江西省南昌三中高三数学上学期第二次月考试卷 理（含解析）.doc

江西省南昌三中2015届高三上学期第二 次月考数学试卷（理科）一.选择题1（5分）已知集合m=x|y=，n=x|y=log2（2x），则r（mn）（）a1，2）b（，1）2，+）c0，1d（，0）2，+）2（5分）若a=3sin60，b=log3cos60，c=log3tan60，则（）aabcbacbccbadbac3（5分）若函数y=f（x）的定义域是0，2，则函数的定义域是（）a0，1b0，1）c0，1）（1，4d（0，1）4（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）ax+y=2bx+y2cx2+y22dxy15（5分）设函数f（x）=3sin（2x+）+1，将y=f（x）的图象向右平移（0）个单位，使得到的图象关于y轴对称，则的最小值为（）abcd6（5分）若，均为单位向量，且=0，则|+|的最小值为（）ab1c+1d7（5分）已知（0，），满足coscos2cos4=的共有（）个a1b2c3d48（5分）设实数x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，则+的最小值为（）a4b8c9d69（5分）如图，直角梯形abcd中，a=90，b=45，底边ab=5，高ad=3，点e由b沿折线bcd向点d移动，emab于m，enad于n，设bm=x，矩形amen的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）abcd10（5分）设函数（ar，e为自然对数的底数）若存在b0，1使f（f（b）=b成立，则a的取值范围是（）a1，eb1，1+ece，1+ed0，1二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）如果f（x）=ex，则f（0）=12（5分）点p（x，y）在直线x+y2=0上，则3x+3y的最小值为13（5分）如果函数f（x）=cos（kx）在0，1上至少取得最小值1008次，则正数k的最小值是14（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，br）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为15（5分）函数f（x）的定义域为d，若对于任意x1，x2d，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在d上为不增函数设函数f（x）为定义在0，2上的不增函数，且满足以下三个条件：f（0）=2；f（2x）+f（x）=2，x0，2； 当x0，时，f（x）22x恒成立则f（）+f（）=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16（12分）记函数f（x）=的定义域为a，g（x）=lg（1x）（x+1）的定义域为b，求集合a、b、ab17（12分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且（2a+c）cosb=bcosc（）求角b的大小；（）若b=2，a+c=4，求abc的面积18（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=x4，f5（x）=xcosx，f6（x）=xsinx（）从中任意拿取2张卡片，其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望19（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥pabcd中，abc=60，pa=ac=a，pb=pd=，点e在pd上，且pe：ed=2：1（）证明pa平面abcd；（）求以ac为棱，eac与dac为面的二面角的大小；（）在棱pc上是否存在一点f，使bf平面aec？证明你的结论20（13分）设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xr（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值21（14分）已知函数（a为实常数）（）当a=1时，求函数g（x）=f（x）2x的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（）已知nn*且n3，求证：江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题1（5分）已知集合m=x|y=，n=x|y=log2（2x），则r（mn）（）a1，2）b（，1）2，+）c0，1d（，0）2，+）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出集合m，n，根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：m=x|y=x|x0，n=x|y=log2（2x）=x|2x0=x|x2，则mn=x|0x2，则r（mn）=x|x2或x0，故选：d点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础2（5分）若a=3sin60，b=log3cos60，c=log3tan60，则（）aabcbacbccbadbac考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出解答：解：a=3sin601，b=log3cos600，c=log3tan60=，acb故选：b点评：本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题3（5分）若函数y=f（x）的定义域是0，2，则函数的定义域是（）a0，1b0，1）c0，1）（1，4d（0，1）考点：函数的定义域及其求法 分析：根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：02x2，又分式中分母不能是0，即：x10，解出x的取值范围，得到答案解答：解：因为f（x）的定义域为0，2，所以对g（x），02x2且x1，故x0，1），故选b点评：本题考查求复合函数的定义域问题4（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）ax+y=2bx+y2cx2+y22dxy1考点：充要条件 分析：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件解答：解：若时有x+y2但反之不成立，例如当x=3，y=10满足x+y2当不满足所以是x+y2的充分不必要条件所以x+y2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件故选b点评：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例5（5分）设函数f（x）=3sin（2x+）+1，将y=f（x）的图象向右平移（0）个单位，使得到的图象关于y轴对称，则的最小值为（）abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由已知中函数f（x）=3sin（2x+）+1的图象向右平移（0）个单位得到的图象关于y轴对称，可得当x=0时，函数f（x）=3sin（2x+2）+1取最值，求出的表达式后，结合0，可得满足条件的的最小值解答：解：将函数f（x）=3sin（2x+）+1的图象向右平移（0）个单位后函数图象对称的解析式为f（x）=3sin（2x+2）+1若平移后得到的图象关于y轴对称，则x=0时，函数取最值则2=+k，kz则=k，0，kz，当k=1时，的最小值为故选：b点评：本题考查的知识点是函数y=asin（x+）的图象变换，正弦函数的对称性，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键6（5分）若，均为单位向量，且=0，则|+|的最小值为（）ab1c+1d考点：平面向量数量积的性质及其运算律 专题：计算题；平面向量及应用分析：易求，表示出，由表达式可判断与同向时|+|2最小，最小值可求，再开方可得答案解答：解：因为=0，所以=+2=2，则=，所以=+22（）=32（），则当与同向时，（）最大，|+|2最小，此时，（）=，所以32，故|+|1，即|+|的最小值为1，故选a点评：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力7（5分）已知（0，），满足coscos2cos4=的共有（）个a1b2c3d4考点：二倍角的正弦；函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：与条件利用二倍角的正弦公式可得sin8=sin，从而得到8=2k+，或8=2k+，kz，由此结合的范围，求得的值解答：解：（0，），满足coscos2cos4=，8sincoscos2cos4=1，sin8=sin，8=2k+，或8=2k+，kz=，或=，或=，共计3个，故选：c点评：本题主要考查二倍角的正弦公式，函数零点的定义，属于基础题8（5分）设实数x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，则+的最小值为（）a4b8c9d6考点：基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出解答：解：由x，y满足线性约束条件，作出可行域联立，解得c（2，1）由可行域可知：当目标函数经过点c时z取得最大值1，2a+b=1（a0，b0），+=（+）（2a+b）=8，当且仅当b=2a=时，取等号，+的最小值为8故选b点评：本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用，确定2a+b=1，正确运用基本不等式是关键9（5分）如图，直角梯形abcd中，a=90，b=45，底边ab=5，高ad=3，点e由b沿折线bcd向点d移动，emab于m，enad于n，设bm=x，矩形amen的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）abcd考点：函数的图象 专题：动点型分析：关键是找出y与x之间的关系，注意当e在bc上运动时，右边是一上三角，当e点在cd上运动时，其右边是一个梯形解答：解：emab，b=45，em=mb=x，am=5x，当e点在bc上动时，即0x3时，y=，当e点在cd上动力时，矩形amen即为矩形amed，此时3x5，y=3（5x），y=图象如图a故答案为：a点评：本题是动点问题，随着e点的运动，所得图形的形状也不同，这里就要求分类讨论考查了函数思想，分类讨论思想属于中档题10（ 5分）设函数（ar，e为自然对数的底数）若存在b0，1使f（f（b）=b成立，则a的取值范围是（）a1，eb1，1+ece，1+ed0，1考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用分析：根据题意，问题转化为“存在b0，1，使f（b）=f1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b0，1由y=f（x）的图象与y=f1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b0，1因此，将方程化简整理得ex=x2x+a，记f（x）=ex，g（x）=x2x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围解答：解：由f（f（b）=b，可得f（b）=f1（b）其中f1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b0，1使f（f（b）=b成立”，转化为“存在b0，1，使f（b）=f1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b0，1，y=f（x）的图象与y=f1（x）的图象关于直线y=x对称，y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b0，1，根据，化简整理得ex=x2x+a记f（x）=ex，g（x）=x2x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得1ae即实数a的取值范围为1，e故选：a点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b0，1使f（f（b）=b成立的情况下，求参数a的取值范围着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）如果f（x）=ex，则f（0）=1考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：利用导数的运算法则即可得出解答：解：f（x）=ex，f（0）=1故答案为：1点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题12（5分）点p（x，y）在直线x+y2=0上，则3x+3y的最小值为6考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出解答：解：点p（x，y）在直线x+y2=0上，x+y=2则3x+3y的=6，当且仅当x=y=1时取等号3x+3y的最小值为6故答案为：6点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题13（5分）如果函数f（x）=cos（kx）在0，1上至少取得最小值1008次，则正数k的最小值是2015考点：余弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：根据余弦函数的图象和性质进行求解即可解答：解：函数的周期t=，若函数f（x）=cos（kx）在0，1上至少取得最小值1008次，则1007t+1，即1，即k2015，故正数k的最小值是2015故答案为：2015点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定函数周期和区间长度之间的关系是解决本题的关键14（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，br）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为3考点：定积分 专题：计算题分析：由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可解答：解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，f（x）=x2（x+a），有，a=3又a0a0，得a=3故答案为：3点评：考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力15（5分）函数f（x）的定义域为d，若对于任意x1，x2d，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在d上为不增函数设函数f（x）为定义在0，2上的不增函数，且满足以下三个条件：f（0）=2；f（2x）+f（x）=2，x0，2； 当x0，时，f（x）22x恒成立则f（）+f（）=2考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据f（x）满足的三个条件即可得到f（1）=1，f（）1，所以根据f（x）是不增函数，便可得到x，1时，f（x）=1，从而可求出解答：解：由条件得，f（1）=1；由条件，f（）1；f（x）是0，2上的不增函数；x时，f（x）=1；f（）=1，f（）=2f（）=1；故答案为：2点评：考查对不增函数的理解以及对其定义的运用，对条件的运用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16（12分）记函数f（x）=的定义域为a，g（x）=lg（1x）（x+1）的定义域为b，求集合a、b、ab考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据函数的解析式，求出集合a、b；（2）由集合a、b，求出ab解答：解：（1）由f（x）=，得到，解得：1x1，即a=x|1x1，由g（x）=lg（1x）（x+1），得到（1x）（x+1）0，解得：即b=x|1x1；（2）a=x|1x1，b=x|1x1，ab=b=x|1x1点评：本题考查了求函数定义域的问题，也考查了集合的基本运算问题，是基础题17（12分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且（2a+c）cosb=bcosc（）求角b的大小；（）若b=2，a+c=4，求abc的面积考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（1）在abc中，由条件利用正弦定理化简可得 cosb=，由此求得 b的值（2）由条件利用余弦定理求得ac=4，可得abc的面积acsinb 的值解答：解：（1）在abc中，根据（2a+c）cosb=bcosc，利用正弦定理可得 2sinacosb+sinccosb=sinbcosc，即 2sinacosb+sin（c+b）=0，即 2sinacosb+sina=0由于sina0，可得 cosb=，b=120（2）若b=2，a+c=4，由余弦定理可得 b2=12=a2+c22accosb=（a+c）22ac+ac=16ac，ac=4，abc的面积为 acsinb=2=点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题18（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=x4，f5（x）=xcosx，f6（x）=xsinx（）从中任意拿取2张卡片，其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由已知得6个函数中有三奇函数和三个偶函数，由此能求出所求概率（2）由已知得=1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出抽取次数的分布列和数学期望解答：解：（1）f1（x）=x，f3（x）=x3，f5（x）=xcosx都是奇函数，f2（x）=x2，f4（x）=x4，f6（x）=xsinx都是偶函数，即6个函数中有三奇函数和三个偶函数，故共有取法，故所求概率（2）由已知得=1、2、3、4，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=，的分布列如下：1234p故e=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一19（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥pabcd中，abc=60，pa=ac=a，pb=pd=，点e在pd上，且pe：ed=2：1（）证明pa平面abcd；（）求以ac为棱，eac与dac为面的二面角的大小；（）在棱pc上是否存在一点f，使bf平面aec？证明你的结论考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题 专题：证明题；综合题；转化思想分析：（i）证明paab，paad，ab、ad是平面abcd内的两条相交直线，即可证明pa平面abcd；（ii）求以ac为棱，作egpa交ad于g，作ghac于h，连接eh，说明ehg即为二面角的平面角，解三角形求eac与dac为面的二面角的大小；（）证法一f是棱pc的中点，连接bm、bd，设bdac=o，利用平面bfm平面aec，证明使bf平面aec证法二建立空间直角坐标系，求出、共面，bf平面aec，所以当f是棱pc的中点时，bf平面aec还可以通过向量表示，和转化得到、是共面向量，bf平面abc，从而bf平面aec解答：解：（）证明因为底面abcd是菱形，abc=60，所以ab=ad=ac=a，在pab中，由pa2+ab2=2a2=pb2知paab同理，paad，所以pa平面abcd（）解：作egpa交ad于g，由pa平面abcd知eg平面abcd作ghac于h，连接eh，则ehac，ehg即为二面角的平面角又pe：ed=2：1，所以从而，=30（）解法一以a为坐标原点，直线ad、ap分别为y轴、z轴，过a点垂直平面pad的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图由题设条件，相关各点的坐标分别为.所以设点f是棱pc上的点，其中01，则=令得即解得即时，亦即，f是pc的中点时，、共面又bf平面aec，所以当f是棱pc的中点时，bf平面aec解法二：当f是棱pc的中点时，bf平面aec，证明如下，证法一：取pe的中点m，连接fm，则fmce由，知e是md的中点连接bm、bd，设bdac=o，则o为bd的中点所以bmoe由、知，平面bfm平面aec又bf平面bfm，所以bf平面aec证法二：因为=所以、共面又bf平面abc，从而bf平面aec点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题20（13分）设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xr（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值考点：函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义 专题：压轴题分析：第一问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值解答：解：（1）当a=0时，函数f（x）=（x）2+|x|+1=f（x）此时，f（x）为偶函数当a0时，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）当xa时，当，则函数f