3.5孤立奇点的分类.pdf

Wuhan University 武汉大学 物理科学与技术学院 Mathematical Methods in Physics 第三章 无穷级数 Infinite Series Wuhan University 3 5单值函数的孤立奇点 一 函数的奇点 的孤立奇点 是则 别无其他奇点外内除若在 zfbz zfbbz 1 孤立奇点 1 1 zz zfge 2 非孤立奇点 z zfge 1 sin 1 的非孤立奇点 为则称 外还有其它的奇点 除内 若在 f z b bzf z bz 1 1 0 zz 0 z Wuhan University 二 孤立奇点的分类 的孤立奇点 则为若zfbz RbzbzCzf k k k 0 1 可去奇点 展开无负幂 若RbzbzCzf k k k zfiibzCzfi bz k k k lim 0 充分小邻域内有界 在bzfiii 注 1 b为可去奇点的充要条件为 2 可去奇点常不作奇点看 e g F z bzzf bzzf bz lim 1 可去奇点 3 5单值函数的孤立奇点 二 孤立奇点的分类 Wuhan University 2 极点 RbzbzCzf mk k k 0 若 展开有有限项负幂 1 1 2 zz zfge 1 注 zf bz lim z z zfge 2 sin 1 为极点的充要条件 b 则称为的极点 当时 称为 的阶极点 1阶极点又称为单极点 bz zf m 0 m Cbz zf 3 5单值函数的孤立奇点 二 孤立奇点的分类 Wuhan University 2 b为m阶极点的充要条件为 0 0 bRbzHz bz z zf CbzCzf m m mk k k 阶零点 为以mbz zf zg 1 1 1 2 zz zfge 为单极点 为二阶极点 以10 zz 0 bRbzHz bz z zf m 附 2 极点 3 5单值函数的孤立奇点 二 孤立奇点的分类 Wuhan University 若 但则称 为函数的级零点 zga 0 1 agagagag m L 0 ag m m 3 5单值函数的孤立奇点 二 孤立奇点的分类 附 解析函数的零点 设函数在解析区域 内一点 的值为 零 即 则称 为解析函数的零 点 zg a a zg 0 ag Wuhan University sin 2 z z zfge 阶极点 的为则 非零的有限值 的奇点 且为若 nzfb zfbz zfbz n bz lim 3 2 极点 3 5单值函数的孤立奇点 二 孤立奇点的分类 Wuhan University sin 2 z z zfge 2 极点 3 5单值函数的孤立奇点 二 孤立奇点的分类 Wuhan University 3 本性奇点 RbzbzCCbzCzf k k k 0 2 1 10 若L 的本性奇点 为则称展开有无限项负幂 zfbz z zz ezfge z 0 2 11 1 2 1 本性奇点 0z 注意 b为本性极点的充要条件为 不定 zf bz lim 0 0 0 0 0 lim 1 0 y x y x ege z z RbzbzCzf k k k zfRzR 0 处解析在 z 别无奇点 除时当一若 zzfRzR 0 的孤立奇点为中解析 则即在zfzzR 为孤立奇点在 z Wuhan University 3 无穷远点为孤立奇点的分类 t z 1 令 0 tz则 t t fzf 1 R tRz 1 tzR0 展的 展的 在 LzR TRz zf 展的 展的 在 Lt Tt t 0 3 5单值函数的孤立奇点 三 无穷远点的性质 Wuhan University 1 可去奇点 的可去奇点 为则f z z z zf z e g 1 sin 可去奇点 以 z 2 极点 展开有m项正幂若 zR z c z cczcf z m k k k L 2 2 1 10 11 阶极点 的为则mf z z 0 1 1 azazazPe g n n n nn L 阶极点 为以nz 1 k 展开无正幂 若zRczcf z k k0 3 无穷远点为孤立奇点的分类 3 5单值函数的孤立奇点 三 无穷远点的性质 Wuhan University 3 本性奇点 有无限项正幂若 0 2 21 11 k k k z R z c z czczfL 的本性奇点 为则f z z z z k ee g k kz 0 1 为本性奇点 以 z 3 无穷远点为孤立奇点的分类 3 5单值函数的孤立奇点 三 无穷远点的性质 Wuhan University 一 函数的奇点 1 孤立奇点 2 非孤立奇点 1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点 zf bz lim 有限 zf bz lim 不定 zf bz lim 0 0 bRbzHz bz z zf CbzCzf m m mk k k 阶零点 为以mbz zf zg 1 小结小结 3 5单值函数的孤立奇点 Wuhan University 二 孤立奇点的分类 Rbzbzc k k k 0 zRzc k k k 奇点 类型 b 展开 式 可去奇点 m阶极点 本性奇点 无负幂无负幂 有m项负幂有m项负幂 有无限项负幂有无限项负幂 无正幂无正幂 有m项正幂有m项正幂 有无