高中数学 第一章 数列 1.1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5.ppt

1 2数列的函数特性 1 数列的图像因为数列是特殊的函数 所以数列可以用图像直观地表示 数列用图像表示时可以以序号为横坐标 相应的项为纵坐标 描点作图来表示一个数列 在作图时 为方便起见 在平面直角坐标系上取的单位长度可以不同 做一做1 已知数列 an 的通项公式为an 2n 1 作出该数列的图像 解 分别取n 1 2 3 得到点 1 1 2 3 3 5 描点作出图像 如图 它的图像是直线上的一些等间隔的点 2 数列的增减性 1 一般地 一个数列 an 如果从第2项起 每一项都大于它前面的一项 即an 1 an 那么这个数列叫作递增数列 如果从第2项起 每一项都小于它前面的一项 即an 1 an 那么这个数列叫作递减数列 如果数列 an 的各项都相等 那么这个数列叫作常数列 2 函数an f n 在定义域上是增函数 其图像是上升的 an 是递增数列 函数an f n 在定义域上是减函数 其图像是下降的 an 是递减数列 做一做2 已知数列 an 满足an 1 an 3 0 则数列 an 是 a 递增数列b 递减数列c 常数列d 不能确定答案 a 名师总结数列增减性与函数增减性的区别数列是一种特殊的函数 其定义域是n 或n 的有限子集 自变量的取值是离散的 而函数的定义域通常是连续的 所以数列与函数的增减性有所不同 例如 函数f x x2 2x在其定义域上没有增减性 只能说f x 在 1 上减少 在 1 上增加 但对于数列 an 若an n2 2n 则其一定是递增数列 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 数列若用图像表示 则从图像上看是一群孤立的点 2 在数列 an 中 若存在m n n 当m n时有am an成立 则数列 an 是递增数列 3 数列不一定有通项公式 4 数列1 3 5 7 2n 1可以看作函数y 2x 1 当x取1 2 3 n时 对应函数值的集合 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 已知数列 an 中 an n2 8n 1 画出 an 的图像 2 根据图像写出数列 an 的增减性 分析 1 当n n 时 分别在平面直角坐标系中描出点 n an 即可 2 图像的上升或下降显示数列的增减性 解 1 列表如下 描点 在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列 an 的图像 1 7 2 12 3 15 4 16 5 15 6 12 7 7 8 0 9 9 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 数列 an 的图像既不是上升的 也不是下降的 所以 an 既不是递增数列 也不是递减数列 图像如图 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟画数列图像通常用描点法 与画函数图像的描点法有类似之处 其步骤是 1 列表 2 描点 但要注意描点后不能连线 这是由于数列的定义域是n 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1根据数列的通项公式 写出数列的前5项 并用图像表示出来 1 an 1 n 2 解 1 a1 1 a2 3 a3 1 a4 3 a5 1 图像如图 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断数列增减性的方法 1 根据给出的通项公式画出图像 观察图像的变化趋势 2 作差法 用数列的后一项减去前一项 an an 1 n 2 n n 或an 1 an 若结果为正 则是递增数列 若结果为负 则是递减数列 3 作商法 在确定an为正或为负的情况下 作商 比较商值与1的关系 从而确定数列的单调性 4 借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 数列 an 中 若存在m n 对任意n n 都有am an恒成立 则am为数列 an 中的最大项 若存在t n 对任意n n 都有at an恒成立 则at为数列 an 中的最小项 2 求数列的最大 小 项 其实质就是求相应函数的最大 小 值 但要注意数列中的n n 3 求数列最大 小 项的方法主要有两种 1 根据数列 an 的增减性求最大 小 项 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3 1 已知数列 an 的通项公式为an n2 7n 50 则数列中的最小值为 1 解析 当n 3或n 4时 an取最小值为a3 a4 38 答案 38 2 解法一 an 1 an当n0 即an 1 an 当n 9时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 9时 an 1 ana11 a12 该数列中有最大项 为第9项 第10项 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视数列中变量n的范围而出错 典例 求数列 3n2 20n 1 的最小值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得利用二次函数求最值是一种常用方法 但在数列这一情景下 要注意数列是定义在n 或n 的有限子集上的函数 因此解题过程中注意自变量n的取整性 本题错解就是错误地把代入求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知数列 an 中 n n 则在数列 an 的前50项中 最小项和最大项分别是 a a1 a50b a1 a8c a8 a9d a9 a50答案 c 1 2 3 4 5 1 已知an 3n 2 则数列 an 的图像是 a 一条直线b 一条抛物线c 一个圆d 一群孤立的点答案 d 1 2 3 4 5 2 在递减数列 an 中 an kn k为常数 则实数k的取值范围是 a rb 0 c 0 d 0 解析 an 1 an k n 1 kn k 且数列 an 为递减数列 k 0 答案 c 1 2 3 4 5 3 已知数列 an 的通项公式为an 2n2 4n 33 则数列 an 中最大值是 解析 an 2 n2 2n 1 31 2 n 1 2 31 当n 1时 an最大 最大值为 31 答案 31 1 2 3 4 5 4 已知数列 an 中