17第十七讲 函数奇偶性及其应用.doc

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象2006级本科授课题目第十七讲函数奇偶性及其应用课时数4教学目的通过教学使学生掌握函数奇偶性的概念 ；奇偶函数的导数、变动上限的积分形式的原函数、不定积分、定积分、重积分的性质及应用重点难点1. 偶函数奇偶性与导数2. 函数奇偶性与不定积分3. 函数奇偶性与定积分4. 函数奇偶性与重积分教学提纲第十七讲函数奇偶性及其应用1. 函数奇偶性的概念 2. 偶函数奇偶性与导数3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数4. 函数奇偶性与不定积分5. 函数奇偶性与定积分6. 函数奇偶性与二重积分7. 函数奇偶性与三重积分教学过程与内容教学后记第十七讲函数奇偶性及其应用1. 函数奇偶性的概念 定义1：设函数在关于原点对称的区间I上有定义，如果 （1）对于,则称是偶函数；（2）对于,则称是奇函数。 主要结论： （1）函数在关于原点对称的区间I上有定义，则是偶函数；是奇函数。 （2）函数在关于原点对称的区间I上有定义，则可以表示成一个偶函数和一个奇函数的和。 这是因为：=（3）偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称。（4）偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数+奇函数=奇函数 奇函数偶函数=奇函数； 定义2：设函数在关于y轴区间D上有定义，如果 （1）对于,则称关于x是偶函数；（2）对于,则称关于x是奇函数；2. 偶函数奇偶性与导数定理1：设函数在关于原点对称的区间I上有导数，则 （1）如果是偶函数,则是奇函数；（2）如果是奇函数,则是偶函数； 证明:仅证明(1) 是偶函数, 对于,在I任取. 得证.3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数定理2：设函数在关于原点对称的区间I上有连续，则 （1）如果是偶函数,则是奇函数；（2）如果是奇函数,则是偶函数；证明:仅证明(1) 是偶函数, 对于,记令s=-t得证.4. 函数奇偶性与不定积分定理3：设函数在关于原点对称的区间I上连续，如果是奇函数，则是偶函数。证明：记，是奇函数，则是的一个原函数，并切是偶函数，所以，是偶函数。注意：如果是偶函数,则不一定是奇函数。例：，只有c=0时的原函数才是奇函数。5. 函数奇偶性与定积分定理4：设函数在-a,a连续，则 （1）如果是奇函数,则；（2）如果是偶函数,则。证明：:仅证明(1) 令，并注意到定积分与积分变量的选取无关及例1: 计算【解】=2+0=2例2: 计算【解】=例3:计算 【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用两个公式的推导方法。【解】令， 所以6. 函数奇偶性与二重积分设函数在区域D上连续，则 （1）如果关于是奇函数，并且D关于Y轴对称,则；（2）如果关于是偶函数，并且D关于Y轴对称,则。例4:设区域， 计算二重积分【分析】由于积分区域关于轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【解】 积分区域如右图所示.因为区域关于轴对称，函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数.则 ，故. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.例5设二元函数 计算二重积分，其中【解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的部分. 设 , ,.因此 .7. 函数奇偶性与三重积分对称性：若关于xy(yz或zx)面对称，而是z(