高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用（2）课件 新人教A版选修11.ppt

第三章 导数及其应用 3 3导数在研究函数中的应用 3 3 2函数的极值与导数 自主预习学案 1 极小值点与极小值若函数f x 满足 1 在x a附近其他点的函数值f x f a 2 f a 3 在x a附近的左侧 在x a附近的右侧 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 0 f x 0 f x 0 2 极大值点与极大值若函数f x 满足 1 在x b附近其他点的函数值f x f b 2 f b 3 在x b附近的左侧 在x b附近的右侧 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 0 f x 0 f x 0 3 极值的定义 1 极小值点 极大值点统称为 2 极大值与极小值统称为 4 求函数y f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 极值点 极值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 d c a 互动探究学案 命题方向1 利用导数求函数的极值 规律方法 1 当函数f x 在点x0处连续时 判断f x0 是否为极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 3 如果f x 在点x0的左 右两侧符号不变 则f x0 不是函数f x 的极值 2 利用导数求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0得方程的根 4 利用方程f x 0的根将定义域分成若干个小开区间 列表 判定导函数在各个小开区间的符号 5 确定函数的极值 如果f x 的符号在x0处由正 负 变负 正 则f x 在x0处取得极大 小 值 3 f x0 0只是可导函数f x 在x0取得极值的必要条件 不是充分条件 例如 函数f x x3 f 0 0但x 0不是f x x3的极值点 命题方向2 已知函数极值求参数 规律方法 已知函数极值 确定函数解析式中的参数时 注意以下两点 1 根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证充分性 命题方向3 图象信息问题 思路分析 给出了y f x 的图象 应观察图象找出使f x 0与f x 0的x的取值范围 并区分f x 的符号由正到负和由负到正 再做判断 规律方法 有关给出图象研究函数性质的题目 要分清给的是f x 的图象还是f x 的图象 若给的是f x 的图象 应先找出f x 的单调区间及极 最 值点 如果给的是f x 的图象 应先找出f x 的正负区间及由正变负还是由负变正 然后结合题目特点分析求解 c 解析 设f x 与x轴的4个交点 从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 命题方向4 分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用 第二步 建联系 找解题途径 先求f x 解方程f x 0找分界点 再按a的符号讨论单调性求极值 第三步 规范解答 注意极大值点与极小值点的区别 错解分析 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 上述解法未验证x 1时函数两侧的单调性 导致错误 正解 在上述解法之后继续 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 利用函数极值研究方程根的个数 对于方程f x a的根的个数问题 我们可将问题转化为函数y f x 与函数y a的图象的交点个数问题 在解决问题时 可遵循以下步骤 第一步 利用导数判断函数y f x 的单调性及极值等情况 综合各种信息画出函数y f x 的大致图象 第二步 研究函数y f x 与y a的图象的交点个数 第三步 根据交点个数写出方程根的情况 如果方程f x 0是三次方程 也可以按照如下步骤处理 第一步 求导数y f x 解不等式f x 0和f x 0 确