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母函数的性质及应用 2009国家集训队论文毛杰明南京外国语学校Email maojm517 邮政编码 210008 母函数的性质 定义 母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数 一般来说母函数有形式 母函数的性质 举一个例子 闭形式 不考虑收敛问题 母函数的性质 基本操作 1 放缩 母函数的性质 2 加减法 母函数的性质 3 右移 母函数的性质 4 求导 母函数的性质 举一个求导的例子 母函数的性质 5 卷积规则 组合问题 母函数的性质 简单的序列所对应的母函数 不定方程非负整数解的个数 母函数的应用 例1 原创题 例3 Sweets 母函数的应用 例1 小明出门旅游 需要带一些食物 包括薯片 巧克力 矿泉水 汉堡 牛奶和糖果 经过估计 他觉得带n n 10100 件食物比较合适 但他还有一些癖好 最多带1个汉堡巧克力的块数是5的倍数最多带4瓶矿泉水薯片的包数是一个偶数最多带3罐牛奶糖果的个数是4的倍数问你小明有多少种方式来准备这次旅行所带的食物 母函数的应用 汉堡巧克力薯片矿泉水牛奶糖果 母函数的应用 运用卷积规则 母函数的性质 指数型母函数 复杂 简单 母函数的性质 最基本的指数型母函数 Taylor公式 名称来源 母函数的性质 乘积 排列问题 母函数的应用 例2 Chocolate 例4 证明题 母函数的性质 母函数型P lya定理 P lya定理 设G是n个对象的一个置换群 用m种颜色涂染这n个对象 则不同染色方案数为 不够具体 母函数的性质 把m种颜色具体表示出来 母函数型P lya定理 母函数的性质 一个具体的例子 有4颗珠子绕成一圈 用两种颜色染色 旋转后重叠的方案算一种 置换群G P lya定理 母函数的性质 母函数型P lya定理得具体的方案 2黑2白的有两种 4黑 4白 3黑1白 3白1黑的都只有1种 母函数的应用 例5 IOI2003国家集训队难题讨论活动0015Polygon 总结 离散数学 连续数学 母函数 解决问题优化算法证明命题 参考文献 1 吴文虎 王建德 信息学奥林匹克竞赛指导 组合数学的算法与程序设计 清华大学出版社 2002 2 刘汝佳 黄亮 算法艺术与信息学竞赛 清华大学出版社 2004 3 RonaldL Graham DonaldE Knuth OrenPatashnik ConcreteMathematics AFoundationforComputerScience 2ndEdition Addison WesleyProfessional 1994 4 卢开澄 组合数学 第三版 清华大学出版社 2002 5 周源 NOI冬令营讲稿 2008
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