高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算3课件 新人教A版必修4.ppt

2 2 3向量数乘运算及其几何意义 一 二 三 四 一 向量的数乘运算问题思考1 如图 已知向量a 请作出a a a和 a a a 并指出所得和向量与向量a的模 方向有什么关系 思维辨析 一 二 三 四 思维辨析 2 填空 一 二 三 四 思维辨析 一 二 三 四 思维辨析 二 数乘运算的运算律问题思考1 已知向量a 请通过作图判断以下结论是否成立 1 3 2a 6a 2 2 3 a 2a 3a 3 2 a b 2a 2b 提示各式均是成立的 如图 1 3 2a 6a 2 2 3 a 2a 3a 3 2 a b 2a 2b 一 二 三 四 思维辨析 2 填空 数乘向量的运算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 特别地 有 a a a a b a b 答案c 一 二 三 四 思维辨析 三 共线向量定理问题思考1 若a是非零向量 则 a与a有什么关系 如果b a a 0 那么b a是否成立 提示 a与a是共线向量 如果b a a 0 那么b a一定成立 2 填空 共线向量定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 3 关于共线向量定理的说明 1 定理中 向量a为非零向量 即定理不包含0与0共线的情况 2 条件a 0是必须的 否则当a 0 b 0时 虽然b与a共线 但不存在实数 使得b a 当a 0 b 0时 可以是任意实数 3 要证明向量a b共线 只需证明存在实数 使得b a即可 4 若b a r 则a与b共线 一 二 三 四 思维辨析 一 二 三 四 思维辨析 四 向量的线性运算问题思考向量的加法 减法 数乘运算统称为向量的线性运算 对于任意向量a b 以及任意实数 1 2 恒有 1a 2b 1a 2b 一 二 三 四 思维辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 对于任意向量a和任意实数 a与a一定是共线向量 2 向量 a与a的方向不是相同就是相反 3 若向量a和b共线 则必有b a 4 若向量a和b不共线 且 a b 则必有 0 5 若向量共线 则a b c d四点共线 6 实数既可以与向量相乘 也可以相加减 7 向量a与b共线 当且仅当有唯一一个实数x 使b xa 8 若m 3a 4b n a 2b 则m n 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 向量的线性运算 例1 1 化简下列各向量表达式 分析 1 根据向量的线性运算法则求解 2 运用实数的二元一次方程组的解法求解 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 解 1 原式 18a 3b 9a 3b 9a 原式 5a 4b c 6a 4b 2c a c 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 向量的线性运算类似于代数多项式的运算 共线向量可以合并 即 合并同类项 提取公因式 这里的 同类项 公因式 指的是向量 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 a 2a bb 2b ac b ad a b 2 已知2a b m a 3b n 那么a b用m n可以表示为a b 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 共线向量定理及其应用角度1向量共线的判定 例2 判断下列各小题中的向量a b是否共线 其中e1 e2是两非零不共线向量 解 1 b 2a a与b共线 2 a b a与b共线 3 设a b 则e1 e2 3e1 3e2 1 3 e1 1 3 e2 0 e1与e2是两非零不共线向量 1 3 0 1 3 0 这样的 不存在 因此a与b不共线 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 向量共线的判定一般是用其判定定理 即a是一个非零向量 若存在唯一一个实数 使得b a 则向量b与非零向量a共线 解题过程中 需要把两向量用共同的已知向量来表示 进而互相表示 由此判断共线 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度2用已知向量表示未知向量 答案c 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础 除了要利用向量的加 减 数乘运算外 还应充分利用平面几何的一些定理 性质 如三角形的中位线定理 相似三角形对应边成比例等 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度3证明三点共线问题 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 1 证明三点共线 通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线 两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据 2 若a b c三点共线 则向量在同一直线上 因此必定存在实数 使得其中两个向量之间存在线性关系 而向量共线定理是实现线性关系的依据 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度4求参问题 答案a 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 答案c 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 向量线性运算的综合应用角度1判断三角形的形状 答案直角三角形 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度2求解三角形的面积比 解析如图所示 取ab的中点d 连接od 则c o d三点共线且点a b到oc的距离相等 oc边为公共边 aoc boc的面积相等 故选d 答案d 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 答案c 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度3解决三角形的四心问题 答案b 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 答案b 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 点评解决本题的关键是将给定的向量利用基向量表示出来 再利用基底确定 向量的分解式是唯一的 可列出参数之间的关系 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 对共线向量的条件理解不清致误 典例 已知非零向量e1和e2 试判断3e1 2e2与3e1 2e2是否共线 错解若存在实数 使3e1 2e2 3e1 2e2 则3e1 2e2 3 e1 2 e2 即 3 3 e1 2 2 e2 错解错在什么地方 你能发现吗 怎样避免这类错误呢 提示错解中对向量共线的条件理解不清 只有当e1 e2不共线 且 e1 e2时 才有 0 否则不一定成立 题目条件没有限定e1和e2不共线 因此 上述解法是错误的 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 正解 若向量e1和e2不共线 由错解过程可知3e1 2e2与3e1 2e2不共线 若向量e1和e2共线 可设e2 ke1 k r 则3e1 2e2 3 2k e1 3e1 2e2 3 2k e1 3 2k与3 2k中至少有一个不为0 不妨设3 2k 0 于是3e1 2e2 3e1 2e2 这时3e1 2e2与3e1 2e2共线 要注意结论 若非零向量e1 e2不共线 且 e1 e2 则必有 0 成立的条件是e1 e2不共线 因此在应用该结论解决相关问题时 务必注意这一条件 1 2 3 4 5 1 设a是非零向量 是非零实数 则下列结论正确的是 a a与 a的方向相同b a与 a的方向相反c a与 2a的方向相同d a a 解析因为 0 所以 2 0 于是向量a与 2a的方向相同 答案c 6 1 2 3 4 5 2 下列各式不表示向量的是 a 0 ab a 3bc 3a d x y r 且x y 解析 3a 是向量3a的模 是实数而不是向量 答案c 6 1 2 3 4 5 3 4 a b 3 a b b等于 a a 2bb ac a 6bd a 8b解析原式 4a