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江苏省西亭高级中学初一数学“学，讲，练，探”稿江苏省西亭高级中学初一数学内容：7.2.2三角形的外角 课型：新授 时间：第5周第一课一 自主学习导引1 目标：了解三角形的外角的定义，会在简单的几何图形中寻找三角形的外角。2 提纲：三角形外角定义 三角形外角的性质 三角形外角和计算公式。3 练习：（1）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是_三角形（2）ABC中，若C-B=A，则ABC的外角中最小的角是_（填“锐角”、“直角”或“钝角”）（3）如图1，x=_ (1) (2) (3)（4）如图2，ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则1，2，3的大小关系是_（5）如图3，在ABC中，AE是角平分线，且B=52，C=78，求AEB的度数（6）如图，在ABC中，A=60，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求BHC的度数（7） 如图，是三角形ABC的不同三个外角，则 4提问：5 摘疑：学习目标1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质2利用学过的定理论证这些性质3能利用三角形的外角性质解决实际问题学习重点：（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理学习难点：三角形外角的定义及定理的论证过程二 精致讲解1三角形的内角和定理是什么？做一做：把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？ 它是三角形的外角。定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角想一想：三角形的外角有几个？每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角一、 议一议与的内角有什么关系？（1）（2），再画三角形ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？同学用几何语言叙述这个性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？ 已知：是的外角说明：（1）（2），结合下面图形给予说明例1：如图所示，在ABC中，AB=AC，AD=AE，BAD=60，则EDC=_例2：一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定A应等于90，B、D应分别是30和20，李叔叔量得BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？例3：（1）如图7-2-2-7（1），求出A+B+C+D+E+F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出A+B+C+D+E+F的度数例4：（易错题）三角形的三个外角中最多有_个锐角三 当堂练习1三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角2 的两个内角的一平分线交于点E，则 3 已知的的外角平分线交于点D，那么= 4 在中等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于的两倍，那么 ， ， 5（探究题）（1）如图，BD、CD分别是ABC的两个外角CBE、BCF的平分线，试探索BDC与A之间的数量关系四 问题探究1如图，BD为ABC的角平分线，CD为ABC的外角ACE的平分线，它们相交于点D，试探索BDC与A之间的数量关系2（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？3 七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接如图所示城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现该怎样走才好呢？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（17071783）欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在 你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？内容：7.2.2三角形的外角 课型：习题课 时间：第5周第二课1、如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为（ ） A、锐角三角形或直角三角形B、钝角三角形或锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形或直角三角形2、如图所示，AB/CD，A=35，C=75，那么M等于（ ） A、35B、40C、45D、753锐角三角形的三个内角是A、B、C，如果a=AB，b=BC，=CA，那么a、b、这三个角中（ ）（A）没有锐角 （B）有1个锐角 （C）有2个锐角 （D）有3个锐角4、如果三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角的和为180，那么与这个外角相邻的内角等于（ ） A、30B、60C、90D、1205、如图所示，= 度6、如图所示，A=35，B=80，C=20，则= 度7、如图所示，已知xOy=90，点A，B分别在射线Ox、Oy上移动，BE是ABy的平分线，BE的反向延长线与OAB的平分线相交于点C，试问ACB的大小是否变化，如果保持不变，请给出证明；如果随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围8已知：如图5130，在ABC中，ACB90，CD为高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由内容：7.3.1多边形 课型：新授 时间：第5周第三课一 自主学习引导1 目标：了解多边形的概念及对角线等相关知识。2 提纲：3 练习4 提问5 摘疑学习目标1了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念2区别凸多边形与凹多边形学习重点：（1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念（2）区别凸多边形和凹多边形学习难点：多边形定义的准确理解二 精致讲解投影：图形见课本P84图73一l你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？上面三图中让同学边看、边议在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？（1）它们在同一平面内（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？提问：三角形的定义你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？1在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形）2多边形的边、顶点、内角和外角多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角3多边形的对角线连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线让学生画出五边形的所有对角线4凸多边形与凹多边形看投影：图形见课本P85736在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形5正多边形由正方形的特征出发，得出正多边形的概念各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形例一、判断题 1由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形（ ） 2由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形（ ） 3由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形（ ） 4在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形（ ） 例二、填空题 1连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线 2多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的多边形叫凸多边形 3各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形三 当堂练习1. 如图，求 2. ABC中，求ABC各内角的度数.3. 如图，B处在A处的南偏西45方向，C处在A处的南偏东15方向，C处在B处的北偏东80方向，求ACB.4. 已知一个等腰三角形的周长是26cm ，其中一边长是6cm，求其他两边长.5. 如图在ABC中，求的度数.6. 如图，在ABC中，是角平分线，交CD于点E，求证四 问题探究 1画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线 2如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？ 3如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 4如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？内容：7.3.2多边形内角和 课型：新授 时间：第5周第四课学习目标：1使学生了解多边形的内角、外角等概念2能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算 学习重点：（1）多边形的内角和公式 （2）多边形的外角和公式学习难点：多边形的内角和定理的推导一、精致讲解（1）1我们知道三角形的内角和为1802我们还知道，正方形的四个角都等于90，那么它的内角和为360，同样长方形的内角和也是360 3正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360，那么一般的四边形的内角和为多少呢？ 画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果 从中你得到什么结论？ 同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360的感性认识，是否成为定理要进行推导（2）思考几个问题1从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）180想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形其五个三角形内角和为5180，而1，2，3，4，5不是五边形的内角应减去，五边形的内角和为5180一2180（52）180=540如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和nl80一2180=（n一2）180 分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（51）个三角形，而1、2、3、4不是五边形的内角，应舍去 五边形的内角和为（51）180一180（52）180用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）180 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的AC180求：B与D的关系 分析：本题要求B与D的关系，由于已知AC180，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案 解：如图，四边形ABCD中，AC180。A+B+C+D=（42）360=180，BD= 360（AC）=180这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补 例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？已知：1，2，3，4，5，6分别为六边形ABCDEF的外角求：1+2+3+4+5+6的值分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6180由于六边形的内角和为（62）180=720这样就可求得1+2+3+4+5+6=360解：六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180 六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6180 由于六边形的内角和为（62）180=720 它的外角和为6180一720=360如果把六边形横成n边形（n为不小于3的正整数）同样也可以得到其外角和等于360即多边形的外角和等于360所以我们说多边形的外角和与它的边数无关对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360三当堂练习一、判断题1当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加（ ） 2当多边形边数增加时它的外角和也随着增加（ ）3三角形的外角和与一多边形的外角和相等（ ） 4从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形（ ） 5四边形的四个内角至少有一个角不小于直角（ ）二、填空题 1一个多边形的每一个外角都等于30，则这个多边形为 边形 2一个多边形的每个内角都等于135，则这个多边形为 边形 3内角和等于外角和的多边形是 边形 4内角和为1440的多边形是 5一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100，最大的是140，那么这个多边形是 边形 6若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形7五边形的对角线有 条，它们内角和为 8一个多边形的内角和为4320，则它的边数为 9多边形每个内角都相等，内角和为720，则它的每一个外角为 10四边形的A、B、C、D的外角之比为1：2：3：4，那么A：B：C：D= 11四边形的四个内角中，直角最多有 个，钝角最多有 个， 锐角最多有 个12如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 三、选择题 1多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ） A互为余角 B互为邻补角 C两个角相等 D外角大于内角2若n边形每个内角都等于150，那么这个n边形是（ ） A九边形 B十边形 C十一边形 D十二边形 3一个多边形的内角和为720，那么这个多边形的对角线条数为（ ）A6条 B7条 C8条 D9条 4随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）A增加 B减小 C不变 D不定 5若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（ ） A3 B4 C5 D7 6一个多边形的内角和是1800，那么这个多边形是（ ）A五边形 B八边形 C十边形 D十二边形 7一个多边形每个内角为108，则这个多边形（ ）A四边形 B，五边形 C六边形 D七边形 8，一个多边形每个外角都是60，这个多边形的外角和为（ ） A180 B360 C720 D1080 9n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个A1个 B2个 C3个 D4个 10多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）A八边形 B九边形 C十边形 D，十一边形四 问题探究 1一个多边形少一个内角的度数和为2300 （1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数2一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？3已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数4若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数5多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600，求这个多边形的边数6n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n7五边形ABCDE的各内角都相等，且AEDE，ADCB吗？8将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？ 9四边形ABCD中，A+B=210，C4D求：C或D的度数10在四边形ABCD中，ABACAD，DAC2BAC求证：DBC2BDC内容：多边形复习 课型：习题课 时间：第5周第五课1如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是（ ）ABCD2若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( ) A2对 B3对 C4对 D6对3锐角三角形的三个内角是A、B、C，如果，那么、这三个角中 （） A没有锐角 B有1个锐角 C有2个锐角 D有3个锐角4如图，一块实验田的形状是三角形(设其为ABC)，管理员从BC边上的一点D出发，沿DCCAABBD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体（ ）A转过90 B转过180 C转过270 D转过360BCDA5一个三角形的两条高既不在三角形内，又不在三角形外，这个三角形是 6小亮、小丽和小军三位同学同时测量ABC的三边长小亮说：“三角形的周长是11”，小丽说：“有一条边长为4”，小军说：“三条边的长度是三个不同的整数” 请你回答，三边的长度应该是 7若为三角形的三边长，此三角形周长为且则 ， ， 8的边上任取一点（异于），连结，可以得到3个不同的三角形（如图（1）；在的边上任取两点、（异于），分别连结、，可以得到 个不同的三角形（如图（2）；要得到15个不同的三角形，可以在的边上任取 个点（异于），分别与点连结即可9 两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段；平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；符合要求的线段必须全部画出；图1展示了当时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1