直觉方法在数学解题中的运用.pdf

数学 教学 通讯 2 0 0 4年 2月 上半 月 总第 1 9 5期 重 庆 2 l 直觉方 法在数 学解题 中的运 用 江 苏省 无锡 师 范 学校 2 1 4 0 0 1 何 华 兴 直觉 就是直接 的觉察 它是人 脑对客观 事 物 的一 种 迅 速 而 直 接 的 洞 察 或 领 悟 是 人 们 自 觉 或不 自觉地 考察某 一 问题 时 在头脑 中突如 其 来 的 一 种 创 造 性 设 想 数 学 直 觉 是 人 脑 对 于 数学 对 象 的某 种 迅 速 而 直接 的洞 察或领悟 它是人类 生活 中普 遍存 在 的 直 觉 现 象 在 数 学 创 造 活 动 中 的表 现 数 学 直 觉 能力 的培养 直 接影响着 学生创造 能力的 提高 直 觉 是 发 明 的根 源 逻 辑 不 过 是 把 已经 明 白 的 东 西 告 诉 人 们 而 己 笛 卡 儿 语 直 观 的 洞察 和 逻 辑 的证 明是感 知 真 理 的两种 不 同方 式 直 观 的 洞 察 可 能 远 远 超 前 于 形 式 逻 辑 的证 明 波 利 亚 语 科 学 史 表 明 很 多 重 大 科 学 发 现 都 得 益 于 直 觉 数 学 发 现 也 不 例外 人们 在思考数学 问题 作 出数学发现时 往 往 需 要 应 用 直觉 哥德巴赫在实验 观察 归纳 的基 础上凭直 觉发现 了哥德巴赫猜想 这 一著名的猜想 到 目 前 还 未 完 全 证 明 费 马 的直 觉 产 生 了费 马 大 定 理 其 思 维 的 跳 跃 性 人 类 足 足 花 了 3 0 0多年 才 于 近 年 填 平 b克 糖 水 中有 a克糖 若 再 添 上 m 克 糖 则 糖 水 变 甜 了 这 是 小 学 生 都 能 明 白的 道 理 它就是下列 真分数 不等式的可靠直觉 丁 a 口 0 o 0 0十m 数学直觉在猜想数学 结论 发现解题思 路 把握解题实质 的过程 中 具有重要作用 1 直 觉 猜 想 严 密 论 证 自然 科学 特别 是数学 中的新 发现大 都是 从 猜 想 估 计 开 始 的 这 些 猜想 经 过 大 量 实 践 验 设 运 动 的 时 间 为 z 1 当 z为何值是 PQ BC t 1 t 2 当 告时 求 的值 u ABC o u ABC 3 APQ 能 否 与 c QB 相 似 若 能 求 出 P 的 长 若 不 能 请 说 明 理 由 以 上 都是 开放 题 开 放度 适 当 由简 单 到复 杂 层 层 提 高 给学 生 一定 思 维 空 间 使 不 同层次学 生都 能参 与 有利 于学生 施 展探 索创 新 的 能 力 由上 可 知 今 年 中考 试 题 有 以下 特 点 1 试 题 新 颖 突 破 了往 年 繁杂 的 证 明 计 算 2 贴 近 生 活 注 重 应 用 数 学 的 考 查 体 现 了时代精神 渗透 了新课程 改革 的理念 3 考 查 了学 生 多 方 面 的 能 力 如 阅读 处 理信 息 分 类 讨 论 归 纳 推 理 探 索创 新 等 4 今 年 中 考 试 题 分 数 档 次 距 离 拉 开 的 较 好 体 现 出 了能 力 差 异 部 分 优 秀 生 分 数 较 高 甚 至 满 分 一 些 学 习较 活 的 学 生 考 的 较 好 而部 分平 时 死读 书 的学 生 相对 而 言 考的 不理 想 对今年教学的几点建议 1 面 向全 体 学 生 注 重 双 基 的 基 础 上 注 重 学 生 实 际 应 用 数 学 能 力 的培 养 2 教 学 中 注 意 尊 重 学 生 个 性 发 展 克 服 学 生墨守成规 的学 习方 法 强调探 索创新 能力 的 培 养 3 关 注课程 改 革 的新 理念 并 落实 在教 学 中 维普资讯 2 2 重 庆 数学教 学 通讯 2 0 0 4年 2月 上 半 月 总第 1 9 5期 证 再 经过严 密 的论 证推理 才 获得定律 定理 等 结 论 在数学研究里 面 先猜想后论证 几乎是一 条 规 律 人 们 在 解 一 道 数 学 难 题 或 证 明 一 个 数 学 定 理 之 前 往 往 先 对 解 题 结果 或 定 理 结 论 作 一 种 大 致 的 估 量 或 猜 测 在 你 完 全 作 出解 答 或 作 山 详 细 证 明 之 前 你 先 得 推 测 解 题 的 思 路 或 证 明 的途 径 例 1 设 尸 Q 为 线 段 BC上 两 定 点 且 BP C Q A 为 BC外 一 动 点 如 图 1 当 点 运 动 到 使 BAP 一 CAQ 时 B C是 什 么三 角 形 为 什 么 分 析 根 据 已 知 条 件 BP CQ BAP一 C AQ 无 法 用 三 段 论 法 推 知 结 论 必 须 用 直 觉 来 体 会 凭 直 觉 可 猜 测 AB AC 即 X AB C 是 等 腰 三 角 形 这 种 猜 测 理 由 不 够 充 分 结 论 不 一定 可 靠 事 实 上 因 为 S 一1 B P Q C 图 1 所 以 S A c o 所 以 AB AP s i n L BAP 一 会 一l 故 AB A P AC AQ 1 同 理 由 S 加 一 S c P 可 得 B Q AC AP 2 1 X 2 得AB 一 AC 所 以 AB A C 所 以 ABC 为 等腰 三 角 形 分 析 上 述 解 题 过 程 可 知 直 觉 猜 想 对 发 现 解 题 思 路 起 了很 重 要 的作 用 2 直 觉 洞 察 科 学 预 见 数 学 直 觉 能 力 取 决 于 人 们 在 数 学 研 究 中 的直觉洞察 力 直觉 洞察力是 人们对 数学对 象 的 一 种 迅 速 识 别 直 接 理 解 综 合 判 断 的能 力 当人们 遇 到一个 数学 问题 时 往 往是 先直 觉 洞 察 题 中各 已 知 条 件 之 间 的关 系 特 别 是 题 中的 隐 含 条 件 科 学 预 见 解 题 的方 法 和 途径 而 不是直接进 行有关运算或证 明 预 见 是 只 有 确 定 性 的 念 头 如 果 你 已 搜 集 到 了 关 于 这 个 题 目 的足 够 多 的信 息 你 又 具 有 一 定 的解 题 经 验 且 是 自动 心 思 的 那 么 思考 问题 中你 会 预 见 到 一 系 列 问题 预见到答案 的形式 答 案的取值范 围 预见 到 某 一 已知 定 理 公 式 可 以应 用 某 一过 去解 过 的 问 题 的成 功 经 验 可能 有 参 考 价 值 预 见 到 回 到 某 一 专 门术 语 的意 义 可 能 有 必 要 预 见 到 为 求 得 问题 解 决 应 该 做 些 什 么 应 该 怎 样 去 做 预 见 到 对 于 用 某 种 方 法 去 做 的 能 解 性 的 初 步 推 断 等 等 厂 一 例 2 已知 Y 一2 x a r c s i n w一 厶 一 1 求 a r c t a n y的值 分析 如果 不加思索 直接进行 反三角 函数 的运算是无效果 的 为 了 有效地 推导 必须进 行 直 觉洞 察 有 眼 力 的学 生 观 察 已知 条 件 考 虑 到 偶 次 根 式 被 开 方 数 不 小 于 零 和 0 就 可 发 现题设 隐含 了条件 a r c s i n x一 0 再考 厶 虑 到反 正弦函数 的值域 a r c s i n r一 0 本 厶 题 就 不难 解 决 了 预 见 是 我 们 解 题 活 动 的 中 心 波 里 亚 语 例 2就 是 要 求运 用 直 觉 洞 察 力 作 出 以下 的 科 学 预 见 1 不能直接进行反三角 函数 的运算 2 应该注意偶次根式被开方数 的性质 3 必须考虑反正弦 函数 的值域 4 先 求 aT的 值 再 求 Y 的值 最 后 求 a r c t a n y的值 3 直 觉选 择 合 理 判 断 无论是数 学还 是其他 科学 其 发 明或发 现 的 方法都是相 似 的 所谓 发明或发 现无非就是 一 种 选 择 而 己 人 们 的 选 择 能 力 由 什 么 决 定 呢 在 各 种 可 能 性 中作 出选 择 单 单 运 用 逻 辑 思 维 按 逻 辑 规 则 进行 推理 是没法完 成 的 而是要依靠 直觉 正 如庞加莱所说 我们 面前有无 数多条 可供选 维普资讯 数 学 教学 通讯 2 O O 4年 2月 上 半 月 总 第 1 9 5期 重庆 2 3 择 的道路 逻辑 可以告诉我们走这 条路或 那条 路 保 证 不 遇 到 任 何 障 碍 但 是 它 不 能 告 诉 我 们 哪 一 条 道 路 能 引 导 我们 到 达 日的 地 为此 必 须 从 远 处 了 望 目标 而 教 导 我 们 了 望 的 本 领 是 直 觉 在 代 数 中 列 方 程 解 应 用 题 要选 择 恰 当的 未 知 数 几 何 中 对 于证 明题 要 选 择 最 佳 的 逻 辑 通 道 在 解 析 几 何 中 用 解 析 法 解 决 几 何 问 题 或 用 定 积 分 解 决 某 些 实 际 问题 时 都 要选 择 合 适 的 坐 标 系 这 一 切 的成 功 选 择 都 不 是 逻 辑推理所能胜任 的 都是要依靠直觉 直觉 的选择 作用 在解数学选择题 时 表现 得 尤 其 明 显 由 于 解题 者 的 任 务 只是 将 正 确 的 答 案 选 出 即 可 这 时 直 觉 的 洞 察 力 就 显 得 特 别 可贵 例 3 已 知 厂 为 有 理 整 函数 且 f 2 x 厂 3 1 一 1 3 6 1 则 fF f r 是 A 17 一 2 x 1 B 一 1 C 一 2 x D 分 析 由已知 条件得知 r 的次数不低 于 2 因而 I f x 的次 数不低 于 4 故结论 一定是 D 选 择题 的主要 特点 是便于 培养 考 察人们 的 直 觉 判 断 力 对 于 选 择 题 单 靠 逻辑 推 理 无 法 达 到 快 速 解 决 的 目的 而 是 要 借 助 于 直 觉 判 断 对 于 那 些 典 型 的 选 择 题 来 说 完 全 可 以凭 直 觉 判断迅速作 出选择 4 审美 直 觉 把 握 实 质 人 的 直 觉 活 动 与 审 美 活 动 密 切 相 关 在 数 学研 究 中 对美的追求是数学发展的动力之一 它 具 有 重 要 的 方 法 论 意 义 注 意 对 数 学 问题 美 学 方 面 的考 虑 有 助 于 触 发数 学 直 觉 思 维 由此 可 以 选 择 正 确 的思 维 决 策 导 致 许 多新 思 想 新 知 识 新 方 法 的 发 现 审美的 直觉 力越强 发现 和辨认 隐微 的和 谐 关 系 的 能 力 也 就 越 强 从 而 数 学 发 现 的 能 力 也 就 越 强 一 道 严 谨 的 数 学 题 是 一 个 有 机 的 整 体 其 各 个 部 分 之 间 具 有 和 谐 性 但 是 这些 和 谐 关 系 的 外 部 表 现 形 式 可 以 是 多 种 多 样 的 有 的甚 至 是 繁 杂 的 我 们 拟定 解 题 计 划 时 要 善 于 运 用 审 美 直 觉 洞察 内 在 的 隐蔽 的相 依 关 系 从 繁 杂 中区分 出简洁明 了的 实质性 的东西 从 而发现 解 题 途 径 例 4 已 知 三 正 数 Y 满 足 z y 2 1 试求 函数 厂 Y 一 1 1 专 1 的 最 小 值 直 接 求 最 小 值 无 从 下手 但 根 据 Y 在 条件 中 平 等 的地 位及 函数 f x Y 中 各 变量 的对称性 由审美 直觉 可 以猜 测 当 7C Y 一 时 函数 f x Y 取得最小值 6 4 只 需进 一步检 验猜测结果 的正确 性 即证 明不 等 式 1 1 1 6 4 工