高考数学 321精品系列专题04 三角函数（教师版）.doc

用心 爱心 专心1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0404 三角函数 教师版 三角函数 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 三角恒等变换 1 和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 正切公式 能利用两角差的 余弦公式导出两角和的正弦 余弦 正切公式 导出二倍角的正弦 余弦 正切公式 了 解它们的内在联系 2 简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换 包括导出积化和差 和差化积 半角公式 但对这三组公式不要求记忆 解三角形 1 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三 角形度量问题 2 应用 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题 考纲解读 三角题目一般不难 三角函数重点考查化简求值 图像变换 恒等变换 解答题中单纯的三角变换问题已不多见 要重视解三角形 特别是实际应用问题 解答题 也要重视与其它知识的综合 如平面向量 近几年考点分布近几年考点分布分析近五年的全国高考试题 有关三角函数的内容平均每年有 25 分 约占 17 试题的内容主要有两方面 其一是考查三角函数的性质和图象变换 尤其是三角 函数的最大值 最小值和周期 题型多为选择题和填空题 其二是考查三角函数式的恒等变 形 如利用有关公式求植 解决简单的综合问题 除了在填空题和选择题中出现外 解答 题的中档题也经常出现这方面的内容 是高考命题的一个常考的基础性的题型 其命题热 点是章节内部的三角函数求值问题 命题新趋势是跨章节的学科综合问题 因此 在复习 过程中既要注重三角知识的基础性 突出三角函数的图象 周期性 单调性 奇偶性 对 称性等性质 以及化简 求值和最值等重点内容的复习 又要注重三角知识的工具性 突 出三角与代数 几何 向量的综合联系 以及三角知识的应用意识 基于以上分析 预测 在 2012 年的高考试卷中 考查三角函数的题仍为一小题一大题 主要考查 三基 基础知 识 基本技能 基本思想和方法 以及综合能力 难度多为容易题和中档题 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用有关三角函数的概念和公式的简单应用 用心 爱心 专心2 1 322 21 21 tan1 tan1 cos sin 1 cos sin 1 sincos sincos 8 分 2 22 2 2 cossin coscossin 1coscossin1 3 24 12 12 1 1 cos sin 1 cos sin 1 2 2 名师点睛名师点睛 给角求值问题 利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值 对于给值求值的问题的结构特点是 齐次式 求值时通常利用同角三角函数关系式 常数 化为正弦和余弦的性质 再把正弦化为正切函数的形式 考点二考点二 有关三角函数的性质问题有关三角函数的性质问题 例 3 已知函数 2 2 3sin cos2cos1 f xxxxxr 求函数 f x的最小正 周期及在区间0 2 上的最大值和最小值 若 00 6 54 2 f xx 求 0 cos2x的值 用心 爱心 专心3 所以函数 f x在区间0 2 上的最大值为 2 最小值为 1 由 1 可知 00 2sin 2 6 f xx 又因为 0 6 5 f x 所以 0 3 sin 2 65 x 由 0 4 2 x 得 0 27 2 636 x 从而 2 00 4 cos 21 sin2 665 xx 所以 0000 34 3 cos2cos2cos 2cossin 2sin 66666610 xxxx 名师点睛名师点睛 1 求三角函数的周期 单调区间 最值及判断三角函数的奇偶性 往往是在 定义域内 先化简三角函数式 尽量化为y asin x b的形式 然后再求解 2 对于形如y asin x bcos x型的三角函数 要通过引入辅助角化为 y sin x cos sin 的形式来求 a2 b2 a a2 b2 b a2 b2 例 4 设函数 sincosf xmxx xr 的图象经过点 2 1 求 yf x 的解 析式 并求函数的最小正周期和单调递增区间 若 2sin 12 fa 其中a是面积 为 3 3 2 的锐角abc 的内角 且2ab 求ac和bc的长 解 函数 sincosf xmxx xr 的图象经过点 2 1 sincos1 22 m 1m 用心 爱心 专心4 sincos2sin 4 f xxxx 4 分 函数的最小正周期2t 5 分 由22 242 kxk 可得 3 22 444 kxk yf x 的调递增区间为 3 2 2 44 kkkz 7 分 因为 2sin 12 fa 即 2sin2sin 123 fa sinsin 3 a 9 分 a是面积为 3 3 2 的锐角abc 的内角 3 a 10 分 13 sin3 22 abc sab aca a 3ac 12 分 由余弦定理得 222 2cos7bcacabab aca 13 分 名师点睛名师点睛 求函数y asin x 或y acos x 或y atan x 的 单调区间 1 将 化为正 2 将 x 看成一个整体 由三角函数的单调性求解 例 5 已知函数 sin sin cos 66 f xxxxa ar a 为常数 求函数 f x的最小正周期 若函数 f x在 2 2 上的最大值与最小值之和为3 求 实数a的值 由题意 有 3 2 3aa 31a 12 分 名师点睛名师点睛 求三角函数式最值的方法 1 将三角函数式化为y asin x b的 形式 进而结合三角函数的性质求解 2 将三角函数式化为关于 sin x cos x的二次函 数的形式 进而借助二次函数的性质求解 用心 爱心 专心5 考点三考点三 三角函数的图象变换三角函数的图象变换 例 6 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数sin 2 6 yx 的图像 a 向左平移 4 个长度单位 b 向右平移 4 个长度单位 c 向左平移 2 个长度单位 d 向右平移 2 个长度单位 名师点睛名师点睛 三角函数图象的变换规则是 平移时 左加右减 上加下减 伸缩的倍数是 求三角函数的最值 一般要把三角函数化为f x asin x b 的形式 有时还要注意 x 的取值范围 例 7 已知函数 2 0 0 sin axaxf的 部分图象如下图所示 1 求函数 xf的解析式并写出其所有 对称中心 2 若 xg的图象与 xf的图象关于点 p 4 0 对称 求 xg的单调递增区间 解 1 由图可得 a 2 8 2 6 2 t 所以 8 16 t 2 分则此时 8 sin 2 xxf 将点 2 2代入 可得 4 4 分 48 sin 2 xxf 对称中心为 82 0 kkz 7 分 2 由 xg的图角与 xf的图象关于点 p 4 0 对称 得 8 xfxg 9 分 xg 4 8 8 sin 2 x 4 5 8 sin 2 84 5 sin 2 xx 11 分 令 1416616 2 2 4 5 82 2zkkxkkxk 得 即 xg单调递增区间为 16k 6 16k 14 kz 13 分 名师点睛名师点睛 本题 三角函数图象与 x 轴的交点中 相邻两个交点之间的距离正好是半个 周期 从而确定参数 由最高点和最低点可确定振幅a 代入某一点的坐标到三角函数 解析式可以确定初相 求给定区间上的三角函数的最值 或值域 问题 一般思路是 求x 的范围 并作为一个整体 借助基本函数sin cosyx yx 解决 由图象求解 析式时 找准关键点 的确定很重要 尽量使 a 取正值 用心 爱心 专心6 考点四考点四 三角恒等变换三角恒等变换 例 8 cos13 计算si n43cos43 si n13的值等于 a 1 2 b 3 3 c 2 2 d 3 2 解析 原式 1 sin 43 13 sin30 2 故选 a 例 9 若 4 cos 5 是第三象限的角 则 1tan 2 1tan 2 a 1 2 b 1 2 c 2 d 2 解解 由已知得 3 sin 5 所以 3 tan 4 又 2 属于第二或第四象限 故由 2 2tan 2 tan 1tan 2 1 sin1 cos2 例 10 2 3sin70 2cos 10 a 1 2 b 2 2 c 2d 3 2 用心 爱心 专心7 解解 2 222 3sin703cos203 2cos 101 2 2cos 102cos 102cos 10 名师点睛名师点睛 给值求值 给值求角问题 发现差异 观察角 函数运算间的差异 即进 行所谓的 差异分析 寻找联系 运用相关公式 找出差异之间的内在联系 合理转 化 选择恰当的公式 促使差异的转化 例 11 求值 00 00 cos40sin50 13tan10 sin701 cos40 名师点睛名师点睛 合理转化 选择恰当的公式 促使差异的转化 例 12 已知 0 2 2 7 cos2 9 7 sin 9 求cos 的值 求sin 的值 解 因为 2 cos0 又 2 7 cos22cos1 9 所以 1 cos 3 根据 得 2 2 2 sin1 cos 3 8分 而 3 22 且 7 sin 9 2 4 2 cos 1 sin 9 1 故sinsin sin coscos sin 714 22 21 93933 名师点睛名师点睛 善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系 整体运用条件中角的函数值 可使问题简化 角的常见变换 2 2 2 2 考点五考点五 解三角形及实际应用解三角形及实际应用 例 13 在成且已知的对边分别为角中cbabcbacbaabc 13 5 sin 等比数列 用心 爱心 专心8 名师点睛名师点睛 正弦定理 余弦定理都体现了三角形的边角关系 解题时要根据具体题目合 理选用 有时还需要交替使用 例 14 如图 a b是海面上位于东西方向相距 5 3 海里的两个观测点 现位 3 于a点北偏东 45 b点北偏西 60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南 偏西 60 且与b点相距 20海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30 3 海里 小时 该救援船到达d点需要多长时间 解 由题意知ab 5 3 海里 dba 90 60 30 dab 90 3 45 45 adb 180 45 30 105 在 dab中 由正弦定理得 db sin dab ab sin adb db ab sin dab sin adb 5 3 3 sin 45 sin 105 5 3 3 sin 45 sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 10 海里 又 dbc dba abc 30 90 60 60 5 3 3 1 3 1 23 bc 20 海里 在 dbc中 由余弦定理得cd2 bd2 bc2 2bd bc cos dbc 3 300 1 200 2 10 20 900 cd 30 海里 则需要的时间t 1 小时 33 1 2 30 30 答 救援船到达d点需要 1 小时 名师点睛名师点睛 将所求问题归结为一个或多个三角形问题中 运用解三角形的知识解决实际 问题时 关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素 然后解三角形求之 例 15 o某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 用心 爱心 专心9 在小艇出发时 轮船位于港口 o 北偏西30 且与该港口相距 20 海里的 a 处 并以 30 海 里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小船沿直线方向以v海里 小时的航行速 度匀速行驶 经过 t 小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航 行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 小时 试设计航 行方案 即确定航行方向与航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明 理由 从而300 0 直线x 4 和x 5 4 是函数 sin f xx 图像的两条相邻的对称轴 则 a b c d 4 3 2 3 4 解析 由题设知 5 44 1 4 2 k kz 4 k kz 0 4 故选 a 25 2012 年高考 福建文 函数 sin 4 f xx 的图像的一条对称轴是 a 4 x b 2 x c 4 x d 2 x 解析 把 4 x 代入后得到 1f x 因而对称轴为 4 x 答案 c 正确 考点定位 此题主要考查三角函数的图像和性质 代值逆推是主要解法 26 2012 年高考 大纲文 若函数 sin 0 2 3 x f x 是偶函数 则 a 2 b 2 3 c 3 2 d 5 3 用心 爱心 专心17 而 0 2 故0k 时 3 2 故选答案 c 27 2012 年高考 安徽文 要得到函数cos 21 yx 的图象 只要将函数 cos2yx 的图象 a 向左平移 1 个单位 b 向右平移 1 个单位 c 向左平移 1 2 个单位 d 向右平移 1 2 个 单位 解析 cos2cos 21 yxyx 左 1 平移 1 2 选c 28 2012 年高考 新课标理 已知0 函数 sin 4 f xx 在 2 上单调递 减 则 的取值范围是 a 1 5 2 4 b 1 3 2 4 c 1 0 2 d 0 2 解析 59 2 444 x 不合题意 排除 d 35 1 444 x 合题意 排除 b c 另 2 2 3 424422 x 得 315 2424224 选a 二 填空题 1 2012 年高考 大纲文 当函数sin3cos 02 yxxx 取最大值时 x 解析 由sin3cos2sin 3 yxxx 由 5 02 333 xx 可知 22sin 2 3 x 当且仅当 3 32 x 即 11 6 x 时取得最小值 32 x 时即 5 6 x 取得最大值 2 2012 年高考 江苏 设 为锐角 若 4 cos 65 则 12 2sin a的值为 用心 爱心 专心18 解析 为锐角 即0 2 2 66263 0 sina 2 5 1cos 3 a 又5cosc sinb sin a c sinacosc sinccosa 5 3 cosc 2 3 sinc 整理得 tanc 5 由图辅助三角形知 sinc 5 6 又由正弦定理知 sinsin ac ac 故3c 1 对角a运用余弦定理 cosa 222 2 23 bca bc 2 解 1 2 得 3b or b 3 3 舍去 abc的面积为 s 5 2 22 2012 年高考 辽宁理 在abc 中 角a b c的对边分别为a b c 角a b c成等 差数列 求cosb的值 边a b c成等比数列 求sinsinac的值 解析 1 由已知 1 2 cos 32 b a c a b cbb 2 解法一 2 bac 由正弦定理得 2 3 sinsin sin 4 acb 解法二 2 bac 22222 1 cos 222 ac bac ac b acac 由此得 22 ac ac ac得 a c 所以 3 a b c 3 sinsin 4 ac 用心 爱心 专心32 点评 本题主要考查三角形的正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理及等差 等比数 列的定义 考查转化思想和运算求解能力 属于容易题 第二小题既可以利用正弦定理把边的 关系转化为角的关系 也可以利用余弦定理得到边之间的关系 再来求最后的结果 23 2012 年高考 江西理 在 abc 中 角 a b c 的对边分别为 a b c 已知 sin sin 444 abccba 1 求证 2 bc 2 若a 2 求 abc 的面 积 解析 1 证明 由 sin sin 44 bccba 及正弦定理得 所以三角形 abc 的面积 1521 sin2sinsin2sincossin 28888242 bca 点评 本题考查解三角形 三角形的面积 三角恒等变换 三角和差公式以及正弦定理的 应用 高考中 三角解答题一般有两种题型 一 解三角形 主要是运用正余弦定理来求解边 长 角度 周长 面积等 二 三角函数的图像与性质 主要是运用和角公式 倍角公式 辅助角 公式进行三角恒等变换 求解三角函数的最小正周期 单调区间 最值 值域 等 来年需要注 意第二种题型的考查 24 2012 年高考 江苏 在abc 中 已知3abacba bc aa 1 求证 tan3tanba 2 若 5 cos 5 c 求 a 的值 解析 1 3abacba bc aa cos 3cosab acaba bcbaaaa 即 cos 3cosacabcbaa 由正弦定理 得 sinsin acbc ba sincos 3sincosbaabaa 用心 爱心 专心33 又 0 abb sinsin 3 coscos ba ba a即tan3tanba 2 5 cos0 5 c c tan 1a 4 a 考点 平面微量的数量积 三角函数的基本关系式 两角和的正切公式 解三角形 25 2012 年高考 大纲理 abc 的内角a b c的对边分别为a b c 已知 cos cos1 2acbac 求c 点评 该试题从整体来看保持了往年的解题风格 依然是通过边角的转换 结合了三角形 的内角和定理的知识 以及正弦定理和余弦定理 求解三角形中的角的问题 试题整体上比较 稳定 思路也比较容易想 先将三角函数关系式化简后 得到 a c角关系 然后结合2ac 得到两角的二元一次方程组 自然很容易得到角c的值 26 2012 年高考 重庆文 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 设函数 sin f xax 其中0 0 a 在 6 x 处取得最大值 2 其图象 与轴的相邻两个交点的距离为 2 i 求 f x的解析式 ii 求函数 42 6cossin1 6 xx g x f x 的值域 解析 由题设条件知 f x的周期t 即 2 解得2 因 f x在 6 x 处取得最大值 2 所以2a 从而sin 2 1 6 所以22 62 kkz 又由 得 6 用心 爱心 专心34 故 f x的解析式为 2sin 2 6 f xx 4242 6cossin16coscos2 2cos2 2sin 2 2 xxxx g x x x 22 2 2cos1 3cos2 2 2cos1 xx x 22 31 cos1 cos 22 xx 因 2 cos 0 1 x 且 2 1 cos 2 x 故 g x 的值域为 77 5 1 44 2 27 2012 年高考陕西 函数 sin 1 6 f xax 0 0a 的最大值为 3 其图 像相邻两条对称轴之间的距离为 2 1 求函数 f x的解析式 2 设 0 2 则 2 2 f 求 的值 解析 函数 f x的最大值是 3 13a 即2a 函数图像的相邻两 条对称轴之间的距离为 2 最小正周期t 2 故函数 f x的解析式为 2sin 2 1 6 f xx 2 f 2sin 12 6 即 1 sin 62 0 2 663 66 故 3 用心 爱心 专心35 tantan3 tantan3 tantan2tan 3 1tantan1 2 考点定位 此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值 3 解析 0a b 2 12cos0 2 cos22cos10 故选 c 4 答案 a 解析 2 sincos2 sincos 2 sin21 故选 a 点评 本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力 属于容易 题 5 答案 a 解析一 sincos2 2sin 2 sin 1 44 3 0 tan1 4 故选 a 解析二 2 sincos2 sincos 2 sin21 33 0 2 0 2 2 tan1 24 故选 a 点评 本题主要考查三角函数中的和差公式 倍角公式 三角函数的性质以及转化 思想和运算求解能力 难度适中 6 答案 b 解析 主要考查三角函数的运算 分子分母同时除以cos 可得tan3 带入所 求式可得结果 用心 爱心 专心36 2 7 d 解析 本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想 因为 22 1sincossincos1 tan4 1 tancossinsincos sin2 2 所以 1 sin2 2 点评 本题需求解正弦值 显然必须切化弦 因此需利用公式 sin tan cos 转化 另外 22 sincos 在转化过程中常与 1 互相代换 从而达到化简的目的 关于正弦 余弦的 齐次分式 常将正弦 余弦转化为正切 即弦化切 达到求解正切值的目的 体现考纲中要求 理解三角函数的基本关系式 二倍角公式 来年需要注意二倍角公式的正用 逆用等 9 解析 因为 2 4 所以 2 2 02cos 所以 8 1 2sin12cos 2 又 8 1 sin212cos 2 所以 16 9 sin 2 4 3 sin 选 d 10 答案 b 解析 f x sinx cos x 6 31 sincossin3sin 226 xxxx sin 1 1 6 x f x 值域为 3 3 点评 利用三角恒等变换把 f x化成sin ax 的形式 利用 sin 1 1x 求得 f x的值域 11 答案 a 命题意图 本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角 公式的运用 首先利用平方法得到二倍角的正弦值 然后然后利用二倍角 的余弦公式 将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题 用心 爱心 专心37 解析 3 sincos 3 两边平方可得 12 1 sin2sin2 33 是第二象限角 因此sin0 cos0 所以 2 215 cossin cossin 1 33 22 5 cos2cossin cossin cossin 3 法二 单位圆中函数 线 估算 因为 是第二象限的角 又 11 sincos 2 3 所以 正弦线 要比 余弦线 长一半多点 如图 故2cos 的 余弦线 应选a 二 填空题 2 答案 17 2 50 考点 同角三角函数 倍角三角函数 和角三角函数 解析 为锐角 即0 2 2 66263 0 在区间0 3 上单调递增 在区间 用心 爱心 专心46 3 2 上单调递减 则 a 2 3 b 3 2 c 2 d 3 解析 由题意知 函数在 3 x 处取得最大值 1 所以 1 sin 3 则 3 322 故 选 b 6 全国文 7 理 5 设函数 cos 0 f xx 将 yf x 的图像向右平移 3 个单 位长度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 a 1 3 b 3 c 6 d 9 解析 cos cos 33 f xxx 即cos cos 3 xx 22 66 3 kkzk 则1k 时 min 6 故选 c 7 全国文 14 已知 3 tan2 2 则cos 解析 由 2 2 222 cos11 cos sincostan15 又 3 cos0 2 所以 5 cos 5 8 全国理 14 已知 2 sin 5 5 则tan2 解析 2 sin 5 5 2 52 5 cos1 sin1 55 aa 则tan 5 sin1 5 cos22 5 5 a a 故tan2 2 2 1 2 2tan14 2 12 1tan3 1 24 a a 9 浙江文 5 在abc 中 角 a b c所对的边分 a b c 若cossinaabb 则 2 sincoscosaab a 1 2 b 1 2 c 1 d 1 解析 由余弦定理得 2 sin 2 sin ara brb 用心 爱心 专心47 2 sincos2 sinsinraarbb 2 sincossinaab 即则 222 sincoscossincos1aabbb 故选 d 10 浙江理 6 若0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 则 cos 2 a 3 3 b 3 3 c 5 3 9 d 6 9 解析 2442 cos cos 2442 cos cos 442 sin sin 442 132 2634 35 3 333399 故选 c 11 课标卷文 7 理 5 已知角 的顶点与原点重合 始边与横轴的正半轴重合 终边在 直线xy2 上 则 2cos a 5 4 b 5 3 c 3 2 d 4 3 解析 b 因为该直线的斜率是 tan2 k 所以 5 3 tan1 tan1 cos 2 2 点评 此题考查三角求值 直线的斜率 倾斜角等概念及其运算 把斜率转化成倾斜角的 正切 就把问题有直线转化成了三角求值 然后用公式即可 12 课标卷文 11 设函数 4 2cos 4 2sin xxxf 则 a 函数上在 2 0 xf单调递增 其图像关于直线 4 对称 b 函数上在 2 0 xf单调递增 其图像关于直线 2 对称 c 函数上在 2 0 xf单调递减 其图像关于直线 4 对称 d 函数上在 2 0 xf单调递减 其图像关于直线 2 对称 解析 d 化简得xxf2cos2 由余弦函数的图像知 d 正确 故选 d 点评 该题考查三角函数的化简 正余弦函数的图像和性质 掌握好概念和性质 抓住图 像不难求解 用心 爱心 专心48 13 课标卷理 11 设函数 sin cos 0 2 f xxx 的最小正 周期为 且 fxf x 则 a f x在0 2 单调递减 b f x在 3 44 单调递减 c f x在0 2 单调递增 d f x在 3 44 单调递增 解析 a 函数解析式可化为 4 sin 2 xxf 2 2 t 又因为该函数是偶函数 所以 xxf2cos2 4 所以 该函数在 2 0 上是 减函数 故选 a 点评 三角函数的图像和性质是此题考查的主要内容 要确定该函数的单调性一般是先化 简再化一 化成一个角的正线性函数 然后借助图像解答 14 湖北文 6 理 3 已知函数 3sincos f xxx xr 若 1f x 则x的取值范围 为 a 3 x kxkkzb 22 3 xkkkz c 5 66 x kxkkz d 5 22 66 xkxkkz 解析 由3sincos1xx 即 1 sin 62 x 解得22 3 kxkkz 所以 选 a 15 辽宁理 7 设 sin 1 43 则sin2 a 7 9 b 1 9 c 1 9 d 7 9 解析 2 17 sin2cos 22sin121 2499 16 福建文 9 若 0 2 且 2 sin 1 cos2 4 则tan 的值等于 a 2 2 b 3 3 c 2 d 3 用心 爱心 专心49 解析 因为 0 2 且 2 sin 1 cos2 4 所以 2 sin 22 1 cossin 4 即 2 1 cos 4 所以cos 1 2 或 1 2 舍去 所以 3 即tan3 选 d 17 重庆文 12 若 3 cos 5 a 且 3 2 a 则tana 命题意图 本题考查同角三角函数基本关系 是简单题 解析 cos 3 5 且 3 2 4 sin 5 tan sin cos 3 4 18 重庆理 14 已知 1 sincos 2 且0 2 则 cos2 sin 4 的值为 解析 由题设条件易得 7 sincos 2 故 22 in sincos 424 s 7 cos2sincossincos 4 所以 cos214 2 sin 4 19 福建理 9 对于函数 f xsinaxbxc 其中 a b r c z 选取 a b c 的一 组值计算 1 f和 1 f 所得出的正确结果一定不可能是 a 4 和 6 b 3 和 1 c 2 和 4 d 1 和 2 解析 1 sin1fabc 1 sin 1 1 fabc 1 1 sin1ffa bc sin 1 1 2abcc 又 c z 所以2c为偶数 所以 1 1 ff 同奇 偶 故选 d 20 辽宁文 12 已知函数 f x atan x 0 2 yf x 的部分图像如图 则 24 f a 2 3 b 3 c 3 3 d 23 用心 爱心 专心50 解析 函数 f x的周期是 3 2 882 故2 2 由 tan1 3 tan 20 8 a a 得 1 4 a 所以 tan 2 4 f xx 故 tan 23 24244 f 21 辽宁理 16 已知函数 f x atan x 0 2 y f x的部分图像如下图 则 24 f 解析 函数 f x 的周期是 3 2 882 故2 2 由 tan1 3 tan 20 8 a a 得 1 4 a 所以 tan 2 4 f xx 故 tan 23 24244 f 22 天津文 7 7 已知函数已知函数 2sin f xxxr 其中其中0 若若 f x的的 最小正周期为最小正周期为6 且当且当 2 x 时时 f x取得最大值取得最大值 则则 a a f x在区间在区间 2 0 上是增函数上是增函数 b b f x在区间在区间 3 上是增函数上是增函数 c c f x在区间在区间 3 5 上是减函数上是减函数 d d f x在区间在区间 4 6 上是减函数上是减函数 答案 a a 解析 由题意知 2 6 解得 1 3 又 1 sin 1 32 且 所以 3 所以 1 sin 33 f xx 故 a 正确 用心 爱心 专心51 23 安徽文 15 设 f x sin2cos2axbx 其中 a b r ab 0 若 6 f xf 对 一切则 x r 恒成立 则 11 0 12 f xk 7 10 f 5 f f x既不是奇函数也 不是偶函数 f x的单调递增区间是 2 63 kkkz 存在经过点 a b 的直线与函数的图 f x像不相交 以上结论正确的是 写出所有正确结论的编号 命题意图 本题考查辅助角公式的应用 考查基本不等式 考查三角函数求值 考查三 角函数的单调性以及三角函数的图像 解析 2222 sin2cos2sin 2 f xaxbxabxab 又 31 sincos0 63322 fabab 由题意 6 f xf 对一切则 x r 恒成立 则 22 31 22 abab 对一切则 x r 恒成立 即 2222 313 442 ababab 22 32 30abab 0恒成立 而 22 32 3abab 所以 22 32 3abab 此时 30ab 所以 3 sin2cos22 sin 2 6 f xbxbxbx 1111 2 sin0 1266 fb 故 正确 774713 2 sin2 sin2 sin 10563030 fbbb 21713 2 sin2 sin2 sin 5563030 fbbb 所以 7 10 f 5 f 错误 fxf x 所以 正确 用心 爱心 专心52 由 知 3 sin2cos22 sin 2 6 f xbxbxbx 0b 由 222 262 kxk 2知 2 36 kxk 2 所以 不正确 由 知 30ab 要经过点 a b 的直线与函数的图 f x像不相交 则此直线与横轴平行 又 f x的振幅为23bb 所以直线必与 f x图像有交点 不正确 解题指导 这类不定项多选题类型 难度非常大 必须每一个选项都有足够的把握确 定其正误 解题时须耐心细致 24 上海文 4 函数2sincosyxx 的最大值为 解析 2sincos5sin yxxx 所以最大值为5 25 上海理 8 函数sin cos 26 yxx 的最大值为 解析 sin cos cos coscossinsin 2666 yxxxxx 2 31 cossin cos 22 xxx 3 1 cos21 sin2 224 x x 3 1 cos2113 sin2cos 2 224264 x xx 最大值为 23 4 26 安徽理 9 已知函数 sin 2 f xx 其中 为实数 若 6 f xf 对 xr 恒成立 且 2 ff 则 f x的单调递增区间是 a 36 kkkz b 2 kkkz c 2 63 kkkz d 2 kkkz 命题意图 本题考查正弦函数的有界性 考查正弦函数的单调性 属中等偏难题 解析 若 6 f xf 对xr 恒成立 则 sin 1 63 f 所以 用心 爱心 专心53 32 kkz 6 kkz 由 2 ff kz 可知 sin sin 2 即sin0 所以 7 2 6 kkz 代入 sin 2 f xx 得 7 sin 2 6 f xx 由 7 222 262 kxk 得 5 63 kx k 故选 c 27 安徽理 1414 已知abc 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的等差数列 则abc 的面积 命题意图 本题考查等差数列的概念 考查余弦定理的应用 考查利用公式求三角形面 积 解析 设三角形的三边长分别为4 4aa a 最大角为 由余弦定理得 222 4 4 aaa 2 4 cos120a a 则10a 所以三边长为 6 10 14 abc 的面积为 1 6 10 sin12015 3 2 s 27 江西文 14 已知角 的顶点为坐标原点 始边为 x 轴的正半轴 若 4 py是角 终边上一点 且 2 5 sin 5 则 y 解析 根据正弦值为负数 判断角在第三 四象限 再加上横坐标为正 断定该 角为第四象限角 斜边 对边 sin 5 52 16 2 y y 8 y 28 重庆文 8 若 abc的内角 a b c满足6sin4sin3sinabc 则cosb a 15 4 b 3 4 c 3 15 16 d 11 16 命题意图 本题考查正余弦定理及其应用 是中档题 解析 由6sin a 4sin b 3sinc得 sin a sin b sinc 2 3 4 由正弦定理知 a b c 2 3 4 设a 2x b 3x c 4x x 0 则cosb 222 2 acb ac 222 2 4 3 2 24 xxx xx 11 16 故选 d 用心 爱心 专心54 29 重庆理 6 若abc 的内角 a b c所对的边 a b c满足 22 4abc 且 0 60c 则ab的值为 a 4 3 b 84 3 c 1 d 2 3 解析 由 22 4abc 得 222 24ababc 由 0 60c 得 222 421 cos 222 abcab c abab 解得 4 3 ab 选 a 30 福建文 14 若 abc的面积为3 bc 2 c 60 则边ab的长度等于 解析 由于 abc的面积为3 bc 2 c 60 所以 13 32 22 ac 所以 ac 2 abc为正三角形 所以 ab 2 31 福建理 14 如图 abc 中 ab ac 2 bc 2 3 点 d 在 bc 边上 adc 45 则 ad 的长度等于 解析 过 a 作aebc 于 e ab ac e 为 bc 中点 bc 2 3所以 ce3 在 rt aeca中 2 222 231aeacce 在rt aeda中 adc 45 所以 22adae 32 辽宁理 4 abc 的三个内角 a b c 所对的边分别为 a b c asin asinb bcos2a 2a则 b a a 2 3 b 2 2 c 3 d 2 解析 由正弦定理得 sin2asinb sinbcos2a 2sina 即 sinb sin2a cos2a 2sina 故 sinb 2sina 所以2 b a 33 北京文 9 在abca中 若 1 5 sin 43 bba 则a 解析 由正弦定理得 sinsin ab ab 又 1 5 sin 43 bba 所以 用心 爱心 专心55 55 2 1 3 sin 34 a a 34 北京理 9 在abca中 若5b 4 b tan2a 则sin a a 解析 由tan2a sin1 2cossin cos2 a aa a 又 22 sincos1aa 所以 22 1 sinsin1 4 aa 解得 2 5 sin 5 a 正弦定理得 2 5 5 5 5 2 52 sin 4 52 a a 则 2 10a 35 天津理 6 6 如图 在如图 在 abc中 中 d是边是边ac上的上的 点 且点 且 23 2abadabbd bcbd 则则sinc的值为 的值为 a a 3 3 b b 3 6 c c 6 3 d d 6 6 解析 设bda 则由题意可得 2 bca 3 2 abada 在abd 中 由余弦定 理得 222 cos 2 abadbd a ab ad 2 2 2 3 2 4 3 2 2 a a a 1 3 所以sin a 2 1 cos a 2 2 3 在 abc中 由正弦定理得 sinsin abbc ca 所以 3 2 2 sin2 2 3 a a c a 解得sinc 6 6 故选 d 36 课标卷文 15 在abc 中 5 7 120 abacb 则abc 的面积为 用心 爱心 专心56 解析 由余弦定理得3120cos5257 222 aa因此 4 315 120sin35 2 1 s 点评 本题考查解三角形的有关知识和面积公式 在解三角形时 要善于由正余弦定理创 造条件来进行下面的运算 37 课标卷理 16 在abc 中 60 3bac 则2abbc 的最大值为 解析 在三角形 abc 中 由正弦定理得2 60sin 3 sinsin c bc a ab 22sin4sin2sin 120 4sin2 7sin abbccaaaaj 其中 5 3 tan 又因为ra 所以最大值为72 点评 本题考查解三角形和三角函数求最值 其中 主要是用角 a 来表示所求的边长 人 后求最值 同时也包含了利用基本公式化简 关键是在该条件下 三角形不确定 使得 ra 从而由正弦函数的只有可求 38 上海文 17 若三角方程sin0 x 与sin20 x 的解集分别为e和f 则 a ef b ef c ef d ef 解 sin0 xxkkz sin202 2 k xxkxkz 则ef 故 选 a 39 陕西文 理 18 本小题满分 12 分 叙述并证明余弦定理 解 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦之积的两倍 或 在 abc 中 a b c 为 a b c 的对边 有 222 2cosabcbca 222 2cosbcacab 222 2coscababc 证法一证法一 如图 如图 2 2 abc acabacab 22 2acac abab 22 2cosacacabaab 用心 爱心 专心57 22 2cosbbcac 即 222 2cosabcbca 同理可证 222 2cosbcacab 222 2coscababc 证法二 已知 abca b ca b caa中所对边分别为以为原点 ab所在直线为x轴建立直角坐标系 则 cos sin 0 c ba ba b a 2 222 cos sin abcbacba 22222 cos2cossinbabcacba 22 2cosbcbca 同理可证 222222 2cos 2cosbcacab cababc 40 江苏 1515 本小题满分 本小题满分 1414 分分 在 在 abc abc 中 角中 角 a a b b c c 所对应的边为所对应的边为cba 1 1 若 若 cos2 6 sin aa 求求 a a 的值 的值 2 2 若 若cba3 3 1 cos 求 求csin的值的值 解析 考察三角函数基本关系式 和差角公式 正余弦定理及有关运算能力 容易题 1 sin 2cos sin3cos 63 aaaaa 2 2222 1 cos 3 2cos8 2 2 3 abcabcbcacac 由正弦定理得 2 2 sinsin cc ac 而 2 2 2 sin1 cos 3 aa 1 sin 3 c 也可以先 推出直角三角形 41 四川文 18 理 17 本小题共 13 分 已知函数 73 sincos 44 f xxxxr 求 f x的最小正周期和最小值 已知 44 cos cos 55 0 2 求证 2 20f 解析 2222 sincoscossin 2222 f xxxxx 2 sincos2sin 4 xxx f x的最小正周期是2 当 2 42 xkk 用心 爱心 专心58 即 2 4 xkk 时 函数取得最小值 2 0 2 0 2 0 4 cos 5 3 sin 5 4 cos 5 3 sin 5 sin2sin sincoscossin 3 443 0 5 555 2 2 2 22sin24sin2 44 f 2 1 cos 222sin20 2 所以 结论成立 42 广东文 1616 本小题满分 本小题满分 1212 分 已知函数分 已知函数 1 2sin 36 f xx x r 1 1 求 求 0f 的值 的值 2 2 设 设 10 0 3 2213 f 6 32 5 f 求求 sin 的值 的值 解析解析 1 02sin 2sin1 66 f 1011056 2 3 2sin 3 sin 32 21332613135 166312 2sin 32 2sin cos 0 cos 365255213 45 312 463 sinsin sincoscossin 513 513 565 ff aa 43 广东理1616 本小题满分 本小题满分1212分 已知函数分 已知函数 1 2sin 36 f xxxr 1 1 求 求 5 4 f 的值 的值 2 2 设 设 106 0 3 32 22135 ff 求求cos 的值的值 解析解析 5152 1 2sin sin 434642 f 用心 爱心 专心59 101105 2 3 2sin 3 sin 2133261313 6163 32 2sin 32 cos 53655 124 0 cossin 2135 12 35 416 cos coscossinsin 13 513 565 f f aa 44 山东文 17 本小题满分 12 分 在aabc 中 内角 a b c 的对边分别为 a b c 已 知 cosa 2cosc2c a cosbb 求 sin sin c a 的值 若 cosb 1 4 5babca的周长为 求的长 解析 1 由正弦定理得2 sin ara 2 sin brb 2 sin crc 所以 cosa 2cosc2c a cosbb 2sinsin sin ca b 即 sincos2sincos2sincossincosbabccbab 即有sin 2sin abbc 即sin2sinca 所以 sin sin c a 2 2 由 1 知 sin sin c a 2 所以有2 c a 即 c 2a 又因为abc 的周长为 5 所以 b 5 3a 由余 弦定理得 222 2cosbcaacb 即 2222 1 53 2 4 4 aaaa 解得 a 1 所以 b 2 45 山东理 17 本小题满分 12 分 在aabc 中 内角cba 的对边分别为cba