微分方程与数学建模.pdf

文章编号 100828458 2000 0220006204 微分方程与数学建模 吴 丹 桂 景德镇高专科研处 景德镇 333000 摘 要 从探照灯反射镜面 吊桥的桥拱形状及悬链线的形成过程的分析 用微分方程得出它 们的数学模型 关键词 微分方程 抛物线 悬链线 数学建模 中图分类号 O175 文献标识码 A 在工程技术和管理科学领域 存在大量的数学模型 通过这些实际模型的建立和解决 最 后使我们的目标得到完整而精确的方案 包括设计图纸 施工方案 经费预算等 本文从几个 较简单的实例出发 用微分方程的方法建立几个数学模型 1 探照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时 总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去 以保证探照 灯有良好的方向性 试求反射镜面的几何形状 图1 分析 设光源在坐标原点 如图1 并取x 轴平行于光的反射方向 如果所求的曲面由曲 线y f x 绕x轴旋转而成 则求反射镜面的 问题就相当于求曲线y f x 平面曲线 的 问题 为此 过曲线y f x y 0 的点 M x y 作切线MT 则由光的反射定律 入射 角等于反射角 得到图1中的 1及 2的关系 式 2 1 2 2 即 1 2 由图1可看出 3 1 2 2 2 故得 tg 3 tg2 2 2tg 2 1 tg2 2 第15卷第2期 2000年6月 景德镇高专学报 Journal of Jingdezhen College Vol 15 No 2 Jun 2000 收稿日期 2000 03 06 作者简介 吴丹桂 1949 男 江西波阳人 讲师 但是 tg 2 dy dx tg 3 y x 将 代入 得到 y x 2 dy dx 1 dy dx 2 解出 dy dx 得到 dy dx y x 1 x y 2 我们还可假设0 3 2 即0 2 4 也就是说 0 dy dx tg 2 1 故在 式中只取根号前的正号 这样就得到曲线y f x 应满足的微分方程 dy dx y x 1 x y 2 是齐次方程 可作变换 即 x y v 即x yv 这时 dx dy v y dv dy 代入 式得到 v y dv dy 1 v 1 v2 即 dv 1 v2 dy y 积分后代回原来的变量可得 x2 y2 x y2 C 即 y2 C C 2 x 这是抛物线 因此 反射镜面为旋转抛物面 2 吊桥的钢缆呈什么曲线的形状 这里设把钢缆与桥面连结起来的吊索全都互相靠近并且是并列平行的 又 钢缆 吊索及 桥身的每单位长的重量分别是a b c 图2 分析 如图2是所设计的吊桥的大致形状 设吊桥的桥身是笔直而水平的 把它作为x轴 把 通过钢缆最低点的铅垂线作为y轴 如图 3 在钢 缆上任取一点P x y 再在它上方取一点Q x dx y dy 设P Q间钢缆的长度为ds 因为作用在 PQ这一段上的水平方向的力平衡 若设钢缆张力的 水平分量为T 则以作用在PQ这一段上垂直方向的 力平衡的条件得 T tg d tg ads bydx cdx 但tg dy dx 7 第2期 吴丹桂 微分方程与数学建模 tg d tg d d tg d 泰勒定理 图3 tg d dx tg dx d d dy dx d dx dy dx dx 将 代入 得 d dx dy dx a T ds dx b T y C T 又ds dx2 dy2 dx1 dy dx 2 ds dx 1 dy dx 2 故 式成为 d dx dy dx a T 1 dy dx 2 b T y C T 或改写成 d2y dx2 a T 1 dy dx 2 b T y C T 这样 钢缆的形状可以求解微分方程 得出 直接求解 是困难的 在实际应用中是只求其近 似解 求法如下 显然 与桥身的重量相比 钢缆及吊索的重量是微不足道的 故 式右边的第一 二项可以 略去而成为 d2y dx2 C T 9 积分 9 两次积分 并注意到在钢缆最低点切线是水平的 即x 0时 dy dx 0 便得到 y C 2Tx 2 h 其中h是钢缆最低点到桥身的高度 这样 吊桥的钢缆近似地呈抛物线形状 3 链条悬挂在相同高度的两点间 并且只受其自身重量的作用 它的形状如何 分析 如图4 以链条的最低点为原点 铅直向上为y轴 水平方向为x轴 建立坐标系 在链条上取两点P x y 及Q x dx y dy 设P Q间的链条长为ds 从作用在PQ段 上水平方向的力的平衡条件 知P Q处链条的张力的水平分力的大小相等 设为T 再从作 用在PQ段上垂直方向的力的平衡条件得 Ttg d Ttg wds 其中w是链条每单位长的重量 因为 8 景德镇高专学报 2000年 图4 tg dy dx tg d dy dx d dx dy dx dx ds dx1 dy dx 2 故由 得 d2y dx2 w T 1 dy dx 2 图5 设 dy dx 则 成为 d dx w T 1 2 d 1 2 w T dx 积分得 1 2 w T x C1 因为在链条最低点的切线是水平的 故x 0时 dy dx 0 即 0 式 代入 得C1 0 因此 1 2 w T x 1 2 e w Tx 因为1 2 1 1 2 e w Tx 故由 得 1 2 e w Tx e w Tx dy dx 1 2 e w Tx e w Tx 积分得y T 2w e w Tx e w Tx C2 图 6 注意最低点有x 0 y 0 故C2 T w 因此y T 2w e w Tx e w Tx T w 如果取图所示的坐标系 则由 式可知 同一链条的形状 可表示为 y 2 e x e x ch x 它叫做悬链线 下转第14页 9 第2期 吴丹桂 微分方程与数学建模 的讲稿材料 1993 10 Shallow Talk on Blurred Mathematics Zhen Chunling Maths Dept Jingdezhen College Jingdezhen 333000 Abstract Blurred mathematics is a new developing branch of mathematics which researches and handles some blurred phenomenon of mathematics and has been widely applied in manyfields This article gives a brief accout of blurred mathematics on four aspects so as to make a primary impression upon those who want to keep abreast of the subject Key words blur set subordinated fuction stochastic obscure joint number 上接第9页 参考文献 1 中山大学数学力学系 常微分方程 M 人民教育出版社 北京 1978 12 Differential Equation and Mathematical Model Wu Dangui Scientific Research Agency Jingdezhen College Jingdezhen 333000 Abstract By analysing the forming process of search light reflector arch shape of suspension bridge and suspended chain line this paper