高考数学一轮复习 第十五章 平面解析几何初步 15.3 直线与圆、圆与圆的位置关系课件.ppt

高考数学 江苏省专用 15 3直线与圆 圆与圆的位置关系 1 2017江苏 13 5分 在平面直角坐标系xoy中 a 12 0 b 0 6 点p在圆o x2 y2 50上 若 20 则点p的横坐标的取值范围是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 5 1 解析本题考查平面向量数量积及其应用 圆的方程的应用及圆与圆的相交 解法一 设p x y 则由 20可得 12 x x y 6 y 20 即 x 6 2 y 3 2 65 所以p为圆 x 6 2 y 3 2 65上或其内部一点 又点p在圆x2 y2 50上 联立得解得或即p为圆x2 y2 50的劣弧mn上的一点 如图 2 2014江苏 9 5分 0 82 在平面直角坐标系xoy中 直线x 2y 3 0被圆 x 2 2 y 1 2 4截得的弦长为 答案 解析易知圆心为 2 1 r 2 故圆心到直线的距离d 弦长为2 2 3 2013江苏 17 14分 0 495 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a 0 3 直线l y 2x 4 设圆c的半径为1 圆心在l上 1 若圆心c也在直线y x 1上 过点a作圆c的切线 求切线的方程 2 若圆c上存在点m 使ma 2mo 求圆心c的横坐标a的取值范围 解析 1 由题意知 圆心c是直线y 2x 4和y x 1的交点 解得点c 3 2 于是切线的斜率必存在 设过a 0 3 的圆c的切线方程为y kx 3 由题意得 1 解得k 0或 故所求切线方程为y 3或3x 4y 12 0 2 因为圆心在直线y 2x 4上 所以圆c的方程为 x a 2 y 2 a 2 2 1 设点m x y 因为ma 2mo 所以 2 化简得x2 y2 2y 3 0 即x2 y 1 2 4 所以点m在以d 0 1 为圆心 2为半径的圆上 由题意 点m x y 在圆c上 所以圆c与圆d有公共点 则2 1 cd 2 1 即1 3 由5a2 12a 8 0 得a r 由5a2 12a 0 得0 a 所以点c的横坐标a的取值范围为 4 2014江苏 18 16分 0 35 如图 为保护河上古桥oa 规划建一座新桥bc 同时设立一个圆形保护区 规划要求 新桥bc与河岸ab垂直 保护区的边界为圆心m在线段oa上并与bc相切的圆 且古桥两端o和a到该圆上任意一点的距离均不少于80m 经测量 点a位于点o正北方向60m处 点c位于点o正东方向170m处 oc为河岸 tan bco 1 求新桥bc的长 2 当om多长时 圆形保护区的面积最大 解析解法一 1 如图 以o为坐标原点 oc所在直线为x轴 建立平面直角坐标系xoy 由条件知a 0 60 c 170 0 直线bc的斜率kbc tan bco 因为ab bc 所以直线ab的斜率kab 设点b的坐标为 a b 则kbc kab 解得a 80 b 120 所以bc 150 m 因此新桥bc的长是150m 2 设保护区的边界圆m的半径为rm om dm 0 d 60 由条件知 直线bc的方程为y x 170 即4x 3y 680 0 由于圆m与直线bc相切 故点m 0 d 到直线bc的距离是r 即r 因为o和a到圆m上任意一点的距离均不少于80m 所以即解得10 d 35 故当d 10时 r 最大 即圆面积最大 所以当om 10m时 圆形保护区的面积最大 解法二 1 如图 延长oa cb交于点f 因为tan fco 所以sin fco cos fco 因为oa 60m oc 170m 所以of octan fco m cf m 从而af of oa m 因为oa oc 所以cos afb sin fco 又因为ab bc 所以bf afcos afb m 从而bc cf bf 150m 因此新桥bc的长是150m 2 设保护区的边界圆m与bc的切点为d 连接md 则md bc 且md是圆m的半径 并设md rm om dm 0 d 60 因为oa oc 所以sin cfo cos fco 故由 1 知sin cfo 所以r 因为o和a到圆m上任意一点的距离均不少于80m 所以即解得10 d 35 故当d 10时 r 最大 即圆面积最大 所以当om 10m时 圆形保护区的面积最大 解后反思本题的数学背景是直线与圆 在解题时可以用直线与圆的位置关系求解 还可以用解三角形的方法加以解决 考点一直线与圆的位置关系1 2017课标全国 理改编 10 5分 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右顶点分别为a1 a2 且以线段a1a2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切 则c的离心率为 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析本题考查椭圆的性质 直线与圆的位置关系 以线段a1a2为直径的圆的方程为x2 y2 a2 该圆与直线bx ay 2ab 0相切 a 即2b a2 3b2 a2 b2 c2 e 方法技巧椭圆离心率的求法 1 定义法 根据条件求出a c 直接利用公式e 求解 2 方程法 根据已知条件建立关于a b c的齐次式 然后转化为关于e的方程求解 注意要根据e的范围取舍方程的解 2 2016课标全国 改编 6 5分 圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1 则a 答案 解析由圆的方程可知圆心为 1 4 由点到直线的距离公式可得 1 解得a 3 2016课标全国 15 5分 设直线y x 2a与圆c x2 y2 2ay 2 0相交于a b两点 若 ab 2 则圆c的面积为 答案4 解析把圆c的方程化为x2 y a 2 2 a2 则圆心为 0 a 半径r 圆心到直线x y 2a 0的距离d 由r2 d2 得a2 2 3 解得a2 2 则r2 4 所以圆的面积s r2 4 评析本题考查了直线与圆的位置关系 考查了圆的方程和点到直线的距离公式 利用弦长的一半 圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键 4 2016课标全国 理 16 5分 已知直线l mx y 3m 0与圆x2 y2 12交于a b两点 过a b分别作l的垂线与x轴交于c d两点 若 ab 2 则 cd 答案4 解析由题意可知直线l过定点 3 该定点在圆x2 y2 12上 不妨设点a 3 由于 ab 2 r 2 所以圆心到直线ab的距离为d 3 又由点到直线的距离公式可得d 3 解得m 所以直线l的斜率k m 即直线l的倾斜角为30 如图 过点c作ch bd 垂足为h 所以 ch 2 在rt chd中 hcd 30 所以 cd 4 评析本题主要考查直线过定点 点到直线的距离公式 直线的斜率等知识 考查学生的运算求解能力以及数形结合思想的应用 5 2016课标全国 15 5分 已知直线l x y 6 0与圆x2 y2 12交于a b两点 过a b分别作l的垂线与x轴交于c d两点 则 cd 答案4 解析圆心 0 0 到直线x y 6 0的距离d 3 ab 2 2 过c作ce bd于e 因为直线l的倾斜角为30 所以 cd 4 解后反思本题涉及直线和圆的位置关系 要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解 6 2014课标 16 5分 0 293 设点m x0 1 若在圆o x2 y2 1上存在点n 使得 omn 45 则x0的取值范围是 答案 1 1 解析解法一 当x0 0时 m 0 1 由圆的几何性质得在圆上存在点n 1 0 或n 1 0 使 omn 45 当x0 0时 过m作圆的两条切线 切点为a b 若在圆上存在n 使得 omn 45 应有 omb omn 45 amb 90 1 x0 0或0 x0 1 综上 1 x0 1 解法二 过o作op mn p为垂足 op om sin45 1 om om2 2 1 2 1 1 x0 1 评析本题考查了数形结合思想及分析问题 解决问题的能力 7 2014江西改编 9 5分 在平面直角坐标系中 a b分别是x轴和y轴上的动点 若以ab为直径的圆c与直线2x y 4 0相切 则圆c面积的最小值为 答案 解析由题意得以ab为直径的圆c过原点o 圆心c为ab的中点 设d为切点 要使圆c的面积最小 只需圆的半径最短 也只需oc cd最小 其最小值为oe 过原点o作直线2x y 4 0的垂线 垂足为e 的长度 由点到直线的距离公式得oe 圆c面积的最小值为 评析本题考查了直线和圆的位置关系 考查了数形结合的思想方法 利用圆的性质和点到直线的距离公式得到圆的直径的最小值为oe的长度是求解的关键 8 2015四川改编 10 5分 设直线l与抛物线y2 4x相交于a b两点 与圆 x 5 2 y2 r2 r 0 相切于点m 且m为线段ab的中点 若这样的直线l恰有4条 则r的取值范围是 答案 2 4 解析当直线ab的斜率不存在 且00和kab4 y0 0 即r 2 另一方面 由ab的中点为m知b 6 x1 2y0 y1 点b a在抛物线上 2y0 y1 2 4 6 x1 4x1 由 得 2y0y1 2 12 0 4 4 2 12 0 12 r2 3 5 2 4 16 r 4 综上 r 2 4 9 2015湖北 14 5分 如图 圆c与x轴相切于点t 1 0 与y轴正半轴交于两点a b b在a的上方 且 ab 2 1 圆c的方程为 2 过点a任作一条直线与圆o x2 y2 1相交于m n两点 下列三个结论 2 2 其中正确结论的序号是 写出所有正确结论的序号 答案 1 x 1 2 y 2 2 2 10 2017课标全国 文 20 12分 在直角坐标系xoy中 曲线y x2 mx 2与x轴交于a b两点 点c的坐标为 0 1 当m变化时 解答下列问题 1 能否出现ac bc的情况 说明理由 2 证明过a b c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 解析 1 不能出现ac bc的情况 理由如下 设a x1 0 b x2 0 则x1 x2满足x2 mx 2 0 所以x1x2 2 又c的坐标为 0 1 故ac的斜率与bc的斜率之积为 所以不能出现ac bc的情况 2 bc的中点坐标为 可得bc的中垂线方程为y x2 由 1 可得x1 x2 m 所以ab的中垂线方程为x 联立又 mx2 2 0 可得所以过a b c三点的圆的圆心坐标为 半径r 故圆在y轴上截得的弦长为2 3 即过a b c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 11 2015广东 20 14分 已知过原点的动直线l与圆c1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点a b 1 求圆c1的圆心坐标 2 求线段ab的中点m的轨迹c的方程 3 是否存在实数k 使得直线l y k x 4 与曲线c只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 解析 1 圆c1的方程x2 y2 6x 5 0可化为 x 3 2 y2 4 所以圆心坐标为 3 0 2 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 m x0 y0 则x0 y0 由题意可知直线l的斜率必存在 设直线l的方程为y tx 将上述方程代入圆c1的方程 化简得 1 t2 x2 6x 5 0 由题意 可得 36 20 1 t2 0 x1 x2 所以x0 代入直线l的方程 得y0 因为 3x0 所以 由 解得t2 又t2 0 所以 x0 3 所以线段ab的中点m的轨迹c的方程为 y2 3 由 2 知 曲线c是在区间上的一段圆弧 如图 d e f 3 0 直线l过定点g 4 0 联立直线l的方程与曲线c的方程 消去y整理得 1 k2 x2 3 8k2 x 16k2 0 令判别式 0 解得 k 由求根公式解得交点的横坐标为xh i 由图可知 要使直线l与曲线c只有一个交点 则k kdg keg kgh kgi 即k 考点二圆与圆的位置关系 2013重庆理改编 7 5分 已知圆c1 x 2 2 y 3 2 1 圆c2 x 3 2 y 4 2 9 m n分别是圆c1 c2上的动点 p为x轴上的动点 则 pm pn 的最小值为 答案5 4 解析圆c1 c2如图所示 设p是x轴上任意一点 则 pm 的最小值为 pc1 1 同理 pn 的最小值为 pc2 3 则 pm pn 的最小值为 pc1 pc2 4 作c1关于x轴的对称点c 1 2 3 连接c 1c2 与x轴交于点p 连接pc1 根据三角形两边之和大于第三边可知 pc1 pc2 的最小值为 c 1c2 则 pm pn 的最小值为5 4 评析本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识 同时又考查了数形结合思想 转化思想 1 2014湖北 12 5分 直线l1 y x a和l2 y x b将单位圆c x2 y2 1分成长度相等的四段弧 则a2 b2 c组教师专用题组 答案2 解析由题意知直线l1和l2与单位圆c所在的位置如图 因此或故a2 b2 1 1 2 评析本题考查了直线和圆的位置关系 考查了直线的斜率和截距 考查了数形结合的思想方法 正确画出图形求出a和b的值是解题的关键 2 2013山东理改编 9 5分 过点p 3 1 作圆 x 1 2 y2 1的两条切线 切点分别为a b 则直线ab的方程为 答案2x y 3 0 解析设a x1 y1 b x2 y2 直线pa的方程 x1 1 x 1 y1y 1 直线pb的方程 x2 1 x 1 y2y 1 又点p在pa pb上 x1 1 3 1 y1 1 1 即2x1 y1 3 0 x2 1 3 1 y2 1 1 即2x2 y2 3 0 直线l 2x y 3 0既过a点又过b点 直线ab的方程 2x y 3 0 3 2014北京 19 14分 已知椭圆c x2 2y2 4 1 求椭圆c的离心率 2 设o为原点 若点a在椭圆c上 点b在直线y 2上 且oa ob 试判断直线ab与圆x2 y2 2的位置关系 并证明你的结论 解析 1 由题意知 椭圆c的标准方程为 1 所以a2 4 b2 2 从而c2 a2 b2 2 因此a 2 c 故椭圆c的离心率e 2 直线ab与圆x2 y2 2相切 证明如下 设点a b的坐标分别为 x0 y0 t 2 其中x0 0 因为oa ob 所以 0 即tx0 2y0 0 解得t 当x0 t时 y0 代入椭圆c的方程 得t 故直线ab的方程为x 圆心o到直线ab的距离d 此时直线ab与圆x2 y2 2相切 当x0 t时 直线ab的方程为y 2 x t 即 y0 2 x x0 t y 2x0 ty0 0 圆心o到直线ab的距离d 又 2 4 t 故d 此时直线ab与圆x2 y2 2相切 综上 直线ab与圆2 y2 2相切 评析本题考查了椭圆相关知识 直线与圆的位置关系 坐标法等知识 考查数形结合 推理论证能力 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017南京高三学情调研 在平面直角坐标系xoy中 若直线ax y 2 0与圆心为c的圆 x 1 2 y a 2 16相交于a b两点 且 abc为直角三角形 则实数a的值是 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 45分钟分值 60分 答案 1 解析由题意得圆心c 1 a 到直线ax y 2 0的距离为 即 解得a 1 2 2017常州一中质量检测 10 已知点p为圆c x2 y2 2x 4y 1 0上的动点 点p到直线l的最大距离为6 若点a在直线l上 过a作圆c的切线ab 切点为b 则 ab 的最小值是 答案2 解析圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 4 画出示意图 可以得出当点a到圆心c的距离最小时 ab 最小 此时a c p三点共线 由已知得 ca min 4 又 cb 2 所以 ab min 2 3 2017江苏南通 扬州 泰州三模 13 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 0 2 点b 1 1 p为圆x2 y2 2上一动点 则的最大值是 答案2 解析设p x y 则由已知可得 p x y 在圆x2 y2 2上 令 t 则x 2t 1 y 3t 2 0 圆心到直线x 2t 1 y 3t 2 0的距离应满足 解得0 t 4 故 4 的最大值为2 4 2016江苏扬州中学期中 10 已知直线x y 3 0与圆o x2 y2 r2 r 0 相交于m n两点 若 3 则圆的半径r 答案 解析设m x1 y1 n x2 y2 将x y 3 0与x2 y2 r2 r 0 联立 消去y得2x2 6x 9 r2 0 所以x1 x2 3 x1x2 9 r2 所以y1y2 9 r2 由 3可得 9 r2 9 r2 3 所以r 5 2016江苏淮安五模 12 已知圆o x2 y2 1 若直线y x 2上总存在点p 使得过点p的圆o的两条切线互相垂直 则实数k的最小值为 答案1 解析因为过点p的 o的两条切线互相垂直 所以点p到圆心o的距离为 1 又因为直线y x 2上总存在这样的点p 所以圆心o到直线y x 2的距离小于或等于 则 k 1 故k的最小值为1 二 解答题 共35分 6 2016江苏如东高级中学期中 16 已知直线l与圆c x2 y2 2x 4y a 0相交于a b两点 弦ab的中点为m 0 1 1 求实数a的取值范围以及直线l的方程 2 若以ab为直径的圆过原点o 求圆c的方程 解析 1 由已知得22 4 2 4a 0 所以a 5 因为m 0 1 在圆c内 所以12 4 a 0 所以a 3 所以a 3 由圆的方程得c 1 2 因为弦ab的中点为m 0 1 所以直线l cm 易求kcm 1 所以kl 1 所以直线l的方程为y x 1 2 由得2x2 a 3 0 故x1 x2 不妨设a b 因为以ab为直径的圆过原点o 所以oa ob 所以 1 a 2 0 故a 2 故圆c的方程为x2 y2 2x 4y 2 0 7 2016江苏五校联考 已知圆o1 x2 y2 8x 8y 48 0 圆o2过点a 0 4 1 若圆o2与圆o1相切于点b 2 2 求圆o2的方程 2 若圆o2过点c 4 0 圆o1 o2相交于点m n 且两圆在点m处的切线互相垂直 求直线mn的方程 解析 1 由已知得圆o1的圆心坐标为 4 4 圆o2与圆o1相切于点 2 2 圆o2的圆心在直线y x上 不妨设其圆心为 a a 圆o2过点 2 2 0 4 a2 a 4 2 2 a 2 2 a 0 a2 a 4 2 16 圆o2的方程为x2 y2 16 2 圆o2过点 0 4 4 0 圆o2的圆心所在的直线为y x 不妨设圆心坐标为 m m 两圆在交点处的切线相互垂直 且圆o1的圆心坐标为 4 4 半径为4 m 4 2 m 4 2 42 m2 m 4 2 m 4 圆o2的方程为 x 4 2 y 4 2 80 圆o1与圆o2的方程相减并整理得直线mn的方程为x 3 2 y 12 1 0 8 2015江苏南京模拟 17 在平面直角坐标系xoy中 圆o x2 y2 1 p为直线l x t 1 t 2 上一点 1 已知t 若点p在第一象限 且op 求过点p的圆o的切线方程 若存在过点p的直线交圆o于点a b 且b恰为线段ap的中点 求点p的纵坐标的取值范围 2 设直线l与x轴交于点m 线段om的中点为q r为圆o上一点 且rm 1 直线rm与圆o交于另一点n 求线段nq长的最小值 解析 1 设点p的坐标为 因为op 所以 解得y0 1 又点p在第一象限 所以y0 1 即p的坐标为 易知过点p的圆o的切线的斜率必存在 可设切线的斜率为k 则切线方程为y 1 k 即kx y 1 k 0 于是有 1 解得k 0或k 因此过点p的圆o的切线方程为y 1或24x 7y 25 0 设a x y 则b 因为点a b均在圆o上 所以有即 由题意得上述方程组有解 即圆x2 y2 1与圆 y y0 2 4有公共点 于是1 3 解得 y0 即点p的纵坐标的取值范围是 2 设r x2 y2 则解得x2 1 直线rm的方程为y x t 由及 1 可得n点横坐标为 所以nq 所以当t2 即t 时 nq长的最小值为 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017江苏淮阴中学第一学期期中 13 如图 已知点a为圆o x2 y2 9与圆c x 5 2 y2 16在第一象限内的交点 过点a的直线l被圆o和圆c所截得的弦分别为na ma m n不重合 若 na ma 则直线l的斜率是 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 70分钟分值 75分 答案 解析联立得解得则a 经验证直线l的斜率存在 设斜率为k 则直线l的方程为y k 即5kx 5y 12 9k 0 由于 na ma 所以9 16 解得k 思路分析联立两圆的方程可求得a的坐标 经验证直线l的斜率存在 设为k 可求得直线l的方程 结合 na ma 可得结果 2 2017江苏泰州中学高三摸底考试 11 已知圆o x2 y2 r2 r 0 及圆上的点a 0 r 过点a的直线l交圆于另一点b 交x轴于点c 若 oc bc 则直线l的斜率为 答案 解析直线l的斜率显然存在 设为k 则直线l y kx r 与x2 y2 r2联立 解得b 而c 由 oc bc 得 解得k 思路分析直线l的斜率显然存在 设为k 则直线l的方程为y kx r 求出b c的坐标 利用 oc bc 建立方程 即可求出直线l的斜率 3 2017苏锡常镇四市教学情况调研 一 10 在平面直角坐标系xoy中 过点m 1 0 的直线l与圆x2 y2 5交于a b两点 其中a点在第一象限内 且 2 则直线l的方程为 答案y x 1 解析设am m 由 2 得ab 3m 设ab的中点为d 则md m m m 所以od2 1 5 解得m 从而od 易知直线l的斜率存在且大于0 设其斜率为k 则直线l的方程为y k x 1 即kx y k 0 所以 解得k 1或k 1 舍 从而所求直线l的方程为y x 1 4 2016江苏扬州期末 13 已知圆o x2 y2 4 若不过原点o的直线l与圆o交于p q两点 且满足直线op pq oq的斜率依次成等比数列 则直线l的斜率为 答案 1 解析由已知得l的斜率存在 设l y kx b b 0 代入圆的方程 化简得 1 k2 x2 2kbx b2 4 0 设p x1 y1 q x2 y2 得x1 x2 x1x2 kop koq k2 kb k2 kb 由kop koq k2得 k2 解得k 1 5 2016江苏泰州调研 13 在平面直角坐标系xoy中 过点p 5 a 作圆c x2 y2 2ax 2y 1 0的两条切线 切点分别为m x1 y1 n x2 y2 且 0 则实数a的值为 答案3或 2 解析圆心为c a 1 由 0得 2 x2 x1 又因为点m n在圆上 所以 2ax1 2y1 1 2ax2 2y2 1 所以 a 1 x2 x1 y2 y1 即kmn a 1 由题意得mn pc kpc 所以kmn 所以 a 1 解之得a 3或a 2 二 解答题 共50分 6 2017江苏如东高级中学第二次学情调研 18 如图所示 已知圆a的圆心在直线y 2x上 且该圆上存在两点关于直线x y 1 0对称 已知圆a与直线l1 x 2y 7 0相切 过点b 2 0 的动直线l与圆a相交于m n两点 q是mn的中点 直线l与l1相交于点p 1 求圆a的方程 2 当 mn 2时 求直线l的方程 3 是否为定值 如果是 求出定值 如果不是 请说明理由 解析 1 由圆a上存在两点关于直线x y 1 0对称知圆心a在直线x y 1 0上 由得则a 1 2 设圆a的半径为r 因为圆a与直线l1 x 2y 7 0相切 所以圆a的半径r 2 所以圆a的方程为 x 1 2 y 2 2 20 2 当直线l与x轴垂直时 其方程为x 2 易知符合题意 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y k x 2 即kx y 2k 0 连接aq 则aq mn mn 2 aq 1 由 aq 1 得k 直线l的方程为y x 2 即3x 4y 6 0 所求直线l的方程为x 2或3x 4y 6 0 3 aq bp 0 2 2 2 2 当直线l与x轴垂直时 得p 则 又 1 2 2 10 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y k x 2 由解得p 2 2 10 综上所述 是定值 定值为 10 易错警示求解第 2 3 问时不要忘了当直线l与x轴垂直时的情况 7 2016江苏如东高级中学期中 18 如图 地面上有一竖直放置的圆形标志物 圆心为c 与地面的接触点为g 与圆形标志物在同一平面内的地面上点p处有一个观测点 且pg 50m 在观测点正前方10m处 即pd 10m 有一个高为10m 即ed 10m 的广告牌遮住了视线 因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从a到f的圆弧 1 若圆形标志物半径为25m 以pg所在直线为x轴 g为坐标原点 建立直角坐标系 求圆c和直线pf的方程 2 若在点p处观测该圆形标志的最大视角 即 apf 的正切值为 求该圆形标志物的半径 解析 1 建系后 圆c的方程为x2 y 25 2 252 设直线pf的方程为y k x 50 k 0 因为直线pf与圆c相切 所以 25 解得k k 0舍去 所以直线pf的方程为y x 50 即4x 3y 200 0 2 以pg所在直线为x轴 g为坐标原点建立直角坐标系 设直线pf的方程为y k x 50 k 0 圆c的方程为x2 y r 2 r2 r 0 由已知得直线pe的倾斜角为 因为tan apf tan gpf gpa 所以k 所以直线pf的方程为y x 50 即40 x 9y 2000 0 因为直线pf与圆c相切 所以 r 解得r 40 故该圆形标志物的半径为40m 8 2016江苏连云港调研 17 如图 某城市有一块半径为1 单位 百米 的圆形景观 圆心为c 有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路 最初规划在拐角处 图中阴影部分 只有一块绿化地 后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路 方便市民往返两条道路 规划部门采纳了此建议 决定在绿化地中增建一条与圆c相切的小道ab 问 a b两点应选在何处可使得小道ab的长度最短 解析如图 分别由两条道路所在直线为x轴 y轴 建立直角坐标系xoy 设a a 0 b 0 b 0 a 1 0 b 1 则直线ab的方程为 1 即bx ay ab 0 因为ab与圆c相切 且c 1 1 所以 1 化简得ab 2 a b 2 0 即ab 2 a b 2 因此 ab 因为0 a 1 0 b 1 所以0 a b 2 于是 ab 2 a b 又ab 2 a b 2 解得0 a b 4 2 或a b 4 2 因为0 a b 2 所以0 a b 4 2 所以 ab 2 a b 2 4 2 2 2 当且仅当a b 2 时取等号 所以 ab 的最小值为2 2 此时a b 2 答 当a b两点离道路的交点都为 2 百米时 小道ab的长度最短 9 2015江苏泰州一模 17 如图 我市有一个健身公园 由一个以pq为直径的半圆和一个以pq为斜边的等腰直角三角形prq构成 其中o为pq的中点 pq 2km 现准备在公园里修建一条四边形健康跑道abcd 按实际需要 四边形abcd的两个顶点c d分别在线段qr pr上 另外两个顶点a b在半圆上 ab cd pq 且ab与cd间的距离为1km 设四边形abcd的周长为ckm 1 若c d分别为qr pr的中点 求ab的长 2 求c的最大值 解析 1 连接ro并延长 分别交cd ab于n m 连接ob c d分别为qr pr的中点 pq 2km cd pq 1km prq为等腰直角三角形 pq为斜边 ro pq 1km no ro km 由题意知mn 1km mo km 易知ro pq rm ab 在rt bmo中 bo 1km bm km ab 2bm km 2 设 bom 0 在rt bmo中 bo 1km bm sin km om cos km mn ro 1km cn rn 1 on om cos km bc ad km c ab cd bc ad 2 sin cos 2 2当且仅当 或时取等号 当 或 时 c的最大值为2 一 填空题1 2017南通第三次调研考试 在平面直角坐标系xoy中 圆c1 x 1 2 y2 2 圆c2 x