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7.5 渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动设计7.5.1 设计应满足的条件1. 正确啮合条件一对渐开线齿廓能保证定传动比传动，但这并不表明任意两个渐开线齿轮都能搭配起来正确啮合传动。为了正确啮合，还必须满足一定的条件。图示一对渐开线齿轮同时有两对齿参加啮合，两轮齿工作侧齿廓的啮合点分别为K和K。为了保证定传动比，两啮合点K和K必须同时落在啮合线N1N2上；否则，将出现卡死或冲击的现象。这一条件可以表述为。和分别为齿轮1和齿轮2相邻同侧齿廓沿公法线上的距离，称为法向齿距，用pn1、pn2表示。因此，一对齿轮实现定传动比传的正确啮合件为两轮的法向齿距相等。又由渐开线性质可知，齿轮法向齿距与基圆齿距相等，则该条件又可表述为两轮的基圆齿距相等，即将和代入上式得式中m1、m2和1、2分别为两轮的模数和压力角。由于齿轮的模数和压力角都已标准化，要使上式成立，可以取来保证两轮的法向齿距相等。因此，渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件最终表述为：两轮的模数和压力角分别相等。2. 连续传动的条件（1）啮合传动过程齿轮传动是通过其轮齿交替啮合而实现的。图所示为一对轮齿的啮合过程。主动轮1顺时针方向转动，推动从动轮2作逆时针方向转动。一对轮齿的开始啮合点是从动轮齿顶圆2与啮合线N1N2的交点B2，这时主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触，两轮齿进入啮合。随着啮合传动的进行，两齿廓的啮合点将沿着啮合线向左下方移动。一直到主动轮的齿顶圆1与啮合线的交点B1，主动轮的齿顶与从动轮的齿根即将脱离接触，两轮齿结束啮合，B1点为终止啮合点。线段为啮合点的实际轨迹，称为实际啮合线段。当两轮齿顶圆加大时，点B1、B2分别趋于点N1、N2，实际啮合线段将加长。但因基圆内无渐开线，故点B1、B2不会超过点N1、N2，点N1、N2称为极限啮合点。线段是理论上最长的实际啮合线段，称为理论啮合线段。2）连续传动条件连续传动条件为保证齿轮定传动比传动的连续性，仅具备两轮的基圆齿距相等的条件是不够的，还必须满足Pb。否则，当前一对齿在点B1分离时，后一对齿尚末进入点B2啮合，这样，在前后两对齿交替啮合时将引起冲击，无法保证传动的平稳性。重合度把实际啮合线段与基圆齿距Pb的比值称为重合度，用表示。重合度表达式 在实际应用中，值应大于或等于一定的许用值，即上式中许用重合度的值是随齿轮机构的使用要求和制造精度而定，推荐的值，见表7.4。7.5 渐开线直齿圆柱齿轮啮合传动设计重合度计算公式外啮合齿轮的重合度计算公式可参照右图推出：实际啮合线段， 而将上述关系代入式（7.14）并化简得：=式中：啮合角，两轮齿顶圆压力角、。重合度的物理意义重合度的大小表明同时参与啮合的轮齿对数的多少。如=1表示，齿轮传动的过程中始终只有一对齿啮合。若=1.3 的情况如图所示，在实际啮合线的B2A1和A2B1（长度各为0.3Pb）段有两对轮齿同时在啮合，称为双齿啮合区；而在节点P附近A1A2段（长度为0.7Pb），只有一对轮齿在啮合，称为单齿啮合区。总之，值愈大，表明同时参加啮合轮齿的对数愈多，这对提高齿轮传动的承载能力和传动的平稳性都有十分重要的意义。3. 无齿侧隙啮合条件齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩檫发热膨胀而卡死，齿廓之间必须留有间隙，此间隙称为齿侧间隙，简称侧隙。但是，齿侧间隙的存在会产生齿间冲击，影响齿轮传动的平稳性。因此，这个间隙只能很小，通常由齿轮公差来保证。对于齿轮运动设计仍按无齿侧间隙（侧隙为零）进行设计。一对齿轮啮合过程中，两节圆作纯滚动。因此，两齿轮的节圆齿距应相等，即p1=p2 。为保证无齿侧间隙啮合，一齿轮的节圆齿厚必须等于另一齿轮节圆齿槽宽，即s1=e2 或s2=e1。这样有p1=s1+e1+p1=s2+e2，故p=s1+s2即齿轮啮合传动的无侧隙啮合条件是：节圆齿距等于两轮节圆齿厚之和。4. 齿廓不根切条件（1） 根切现象及其产生原因根切现象 如图所示，用范成法切制齿轮的过程中，有时刀具会把齿轮根部已加工好的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。根切将削弱齿根的强度，甚至可能降低重合度，影响传动质量，应尽量避免。产生原因图为齿条刀的齿顶线超过极限啮合点N1（啮合线与被切齿轮基圆的切点）的情况。当刀具以速度移动到达位置时，刀刃齿廓将被加工轮齿的渐开线齿廓完全切出。范成加工继续进行，刀具移动距离s到达位置，刀刃齿廓与啮合线NN交于点K。与此同时，齿轮相应转过角，其基圆转过的弧长而刀具两位置的垂直距离为，则，因此有。该式表明渐开线齿廓上的点N1落在刀刃的左内侧，即点N1附近的渐开线被刀刃切掉而产生根切，如图中的阴影部分所示。（2） 避免根切的方法以上分析可知，产生根切的原因是刀具的齿顶线超过极限啮合点N1，因此可以利用移距变位的方法避免根切。如图所示，为了避免根切齿条刀采用正变位，变位量为 。这样使刀具齿顶线通过极限啮合点N1，刚好不根切。由此可得不根切的条件为：因 ，所以有避免根切的几种方法1） 标准齿轮不产生根切的最少齿数条件因标准齿轮x=0 ，由式得不根切条件为因此得出标准齿条刀加工标准齿轮不产生根切的最少齿数zmin ：当ha* =1、=20。时，可以得到标准齿轮不产生根切的最少齿数zmin =17。2）变位齿轮不产生根切的最小变位系数由（7.16）式得不根切条件因此有将式代入上式并整理，可得变位齿轮不产生根切的最小变位系数为上式表明：当z0 ；当 zzmin时，可以采用负变位（x0），只要满足xxmin 的条件就不会产生根切。3) 改变齿顶高系数和压力角由式可知，减小齿顶高系数ha* 或加大压力角，均可提高齿轮避免根切的能力。但是，这样需要采用非标准刀具，成本将增加，一般情况不宜采用。4. 无侧隙啮合条件及无侧隙啮合方程式（1）无侧隙啮合条件齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩檫发热膨胀而卡死，齿廓之间必须留有间隙，此间隙称为齿侧间隙，简称侧隙。但是，齿侧间隙的存在会产生齿间冲击，影响齿轮传动的平稳性。因此，这个间隙只能很小，通常由齿轮公差来保证。对于齿轮运动设计仍按无齿侧间隙（侧隙为零）进行设计。一对齿轮啮合过程中，两节圆作纯滚动。因此，两齿轮的节圆齿距应相等，即 p1=p2 。为保证无齿侧间隙啮合，一齿轮的节圆齿厚必须等于另一齿轮节圆齿槽宽，即s1=e2或p2=e1。这样有，故即齿轮啮合传动的无侧隙啮合条件是：节圆齿距等于两轮节圆齿厚之和。（2）无侧隙啮合方程式节圆齿厚s1,p2 ：式中 而将以上各式代入式并化简得上式称为无侧隙啮合方程式。该式表明：一对齿轮的变位系数确定后，只有按此式求得的啮合角 安装，才能保证无侧隙啮合传动。对于标准齿轮传动，因x1=x2=0 ，则有 =。6. 保证齿顶厚条件对于正变位齿轮，过大的变位可能引起齿顶变尖（Sa =0）或齿顶厚过小的现象。为了保证齿轮的齿顶强度，齿顶厚不能太小，一般要求 Sa 0.25 ，对于表面淬火的齿轮，要求Sa 0.4 m。7.5.2 齿轮机构啮合传动的几何尺寸1. 中心距与中心距变动系数y1) 中心距由图可得一对变位齿轮的中心距对于一对标准齿轮而言，因x1=x2=0， =，则其中心距 为此中心距称为标准安装中心距，简称标准中心距。此时，两轮的分度圆相切并与其节圆重合，既保证无侧隙啮合，又保证顶隙是标准值。顶隙可以避免啮合轮齿的顶部与根部相抵干涉，同时用作储存润滑油。2) 中心距变动系数y现以ym表示变位齿轮中心距与标准中心距之差（又称中心距变动量），则有故 式中y称为中心距变动系数。2. 齿顶高ha与齿顶高变动系数y假想有一把标准齿条刀具，它可以同时双面切削两个正变位齿轮，其变位量分别为x1m 和x2m 。两轮均具有标准齿高和标准顶隙c*m。从图中可以看出，两轮齿廓与刀具的直线齿廓分别在点A1、B1和点A2、B2接触，而且轮1上的点A1和轮2上的点A2分别处在同一刀刃齿廓两侧不同位置，点B1和B2也是如此。因此，当抽去假想齿条刀具，并让两齿轮按此位置安装时，虽然两轮之间具有标准齿顶隙c*m ，但却出现齿侧间隙。为了实现无侧隙啮合，可把两轮中心靠近，直至无侧隙为止，并设中心距缩短量为ym 。显然，此时顶隙也将减小ym，不再是标准顶隙。因此为了实现无侧隙啮合的同时也保证标准顶隙，必须将两轮齿顶削去ym。这样齿顶高ha为式中 y 称为齿高变动系数。相应全齿高为设中心距减小ym 前后的中心距分别为和，则有故 以上仅就正变位齿轮进行分析。但可以证明：对于外啮合传动，无论 x1 和x2 取何值，y恒为正值。变位齿轮的全齿高恒大于或等于标准齿轮的全齿高。外啮合变位齿轮传动的几何尺寸计算参看下表。7.5.3 齿轮传动的类型根据（x1 +x2 ）及 x1 、x2 取值不同，可把齿轮传动分为三种基本类型，即标准齿轮传动、高度变位齿轮传动及角度变位齿轮传动。它们的传动特点比较详见下表。7.6 斜齿圆柱齿轮传动的运动设计7.6.1 渐开线斜齿圆柱齿轮1 直圆柱齿轮齿廓曲面的形成因渐开线直齿圆柱齿轮沿其轴向有一定宽度，故渐开线齿廓沿齿轮轴向形成一齿面。该齿面的形成原理如图所示，发生面S沿基圆柱作纯滚动时，它上面的一条与基圆柱母线NN平行的直线KK展成直齿轮的齿面，称为渐开柱面。斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成斜齿轮的齿面形成原理如前页图所示，发生面S沿基圆柱作纯滚动时，它上面的一条与基圆柱母线成夹角b的斜直线KK展成斜齿轮的齿面，称为渐开螺旋面。基圆柱螺旋角渐开螺旋面与齿轮端面（垂直于齿轮轴线的截面）的交线仍是渐开线；但它与基圆柱面以及和基圆柱同轴线的任一圆柱面的交线均为螺旋线。基圆柱螺旋线AA（见图b）的切线与齿轮轴线所夹的锐角b称为基圆柱螺旋角，简称基圆螺旋角。显然，b愈大，轮齿的齿向愈偏斜；但若b=0时，斜齿轮就变成直齿轮。2. 斜齿轮基本参数由于斜齿轮的齿面为渐开螺旋面，故其端面齿形与法面（垂直于轮齿方向的截面）齿形是不同的。因此，端面和法面的参数也不同。斜齿轮切齿刀具的选择及轮齿的切制以法面为准，其法面参数取标准值。而斜齿轮的几何尺寸计算却按端面参数进行，为此必须建立端面参数与法面参数之间的换算关系。（1）分度圆柱螺旋角和基圆柱螺旋角b斜齿轮分度圆柱螺旋线的切线与其轴线所夹的锐角称为分度圆柱螺旋角，简称分度圆螺旋角或螺旋角，用表示。斜齿轮不同截面的齿形参数的关系取决于螺旋角，且用它表示斜齿轮轮齿倾斜的程度。和b之间的关系如图所示，将斜齿轮的分度圆柱和基圆展开，可得 其中L为螺旋线的导程，即为螺旋线绕基圆柱一周后上升的高度，斜齿轮任一圆柱面的螺旋线的导程应相同。因此即 式中， t为斜齿轮的端面压力角。法面模数mn与端面模数mt如图所示，斜齿条的法面齿距pn与端面齿距pt存在如下关系：即 故 法面压力角n 与端面压力角t为了便于分析，用斜齿条说明法面压力角n 与端面压力角t 之间的关系。在图中，角n 的对边和角t 的对边存在如下关系：考虑到，则有故 法面齿顶高系数h*an与端面齿顶高系数h*at对于斜齿轮，其法面齿顶高与端面齿顶高是相同的，因此有：故：同理，其顶隙系数也存在如下关系：（5）法面变位系数xn与端面变位系数xt斜齿轮的变位距离不论是从法面看还是从端面看均应相同，即，故有：斜齿轮的法面齿形及当量齿数由于斜齿轮的强度计算、制造等都是以法面为准，因此需要知道斜齿轮的法面齿形。但法面齿形比较复杂，不易精确计算。这样可以找一个与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮齿形来近似代替，这个相当的直齿轮称为斜齿轮的当量齿轮。当量齿轮的齿数称为当量齿数，用ZV表示。如图所示，过斜齿轮分度圆柱螺旋线上的一点C作轮齿的法截面，此截面将分度圆柱剖开，其剖面为一椭圆，C点附近的齿形可看作斜齿轮的法面齿形。椭圆的长半轴a和短半轴b分别为：b=r;a=r/cos式中 r为斜齿轮的分度圆半径，椭圆上节点C处的曲率半径为7.6.2平行轴斜齿圆柱齿轮传动的运动设计一对斜齿圆柱齿轮按其轴平行安装，即组成平行轴斜齿圆柱齿轮机构。它与直齿轮机构一样，用于传递平行轴之间的运动和动力。直齿轮啮合时，齿面的接触线与齿轮的轴线平行，如图所示。由于轮齿沿整个齿宽既同时进入啮合又同时退出啮合，则轮齿上的载荷也是突然加上又突然卸掉。这样容易引起冲击和振动，不适于高速传动。一对斜齿轮啮合时，齿面接触线是斜直线，接触线先由短变长，而后又由长变短，直至脱离啮合。因此，斜齿轮传动较平稳，冲击、振动较小，适用于高速、重载传动。1.设计应满足的条件（1）正确啮合条件一对平行轴斜齿轮要正确啮合，除应满足直齿轮的正确啮合条件外，还应保证两轮啮合的齿向相同。因此，斜齿轮的正确啮合条件为：模数相等： mn1=mn2或 mt1=mt2压力角相等： n1=n2或 t1=t2螺旋角大小相等： 1=2其中+号用于内啮合，表示两轮的螺旋角旋向相同；-用于外啮合,表示两轮的螺旋角旋向相反。（2）连续传动条件从端面看，斜齿轮的啮合与直齿轮完全一样。但由于斜齿轮的轮齿沿齿宽方向倾斜了角度，故当一对轮齿在前端面结束啮合时，该对轮齿在沿齿宽方向的各个端面内仍在啮合，一直到其后端面结束啮合，这对齿才完成整个啮合过程。如图所示，上图为直齿轮啮合，轮齿全齿宽b在B2B2位置同时开始啮合，到B1B1位置同时脱开啮合；下图为斜齿轮啮合，B2B2线位置表示上端面进入啮合，此时下端面尚未进入啮合，直到B1B1线位置表示下端面脱开啮合。因