依据课堂需求多维变式题目--高中数学变式教学的功能导向初探.pdf

2015年第2期福建中学数学11 探求 一题多变 的问题 培养学生的问题意识 激发 学生勇于探索创新与追求真理的科学精神 3 7 生成性生成性 的问题是最佳的数学教学情境的问题是最佳的数学教学情境 生成 是相对于 预设 而言的 通常是指学生按 预设的方案进行学习时 由于 互动 而产生出来的 反馈信息 通俗地讲 生成 就是教师执行教学 预 设 计划 之外的 变化 学生即时出现的有价值 有创见的数学问题是创设教学情境的最优质素材 教师应及时地捕捉住这一契机 改变原定的教学计 划 以 生成性的问题 为教学情境 张扬学生个性 拓展教学目标 师生共同构建升华教学主题 案例案例 12 不证自明 高三数学复习课 图形 的对称问题 笔者曾经给学生讲解过这样的一道题目 将函数 3 1 Cyxx 的图象向右平移t个长度单 位 再向上平移s个长度单位 得到 函数 2 C的图 象 1 写出对应的函数 2 C的解析式 2 证明 1 C与 2 C的图象关于点 22 ts A 成对 称 一个学生突然提出这样的一个 生成性 的问题 老师你论证得太复杂 本题不证自明 因为 22 ts A 是图象C上任一点平移前后对应点的连线的中心 点 故图象任一点的平移前后的对应点都关于 22 ts A 成对称 显然 1 C与 2 C关于 22 ts A 对称 我马上引导全体同学分析 该同学以运动变化 的观点分析这个问题叙述严谨 有创新 全班报以 热烈掌声 评析评析 师对学生的灵感给予及时的肯定 这对张 扬个性 健全人格起了十分重要的作用 这也是给 学生一个自我展示的平台 有让学生领略成功的喜 悦 案例案例 13 分法求方程的近似值 高中数学必 修 教师给出方程 3 310 xx 按 预设 应引导学 生用 二分法 求该方程的近似解 但一位学生即时提 出 可以用图象法确定该方程有无实数解 若有 有几个 教师为学生提出这一有价值的思维方法所 折服 决定放弃原定教学计划 放手让学生大胆探 索 于是出现了如下几种精彩的构造法 1 将方程 3 310 xx 的根转化为图象 3 yx 与图象31yx 的交点 2 转化为函数 2 3yx 与函数 1 y x 图象的 交点 学生大胆的提出设想 大胆探索 使课堂充满 激情与智慧 充满生命的气息与情趣 充满挑战与 创新 评析评析 师大胆放弃 预设 解决学生即时 生成 的问题 反映出教师的果断与睿智 这一教学 机智 是教师最可宝贵的教学素质 这种 自然生成 的很具独创性的教学效果是 预 设 难以企及的 真是 节外生枝 而却又 果满枝 头 这种活而不乱 趣而不俗 新而不谬的 生成性 的教学情境应是教师永恒的追求 依据课堂需求多维变式题目依据课堂需求多维变式题目 高中数学变式教学的功能导向初探 卜大海 1 侯军 2 1 广东省汕头市澄海苏北中学 515829 2 云南省红河州石屏高级中学 662200 变式教学的概念由来已久 巧妙的使用变式教 学的教学方式不仅可以提高课堂教学效率 还可以 深化学生对知识的理解 那么怎样设置符合课堂需 求的变式题 变式教学对于课堂教学的有效开展以 及学生思维品质的提高又有怎样的功能导向呢 笔者 认为相关探究至少应该涵盖以下三个层面 1 基于知识传授层面的功能导向基于知识传授层面的功能导向 教师通过变式教学的教学方式传授数学知识 发展学生思维品质 不仅为了是满足高考考试的需 要 更是将学生已学知识内化为能力进一步应用于 12福建中学数学2015年第2期 生产实践的需要 同时这也是提高学生元认知能力 的一种有效方法 1 1 基于变式教学的新课题导入基于变式教学的新课题导入 自然 和谐 的新课引入形式 自然 和谐 的新课引入形式 新知识的掌握往往是以学生原有知识作为生长 点的 即课堂教学要基于学生的最近发展区来开展 变式教学恰是搭建新旧知识最好的桥梁 如果教师 能够设置一定梯度的问题 把握学生现有知识储备 和新知识的潜在距离 使学生的的思考过程逐渐深 入 则新课程的引入必将自然和谐 富有趣味 案例案例 1 复数概念导入的教学片断 复数系作为实数系的进一步扩充 学生往往难 以理解为什么要引入虚数单位i 实数系不是已经很 完备了么 教师不妨从数域的发展史的角度来设计 一组变式题 让学生体会数域的变化对数学产生的 影响 教师 请同学们尝试解出下面几个方程的解 题目题目 1 已知 Nx 解方程 2 2 1 21 2 xxx 2 1 0 x 变式变式 1 已知 Zx 解方程 2 2 1 21 2 xxx 2 1 0 x 变式变式2 已知 Qx 解方程 2 2 1 21 2 xxx 2 1 0 x 变式变式3 已知 Rx 解方程 22 1 21 2 xxx 2 1 0 x 学生不难解出以上方程的解 在解方程的过程 中 学生体会到随着数域的逐渐扩大 方程解的个 数也逐渐增多 从开始的自然数范围内只有方程 2 10 x 的解1x 一直到实数域范围内方程 2 1x 0 210 x 2 20 x都有解 通过学生的自主 探究 教师不妨简单的介绍数学家为什么要引入自 然数 负数 有理数 无理数等 以及实数是否是 在数学家一开始研究数学时就有的一种定义 教师 通过概述数学史中这一段历程 使学生体会为什么 要一直扩大数域的范围 基于生活记数和生产实践 的需要 最后引出问题 我们能否通过扩大数域的 办法使得方程 2 10 x 也有解呢 进而教师引入复数 的概念并概述复数于生产实践中的应用 评析评析 通过数学史观的角度引入复数的概念 整 个过程自然和谐 无突兀感 在解方程的基础上来 进一步探究新问题 起点低 极大的降低了学生的 畏难心理 采用变式题组的方式引入新课 一方面 能够放缓问题坡度 另一方面通过方程解的变化让 学生体会数域的变化对答案的影响 为引入复数做 铺垫 1 2 设置变式题组 提高教与学的效率 进而促 进高效课堂的生成 设置变式题组 提高教与学的效率 进而促 进高效课堂的生成 高中数学课程难度大 容量大 课堂教学的高 效性自然是教学中必须重视的核心问题 恰当的变 式题组不仅可以大幅地提升课堂的容量 也能使课 程的推进变得自然有序 在变式教学的策略下 教 师主导的大班教学中 学生可以积极地投入到学习 过程中 并获得有意义的学习 案例案例 2 一道线性规划试题的变式探究 题目题目 2 求不等式组 50 0 3 xy xy x 所表示的平面 区域的面积 变式变式 1 若不等式组 50 0 3 xy xy x ya 所表示的平面 区域是一个三角形 求a的取值范围 变式变式 2 实数x y满足不等式组 50 0 3 xy xy x 2zxy 求z的取值范围 变式变式3 实数x y满足 50 0 3 xy xy x 设zkxy 0 k 若z的最大值为 14 则实数k 变式变式 4 实数x y满足不等式组 50 0 3 xy xy x 22 816zxyx 求z的最大值 变式变式 5 实数x y满足不等式组 50 0 3 xy xy x 5 y z x 求z的取值范围 评析评析 线性规划是高考的常考题型 教师日常教 学时由于作图比较耗时 导致课程推进速度十分的 缓慢 一节的知识容量比较小 由以上案例可以看 2015年第2期福建中学数学13 出 在变式教学主导下的高三线性规划复习可以大 幅的提高复习的进度和知识的维度 1 3 基于基于 过程性变式过程性变式 的变式教学能够逐层深 化知识内涵 的变式教学能够逐层深 化知识内涵 华东师范大学大学的顾泠沅 鲍建生两位教授 把变式教学分为概念性变式和过程性变式两类 过 程性的变式 注重于知识之间的联系与拓展 这与学生在学 习新知识时习惯于由易到难的顺序刚好完美的契 合 基于过程变式来设置变式题组能够很好的将题 目分层 一方面可以拓展知识的深度 另一方面也 使得课堂教学由易到难的推进 案例案例 3 等差数列概念课教学片断 题目题目 3 已知等差数列 n a中 11a 公差2d 求通项 n a 变式变式 1 数列 n a中 已知 1 1 2 nnn aaa 11a 求通项 n a 变式变式 2 数列 n a中 已知 1 2 n n aa 1 1a 求通项 n a 变式变式 3 数列 n a中 已知 2 2 1 2 nn aa 1 1a 求通项 n a 变式变式 4 数列 n a中 已知 1 1nnnn aaaa 1 2a 求通项 n a 变式变式 5 数列 n a中 已知 1 21 n n n a a a 1 2a 求通项 n a 评析评析 从题目 3 到变式五 问题设置由易到难 学生在初步学习了等差数列的定义和通项公式之 后 很容易解答题目 3 通过变式题组的训练 提高 了学生对等差数列的认知水平 使得学生对等差数 列的基本概念的理解得到了外延性的扩展 1 4 学生主体参与形成的变式题让课堂教学锦 上添花 学生主体参与形成的变式题让课堂教学锦 上添花 课堂是动态的课堂 变式教学下的课堂也不例 外 虽然教师提前准备好了教学内容 但随着课程 内容的推进总会有一些 小意外 发生 这些 小意外 如果处理得当 往往可以成为课堂的亮点 案例案例 4 一道学生视角的变式题的产生 教师 请同学们解答下列问题 题目题目 4 已知 1 Ax yx Bx yx 则AB 变式变式 1 已知 1 Ax yx Bx yx 则A B 变式变式 2 已知 1 Ax yx Bx yx 则 RA B 变式变式 3 已知 1 Ax yx Bx yx 则 B AA 以上三个变式的设计目的原本只是想让学生熟 悉基本的交集 并集 补集的基本运算 学生们都 能够很快地算出答案 但有学生提出了下面的一个 疑问 笔者迅速的也将它列入变式 变式变式 4 已知 1 Ax yx Bx yx AB 进一步 又有学生提出了以下问题 变式变式 5 已知 1 Axyyx Bx y x 则AB 变式变式 6 已知 1 Axyyx Bxy yx 则AB 应该说变式四 五 六的产生是出乎笔者的意 料的 它们完全偏离了课堂预设 原本打算将这三 道题的考法在集合问题的综合训练课中提出 现在 却由于学生的疑问而引入 这正是处理这类问题的 大好时机 于是笔者顺势引导学生思考并探究出问 题的正确答案 并让学生在解题中体会代表元素对 集合的重要性 由于学生主动积极的参与 使得这 堂课变得更加活泼而富有生机 评析评析 学生作为学习的主体不是画家笔下的画 布任由教师涂鸦 而是具有主观能动性的个体 学 生在课堂上提出的问题是天然的导引学生注意力方 向的风向标 它比任何情景创设效果都要好 当然 学生课堂上提出的问题并不都是有价值的 有些甚 至是错误的 这就需要教师具备良好数学素养和扎 实的数学功底 才能将学生提出的问题去伪存真 2 基于学生基于学生 学学 层面出发的变式教学层面出发的变式教学 数学教学应当重视发展学生的认知策略 认知 策略就是 支配个体自身学习 记忆和思维行为的性 能 高中数学教师一直以来面临的一个复杂的教学 问题 即如何减少学生的思维偏颇 增强学生学习 的自我效能感 变式教学从学生 学 的层面上给出了 它的答案 2 1 设置反例变式 强化学生对知识的正确理解设置反例变式 强化学生对知识的正确理解 学生在数学学习中 由于知识掌握的不扎实 14福建中学数学2015年第2期 理解不透测 往往会通过主观臆断来理解或求解一 些问题 为了尽量避免问题的发生 教师不妨在备 课时将学生易错的问题形成变式 强化理解 我们 称之反例变式 反例变式是对易混淆的概念或解题 过程的辨析 它是对概念的外延或试题关键解题条 件的明确 反例变式有时甚至于可以是假命题 案例案例 5 公式 2 2 sincos1 的正确理解 教师 下列对公式 2 2 sincos1 的理解都正 确么 变式变式 1 2 2 sincos1 变式变式 2 2 2 sin 2cos 21 变式变式 3 2 2 sin cos 1 变式变式 4 因为 2 222 sincossincos 所以 评析评析 通过对公式 2 2 sincos1 的反例变式 的分析 强化学生对公式的正确理解 为后续的解 题做准备 尤其是对于解决角的构造问题以及三角 运算都起着至关重要的作用 2 2 基于基于 过程性变式过程性变式 设置解题铺垫 暴露解题 的思维过程 设置解题铺垫 暴露解题 的思维过程 学生经常感慨 为什么这道题老师能想到这样 做 而我却没有想到呢 建构主义认为 学习是学生 建构自己知识的过程 学生的学习不仅是对新知识 的理解过程 而且是对新知识的分析 检验和批判 的过程 部分教师在课堂教学时 只顾自己讲完教 学内容 却很少顾及学生对知识的理解 使得学生 知 其然却不知其所以然 例如教师在讲解某些题目时 经常会说 这道用某某法求解 却很少提为什么用 该法求解 通过变式教学 将教师对试题的思考过程 解 题过程 完全的暴露在学生的眼皮底下 真正让学 生体会题目的解法是如何想到的 而不仅是怎样解 出来 案例案例 6 倒序求和思想的应用案例 教师 请同学们思考下面一道的如何求解 题目题目 5 已知函数 x ya 0 a且 1 a在 1 2 上的最大值与最小值之和为20 记 2 x x a f x a 求 123201020112012 201320132013201320132013 ffffff 的值 解答分析解答分析 本题有两个教学难点 如何正确的求 a的值此为难点一 求解的式子很长 不可能直接代 入求解 势必有规律可以探索 教师根据题目结构 可得关系式 1 1f xfx 进而得到 1 2012 20132013 ff 2 201132010 1 2013201320132013 ffff 但此题如何讲解给学生 才能让学生感觉方法 的不突兀呢 此为难点二 教师不妨在教学中设置 以下两个铺垫 铺垫铺垫 1 求函数 logaf xx 0a 且1a 在 1 2 的最值 铺垫铺垫 2 请同学们回顾下数学家高斯小时候是如 何求 1 2 3 这个问题的 教师通过以上两个铺垫引导学生自主探究该题 的求解方法 在学生解决完上述问题后 教师不妨 进一步设置 一个巩固性变式 变式变式 设 1 1 A xy 2 2 B xy是函数 1 2 f x 2 log 1 x x 的图像上的任意两点 且 1 2 OMOAOB 已知点M的横坐标为 1 2 若 12 n Sff nn 1 n f n 其中 n N 且2 n 则 n S 评析评析 学生通过探究铺垫一的解法能够很快的 解出本题中a的数值 同时 教师再以铺垫二引导学 生思考倒序相加法与本题的类似点 让学生类比迁 移得到此题的正确解法 设置铺垫引导学生自主思 考原题目 一方面可以增强学生的自信心 另一方 面 学生自主探究得到的正确解法 记忆的更加深 刻 要远比教师直接讲授的效果更好 设置巩固性 的变式题加强了学生对该题解题方法的掌握 真正 的让学生学会此类问题的处理方法 3 关于关于 变式教学变式教学 的哲学内涵的功能导向的哲学内涵的功能导向 美国数学教育家 M 克莱因说 哲学就想云雾一 样凝聚成丝丝细雨 注入数学的溪流中 课堂教学无论采用哪种教学方式 最终都是以 全面提高学生的综合素质为根本出发点的 数学教 学不仅要教会学生怎样解题 更要教会学生怎样分 析和解决问题 教师在课堂教学过程中采用变式教 学的教学方式 不仅很好的传授了数学知识 更向 学生传递了一种思考问题 解决问题的思维方法 2015年第2期福建中学数学15 使学生在收获数学知识的同时收获正确分析 认知 事物的能力 3 1 从认识论的角度上 变式教学对题目的多变 性铸就了学生认识事物的多样性和多变性 让学生 学会运动的 辩证的认识物质世界的本质 从认识论的角度上 变式教学对题目的多变 性铸就了学生认识事物的多样性和多变性 让学生 学会运动的 辩证的认识物质世界的本质 在变式教学长期影响下学生 从解题实践中体 会到题目的多变性和不固定性 进而懂得只有抓住 数学题的基本概念 基本思想方法才能以不变应万 变 这也无形中影响着学生的生活态度和思维品质 也即实现了数学教学的情感目标的达成 从案例一 的变式设计中 学生体会到还有比实数域范围更大 的复数域 从自然数到复数 数域的变化 数学内 容的推进 一路冲击着学生原有的认知程度 改变 着学生对现实世界的理解和看法 让学生懂得运用 运动的观点看待物质世界 3 2 变式教学主导下的课堂教学让学生更加勇 于实践 善于实践 变式教学主导下的课堂教学让学生更加勇 于实践 善于实践 解题本身也是实践的一部分 变式教学通过设 置一组组的变试题攻克一道道的难题 让学生体会 到生活中遇到难题 变 的重要性 数学题的符号表征 源于对生活实际问题的抽象和建模 反过来 数学 解题能力的提高 也自然会提高学生对生活实际问 题的处理能力 教师经常性的安排学生接受变式题的训练 一 方面可以拓展知识的外延 另一方面也可以丰富解 题的思维过程以及知识本身的文化内涵 这些数学 学习中体现出来的特质 使得学生对于数学知识价 值的认识 对数学的学习兴趣 自我效能感及数学 学习成绩的归因均产生影响 在以后的生活中 他 们将更加敢于 善于解决生活和工作中的难题 4 结束语结束语 变式教学是一种 形变质不变 的教学方式 它 所主导的数学课堂教学能够有效促进学生原有知识 结构产生正向的转化 并全面提高学生的数学解题 能力 但这不并意味着教师一定要每堂课都使用变 式教学的教学方式 教学本身是一种动态的组织形 式 凡是有效提高课堂教学效率 提升教学品质的 教学方式都是可取的 我们不妨把变式教学当做教 学大餐中的一道菜品 点缀其中 课堂有滋有