第三章 有限差分法.doc

第3章 有限差分法3.1 波动方程式的差分法（线性双曲线方程）即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation） （ 31 ） （ 32 ）从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。理论解：物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度c前进。（前进波） f(x) c f(x-ct) ct （ 33 ） （ 34 ）其中： （ 35 ）例： （ 36 ）即 （ 37 ）其解为： （ 38 ）xu1x03.1.1 显式法对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time integration method）。i. FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法 （ 39 ）则能产生： （ 310 ）变形后: （ 311 ）这儿，n 为Courant 数。 （ 312 ）Courant 数表示物理的传播速度c和数值传播速度(Dx/Dt)的比值。该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值Dx/Dt保持一致时，不管Dx和Dt取多小，其影响的范围是一样的。当物理传播速度c比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示)，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不安定。1928年Courant、Friedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。xtTan-1(Dt/ Dx)物理速度走的路程（Cu1）数值速度走的路程物理速度走的路程（Cu1，这说明随时间的发展，差分方程的解的幅度会无限制变大。这种不稳定称为Von Neumann不稳定。FTCS方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的Tayor展开为 （ 320 ）代入波动方程 （ 321 ）可见其截断误差的第一项为负的扩散值。负的扩散项从物理上是不稳定的。ii. Lax差分格式（Lax-Friedrich方法）FTCS式中的unj项用两边的平均值来代替: （ 322 ）其： （ 323 ）|m|在n的一定范围内小于1。1n1时：|m|为纯虚数。 （ 327 ）即当sinq1/n时不稳定。此方法分散误差大。iv. Lax-Wendroff格式 原始Lax-Wendroff格式二阶Tayor 展开，空间中心差分：为FTCS格式的修正。此方法由于有附加的扩散项，使得格式稳定。附加项包括空间和时间的2阶精度。在的条件下，除了很大波数，主要含有延迟相位误差。 Lax-Wendroff两步格式第一步（前1/2Dt）：第二步（后1/2Dt）：v. MacCormack的方法 为航天领域应用最广的格式，为Lax-Wendroff两步格式 的一种，但不计算j+1/2点的值。适用于非线性问题。对于线性问题。采用预测修正因子法(predictor-corrector)。预测阶段：修正阶段 结果同Lax-Wendroff两步格式。vi. 1阶精度上风法时间向前，空间向后：Taylor 展开右为截断误差。utt、uttt用uxx、uxxx表示：时间空间都为1阶精度。当n0时，截断误差为零。0. 5 n1.0时：向前相位误差n0Pe0Pe=0fLOLxf0f ( 18由于此问题很简单，常被用于检验离散和求解方法。物理上，它代表了在流线方向对流与扩散间的平衡。事实上，很少有这种平衡起重要作用的流动。通常，对流与压力梯度或垂直流动方向的流动平衡。假定：u 0 and fo fL, u 0 或大G值，Pe0, 对流项可以忽略。解是线性的。 Pe 是大的，解在缓慢变化了一段后，在x=L附近很快变到fL。此f的突然变化往往成为对离散方法的考验。3.2.2 差分方法i. Euler 显式法显式差分格式：（空间中心差分） ( 19 )简化成： ( 20其中 ( 21 )形式同波动方程一样，可利用Von Neumann稳定性条件，得到： ( 22 )ii. 通用Crank-Nicolson 法 ( 23 iii. 边值问题3点计算分子方法，最后的代数方程形式： ( 24 )扩散项，采用中心差分CDS： ( 25； ( 26 ( 27对流项- 采用上风法（UDS）： （28 ( 29AEc 或AWc有一个为零，取决于流动方向。- CDS法 ( 30 ( 31 （图: CDS和UDS对流项的比）结果表明，当网格数小的时候，UDS的数值扩散严重，假扩散大于真扩散。相反的，CDS出现振荡严重。振荡是由于f值的梯度在最后二点突然变化的缘故。当网格数增加，CDS比UDS更接近真正解。采取非均匀网格，CDS也可比UDS精度高。CDS 的振荡取决于局部 Peclet数的大小。它定义为 ( 32当满足Pe2 时，CDS没振荡。振荡仅发生在变化很激烈的地方。3.3 椭圆型方程的差分方法（Laplance方程，抛物线性的稳态问题）3.4 边值问题： ( 33 )椭圆型方程为满足适合性条件，必须给出所有边界的边界条件。差分形式： ( 34 )直接求解法考虑等格式的条件：Dx=Dy，则： ( 35 )此方程的联合求解，需要解一个大的矩阵，需要很大的计算机内存。因此，往往采用结合缓和法（relaxation method）的迭代求解方法（it