南京航空航天大学《高等数学》78空间直线及其方程.pdf

1 第八节 空间直线及其方程第八节 空间直线及其方程 直线的一般方程直线的一般方程 直线的参数方程和对称方程直线的参数方程和对称方程 两直线的夹角两直线的夹角 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 2 x y z o 1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线 空间直线可看成两平面的交线 0 11111 DzCyBxA 0 22222 DzCyBxA 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 空间直线的一般方程空间直线的一般方程 L 一 空间直线的一般方程一 空间直线的一般方程 注 表示同一直线的一般方程不唯一 注 表示同一直线的一般方程不唯一 3 确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线 由两个平面确定一条直线 由空间的两点确定一条直线 由空间的两点确定一条直线 由空间的一点和一个方向来确定一条直线 由空间的一点和一个方向来确定一条直线 4 x y z o 方向向量的定义 方向向量的定义 s L 0000 LzyxM 设定点设定点 0 M M LzyxM sMM 0 pnms 0000 zzyyxxMM 二 空间直线的参数方程与对称式方程二 空间直线的参数方程与对称式方程 如果一非零向量平行于 一条已知直线 如果一非零向量平行于 一条已知直线L L 向量称为 直线 向量称为 直线L L的的方向向量方向向量 s s 000 pnmtzzyyxx 则 则 5 直线的对称式方程直线的对称式方程 p zz n yy m xx 000 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 直线的一组直线的一组方向数方向数 方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦 直线的参数方程直线的参数方程 消去参数消去参数t 有 有 6 注 注 1 表示同一直线的对称方程不唯一 表示同一直线的对称方程不唯一 2 对称式方程可转化为一般方程对称式方程可转化为一般方程 3 理解为理解为 p zz n yyxx 000 0 00 0 p zz n yy xx 4 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程 7 例1用对称式方程及参数方程表示直线例1用对称式方程及参数方程表示直线 0432 01 zyx zyx 解在直线上任取一点解在直线上任取一点 000 zyx 取取1 0 x 063 02 00 00 zy zy 解得解得 2 0 00 zy 点坐标点坐标 2 0 1 8 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 21 nns 3 1 4 对称式方程对称式方程 3 2 1 0 4 1 zyx 参数方程参数方程 32 41 tz ty tx 9 例 2例 2 一直线过点一直线过点 4 3 2 A 且和 且和y轴垂直相 交 求其方程 轴垂直相 交 求其方程 解解因为直线和因为直线和y轴垂直相交轴垂直相交 所以交点为所以交点为 0 3 0 B 取取BAs 4 0 2 所求直线方程所求直线方程 4 4 0 3 2 2 zyx 10 定义定义 直线直线 1 L 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx 直线直线 2 L 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 cos pnmpnm ppnnmm LL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之 锐角 锐角 两直线的夹角公式两直线的夹角公式 三 两直线的夹角三 两直线的夹角 11 两直线的位置关系 两直线的位置关系 21 1 LL 0 212121 ppnnmm 21 2 LL 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 直线直线 1 L 直线直线 2 L 0 4 1 1 s 1 0 0 2 s 0 21 ss 21 ss 例如 例如 21 LL 即即 12 例 3例 3 一直线一直线 L 过点过点 3 2 5 且和直线 且和直线 152 34 zyx zx 平行 求其方程 平行 求其方程 解解 所求直线方程 所求直线方程 1 5 3 2 4 3 zyx 1 3 4 512 401 21 kji nns 方法方法2 设设 pnms 134052 04 21 pnm pnm pm nsns 1 3 4 s 取取 13 例 4例 4 一直线过点一直线过点 M0 2 1 3 且与直线 且与直线 L 12 1 3 1 zyx 垂直相交 求其方程垂直相交 求其方程 取取 4 1 2 10 MkMs 所求直线方程所求直线方程 4 3 1 3 2 2 zyx 解解设所求直线为设所求直线为l 先求两直线的交点 先求两直线的交点 L l M1 M0 过点过点M0做平面垂直于直线做平面垂直于直线L 3x 2y z 5 代入平面方程的参数方程 代入平面方程的参数方程 tz ty tx L21 31 所以交点为所以交点为 M1 2 7 13 7 3 7 14 定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹 角称为直线与平面的夹角 直线和它在平面上的投影直线的夹 角称为直线与平面的夹角 000 p zz n yy m xx L 0 DCzByAx pnms CBAn 2 ns 2 ns 四 直线与平面的夹角四 直线与平面的夹角 0 2 15 222222 sin pnmCBA CpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式 直线与平面的直线与平面的位置关系 位置关系 L 1 p C n B m A L 2 0 CpBnAm cos 2 cossin 2 16 例 5例 5 设直线设直线 L 2 1 12 1 zyx 平面 平面 32 zyx 求直线与平面的夹角 求直线与平面的夹角 解解 2 1 1 n 2 1 2 s 222222 sin pnmCBA CpBnAm 96 22 1 1 21 63 7 63 7 arcsin 为所求夹角 为所求夹角 17 空间直线的一般方程空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程 两直线的夹角两直线的夹角 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 注意两直线的位置关系 注意直线与平面的位置关系 注意两直线的位置关系 注意直线与平面的位置关系 五 小结五 小结 18 思考题思考题 在直线方程在直线方程 p z n y m x 6 2 2 4 中 中