西安交大复变函数课件5-1-1本性奇点.pdf

第一节第一节 孤立奇点孤立奇点 一 孤立奇点的概念 二 函数的零点与极点的关系 三 函数在无穷远点的性态 四 小结与思考 2 一 孤立奇点的概念一 孤立奇点的概念 定义定义 如果如果函数函数 0 z zf 在在 不解析不解析 但但 zf在在 0 z 的某一去心邻域的某一去心邻域 0 0zz内处处解析内处处解析 则称则称 0 z zf为为 的孤立奇点的孤立奇点 例例1 0 z是函数是函数 z z e z sin 1 的孤立奇点的孤立奇点 1 z是函数是函数 1 1 z 的孤立奇点的孤立奇点 注意注意 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤 立奇点立奇点 3 例例2 2 指出函数指出函数 0 z在点在点 z z zf 1 sin 2 的奇点特性的奇点特性 解解 k zz 1 0 2 1 k 因为因为0 1 lim k k 即在即在 0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内 的奇点存在的奇点存在 函数的奇点为函数的奇点为 zf总有总有 0 z不是孤立奇点不是孤立奇点 所以所以 4 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 依据依据 zf在其孤立奇点在其孤立奇点 0 z的去心邻域的去心邻域 0 0zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类 1 可去奇点可去奇点 1 可去奇点 可去奇点 2 极点 极点 3 本性奇点 本性奇点 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项 0 zz 0 z zf 那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点 1 定义定义 5 其和函数其和函数 zF为在为在 0 z 解析的函数解析的函数 000 0 zzczF zzzF zf 即 说明说明 1 0 的孤立奇点的孤立奇点若是若是zfz 0010 n n zzczzcczf 0 0 zz lim 0 0 zfzf zz 00 czf 2 无论无论 在在 是否有定义是否有定义 zf 0 z补充定义补充定义 则函数则函数 在在 0 z 解析解析 zf 6 2 可去奇点的判定可去奇点的判定 1 由定义判断由定义判断 的洛朗级数无负的洛朗级数无负 0 z zf在在 如果如果 幂项则幂项则 0 z为为 zf 的可去奇点的可去奇点 2 判断极限判断极限 lim 0 zf zz 若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值 则则 0 z为为 zf的可去奇点的可去奇点 7 如果补充定义如果补充定义 0 z时时 1 sin z z 那末那末 z zsin 在在 0 z解析解析 例例3 42 5 1 3 1 1 sin zz z z 中不含负幂项中不含负幂项 0 z是是 z zsin 的可去奇点的可去奇点 8 例例4 说明说明 0 z 为为 z e z 1 的可去奇点的可去奇点 解解 z e z 1 1 2 1 1 1 n z n z z0 所以所以 0 z为为 的可去奇点的可去奇点 z e z 1 无负幂项无负幂项 另解另解 z z z z e z e 00 lim 1 lim 因为因为 0 z所以所以的可去奇点的可去奇点 为为 z e z 1 1 1 2 1 1 1 2 n z n zz z 1 9 2 极点极点 1 01 2 020 zzczzczzczf m m 0 1 m cm 010 zzcc 1 0 zg zz zf m 1 0 zz 0 m zz 其中关于其中关于 的最高幂为的最高幂为 即即 级极点级极点 0 z zfm那末孤立奇点那末孤立奇点 称为函数称为函数 的的 或写成或写成 1 定义定义 0 zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个 的的 负幂项负幂项 0 0 1 0 m f zg zg zg z zz 0 在z 处解析 且 10 说明说明 2 0201 zzczzcczg mmm 1 内是解析函数内是解析函数在在 0 zz 2 0 0 zg 特点特点 1 2 的极点的极点 则则 0 z zf 为函数为函数 如果如果 lim 0 zf zz 例例5 有理分式函数 有理分式函数 2 23 2 zz z zf 是二级极点是二级极点 0 z2 z是一级极点是一级极点 11 2 极点的判定方法极点的判定方法 zf的负幂项为有的负幂项为有 0 zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有 限项限项 在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内 0 z m zz zg zf 0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析 且且 zg 0 z 0 0 zg 1 由定义判别由定义判别 2 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别 3 利用极限利用极限 lim 0 zf zz 判断判断 12 本性奇点本性奇点 3 如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个 0 zz 那末孤立奇点那末孤立奇点 0 z称为称为 zf 的本性奇点的本性奇点 的负幂项的负幂项 例如 例如 1 2 1 1 21 1 n z z n zze 0 z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内 lim 0 zf zz 不存在且不不存在且不 为为 为本性奇点 为本性奇点 所以所以0 z同时同时 z z e 1 0 lim 不存在不存在 13 综上所述综上所述 孤立奇点孤立奇点 可去奇点可去奇点 m级极点级极点 本性奇点本性奇点 洛朗级数特点洛朗级数特点 lim 0 zf zz 存在且为存在且为 有限值有限值 不存在不存在 且不为且不为 无负幂项无负幂项 含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项 含有限个负幂项含有限个负幂项 1 0 zz m zz 0 关于关于 的最高幂的最高幂 为为 14 二 函数的零点与极点的关系二 函数的零点与极点的关系 1 零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数 zf如果如果 能表示成能表示成 0 zzzzf m z 0 z 其中其中 在在 0 0 z 解析且解析且 m为某一正整数为某一正整数 那末那末 0 z 称为称为 zf 的的 m 级零点级零点 例例6 的一级零点 的一级零点 是函数是函数 3 1 0 zzzfz 注意注意 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的 1 1 3 的三级零点的三级零点是函数是函数 zzzfz 15 2 零点的判定零点的判定 零点的充要条件是零点的充要条件是 证证 必要性必要性 由定义由定义 0 zzzzf m 设设 0 zz 在在 的泰勒展开式为的泰勒展开式为 2 02010 zzczzccz 0 zm 0 z 如果如果 在在 解析解析 那末那末 为为 的的 级级 zf zf m 0 z 如果如果 为为 的的 级零点级零点 zf 1 2 1 0 0 0 mnzf n 0 0 zf m 16 的泰勒展开式为的泰勒展开式为在在从而从而 0 zzf 1 0100 mm zzczzczf 2 02 m zzc 其中其中 0 00 zc 展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数 公式知公式知 1 2 1 0 0 0 mnzf n 并且并且 0 0 0 c m zf m 充分性证明略充分性证明略 17 1 由于由于 1 2 3 1 z zf 知知 1 z是是 zf的一级零点的一级零点 课堂练习课堂练习 0 z 是五级零点是五级零点 iz 是二级零点是二级零点 知知 是是 zf的一级零点的一级零点 0 z 解解 2 由于由于 0 cos 0 z zf 答案答案 例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数 1 3 zzf 1 2 sin zzf 03 01 225 1 zzzf的零点及级数的零点及级数 求求 18 3 零点与极点的关系零点与极点的关系 证证 0 00 定理 如z 是f x 的m级零点 是g x 的n级零点 f x 则当mn时 z 是的可去极点 当m n时 z g x f x 是的 n m 级极点 g x 0 m f zzzz 00 0zzz 在 处解析且 00 0zzz 在 处解析且 0 n g zzzz 19 0 0 1 m n n m x zzmn z f x xg z mn zzz 故定理成立 20 说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法简便的方法 例例8 函数函数 zsin 1 有些什么奇点有些什么奇点 如果是极点如果是极点 指出指出 它的级它的级 解解 函数的奇点是使函数的奇点是使 0sin z的点的点 这些奇点是这些奇点是 2 1 0 kkz 是孤立奇点是孤立奇点 kz kz zzcos sin因为因为 的一级零点 的一级零点 是是所以所以zkzsin 0 1 k zsin 1 的一级极点的一级极点 即即 21 1 3 2 11 z z z z 解解 0 22 1 11 n nz n z zz e 解析且解析且 0 0 所以所以 0 z不是二级极点不是二级极点 而是一级极点而是一级极点 0 z是是 3 sinh z z 的几级极点的几级极点 思考思考 例例9 问问 0 z是是 2 1 z e z 的二级极点吗的二级极点吗 注意注意 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 22 三 函数在无穷远点的性态三 函数在无穷远点的性态 1 定义定义 如果函数如果函数 zf 在无穷远点在无穷远点 z的去心的去心 邻域邻域 zR内解析内解析 则称点则称点 为为 zf的孤的孤 立奇点立奇点 R x y o 23 令变换令变换 1 z t 规定此变换将规定此变换将 t fzf 1 则则 映射为映射为 z 0 t 扩充扩充 z 平面平面 扩充扩充 t 平面平面 映射为映射为 nn zz 0 1 n n n t z t 映射为映射为 zR R t 1 0 映射为映射为 t 24 结论结论 在去心邻域在去心邻域 zR内对函数内对函数 zf 的研究的研究 在去心邻域在去心邻域 R t 1 0 内对函数内对函数 t 的研究的研究 R t 1 0 因为因为 t 在去心邻域在去心邻域 内是解析的内是解析的 所以所以 0 t是是 t 的孤立奇点的孤立奇点 规定规定 m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点 t 的可去奇点 的可去奇点 m级奇点或级奇点或 本性奇点本性奇点 如果如果 t 0 是是 z是是 zf 的可去奇点 的可去奇点 那末就称点那末就称点 25 1 不含正幂项不含正幂项 2 含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且 m z 为最高正幂为最高正幂 3 含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项 那末那末 z是是 zf的的 1 可去奇点 可去奇点 2 m 级极点级极点 3 本性奇点本性奇点 判别法判别法1 利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点 2 判别方法判别方法 zf zR在在 内的洛朗级数中内的洛朗级数中 如果如果 26 例例10 1 函数函数 1 z z zf 在圆环域在圆环域 z1 内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为 n n zzz z zf 1 1 11 1 1 1 1 2 不含正幂项不含正幂项 所以所以 z是是 zf 的可去奇点的可去奇点 2 函数函数 z zzf 1 含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正 幂项幂项 所以所以 z是是 zf的的 m级极点级极点 27 3 函数函数 zsin的展开式的展开式 12 5 3 sin 1253 n zzz zz n 含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项 所以所以 z是是 zf的本性奇点的本性奇点 课堂练习课堂练习 0 是本性奇点是本性奇点是一级极点是一级极点 zz z ezzf 1 的奇点及其的奇点及其 类型类型 说出函数说出函数 答案答案 28 判别法判别法2 利用极限特点利用极限特点 如果极限如果极限 limzf n 1 存在且为有限值存在且为有限值 2 无穷大无穷大 3 不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 那末那末 z是是 zf 的的 1 可去奇点可去奇点 2 m级极点级极点 3 本性奇点本性奇点 29 例例11 函数函数 3 32 sin 2 1 z zz zf 在扩充复平面内在扩充复平面内 有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点 如果是极点如果是极点 指出它的级指出它的级 解解 函数函数 zf除点除点 2 1 0 z外外 2 1 0cos sin处均不为零处均不为零在在因因 zzz 所以这些点都是所以这些点都是 z sin的一级零点的一级零点 故这些点中除故这些点中除1 1 2外外 都是都是 zf 的三级极点的三级极点 z内解析内解析 在在 30 1 1 1 2 zzz因因 所以所以 2 11级极点级极点的的是是与与zf 那末那末 2 z是是 zf的可去奇点的可去奇点 为一级零点 为一级零点 与与以以11 23 2 1 2 zzz 当是的三级极点 31 时 时 当当 z 使分母为零 使分母为零 n n 1 0 z不是不是 zf 的孤立奇点的孤立奇点 所以所以 sin 21 1 1 32 32 f因为因为 的极点