 在C 91 89的概率 解 解 6667 1 6667 1 6 0 9089 6 0 9091 9189 XP 9044 019522 0216667 12 七 12 分 设随机变量 X 与 Y 具有概率密度 其它0 20 20 8 1 yxyx yxf 试求 YDXD 与 32 YXD 解 解 20 1 4 1 2 2 1 2 8 1 8 1 2 2 0 xxxdyyxxfX 20 1 4 1 22 2 1 8 1 8 1 2 2 0 YXPYXP 5 05 0 975 0 1 2 9596 1 1 2 九 12 分 已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布 在 一批该种灯泡中随机地抽取 10 只测得其寿命值 以小时记 为 999 17993 051001 841005 36 1000 891003 741000 231001 26 试求未知参数 2 及 的置信度为 0 95 的置信区间 262 2 9 025 0 t 023 19 9 2 025 0 7 2 9 2 975 0 解解 1 未知参数 的置信度为 0 95 的置信区间为 0 025 4 848 1 999 8532 262999 8533 4678 10 s xtn n 996 3852 1003 321 2 未知参数 2 的置信度为 0 95 的置信区间 22 22 0 0250 975 1 1 211 5268