平面、立体几何竞赛专题讲解及习题分析讲解.pdf

平面 立体几何竞赛专题讲解及习题分析讲解平面 立体几何竞赛专题讲解及习题分析讲解 多面角多面角 有公共端点并且不在同一平面内的n条射直线 以及相邻两条射线间的平面部分所组 成的图形 叫做多面角 组成多面角的射线叫做多面角的棱 这些射线的公共端点S叫做多面角的顶点 相邻 两棱间的平面部分叫做多面角的面 相邻两棱组成的角 叫做多面角的面角 相邻两 个面组成的二面角叫做多面角的二面角 三面角三面角 三面角是立体几何的基本概念之一 是组成多面体的重要元素 与平面几何中有关三角 形的正 余弦定理类似 有关三面角的正 余弦定理是解三面角的重要依据 熟练掌握解三 面角的方法 可以较大地提高立体几何的解题能力 一 三面角和补三面角一 三面角和补三面角 有公共端点且不共面的三条射线以及相邻两射线间的平 面部分所组成的图形叫三面角 图 2 1 中 点 S 为三面角 S ABC 的顶点 射线 SA SB SC 为三面角 S ABC 的三 条棱 它们所对的 BSC CSA ASB 为三面角 S ABC 的三个面角 通常可用 a b c 表示 以 SA SB SC 为棱的 二面角 B SA C C SB A A SC B 可用 A B C 来 表示 图 2 2 从三面角 S ABC 的顶点 S 出发 作三条射线 SA0 SB0 SC0分别垂直于平面 BSC CSA ASB 并与射线 SA SB SC 分别在该平面的同侧 则三面角 S A0B0C0称 为三面角 S ABC 的补三面角 图 2 2 易证 三面角 S ABC 与三面角 S A0B0C0互补 互补的两个三面角有如下重要性质互补的两个三面角有如下重要性质 定理 1定理 1 就度量业讲 一个三面角的某一面角与其补 三面角相对应的二面角互补 略证 图 2 3 中设平面 为 三面角 S ABC 中面角 BSC 所在平面 DSE 为其补三 图 2 3 面角 S A0B0C0中相对应的二面角 B0 SA0 C0的平面角 则显然 SD SE SB SC 四射线同在平面 内 由 SC 平 面 B0SA0且 SD 在平面 B0SA0内 可得 SC SD 同理 SB SE 易知 DSE 与 BSC 互补 二 三面角的余弦定理和正弦定理 下述关于二面角的有关计算公式是推导三面角余弦 正 弦定理的基础 同时它们又往往在解题过程中起较大作用 图 2 4 中 二面角 l 的大小为 A B AA1 l 于 A1 BB1 l 于 B1 AO 于 O 设 AB d AA1 a BB1 b A1B1 m 则 AO asin 公式 cos2 2222 abmbad cos2 222 abmbad 或 公式 定理 2 定理 2 三面角面角的余弦等于其他两个面角的余弦的乘积加上它们的正弦及它们所夹二 面角的连乘积 定理定理 3 三面角中任一二面角的余弦等于其余两个二面角的余弦乘积的相反数加上此两个 二面角的正弦及其所夹面角的余弦的连乘积 定理定理 4 三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比 例例 1 求证 三面角求证 三面角 S ABC 中中 AbcbcBacossincoscossincossin 证明 由三面角第一余弦定理可得 cb cba A sinsin coscoscos cos ca cab B sinsin coscoscos cos 因此 C cab Ba sin coscoscos cossin 1 C cbac bcAbcb sin coscos coscos cossincossincoscossin C caccb C bccab sin coscos cos sincos sin coscoscoscoscossin 2222 C cab sin coscoscos 2 由 1 及 2 即证AbcbcBacossincoscossincossin 例例 2 求证三面角求证三面角 S ABC 中中 AcActgBcctgbcoscossinsin 分析 利用正弦定理及例 1 的公式 证明 由例 1 AbcbcBacossincoscossincossin 两边同除得 bsinAc b b cB b a coscos sin cos sincos sin sin 由正弦定理知 sin sin sin sin B A b a 代入得ACctgbcB B A coscossincos sin sin 因此 即AccctgbctgBAcoscossinsin AcActgBcctgbcoscossinsin 例例 3 如图 2 菱形如图 2 菱形ABCDABCD的边长为 1 的边长为 1 ABCABC 120 若 120 若E E为为BCBC延长线上任意一点 延长线上任意一点 AEAE交交 CDCD于点于点F F 则向量 则向量BF与与ED和夹角的大小为 度 和夹角的大小为 度 解 解 以B为原点 BC方向为x轴建立直角坐标系 设E a 0 a 1 由直线CD与AE方程 解出交点F a a 2