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实际问题与二元一次方程组编稿：陈琳琳 审稿：张扬 责编：孙景艳 目标认知学习目标：1了解应用题的几种基本题型；2掌握列方程组解应用题的一般步骤；3探索事物之间的数字关系，建立方程模型；4通过实践和探索，运用二元一次方程组解决有关实际问题.重点：在解答应用题时，能建立正确的方程模型.难点：二元一次方程组在应用题中的灵活运用.知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.要点诠释：(1)寻找等量关系的方法有：画出示意图分析；列表分析；信息的分类处理等等(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组(4)最后的结果必须使实际问题有意义知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段 图便于理解、分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；路程速度时间； 速度；时间。(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观， 因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题:船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2.工程问题：工作效率工作时间=工作量.3.浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.4.教育储蓄问题：(1)基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。(2)基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息(1利息税率) 年利率月利率12 月利率年利率。注意：免税利息=利息 5.销售中的盈亏问题：(1)利润售价成本(进价)；(2)；(3)利润成本利润率；(4)标价成本(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。6.优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案。7.和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.8.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.9.增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率)n 增长后的量；原量(1减少率)n 减少后的量.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题:弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数:可直接设元，也可间接设元；3找出题目中的等量关系；4列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合 理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 解答步骤简记为：问题方程组解答(4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系； 审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程 组时，不要带单位； 正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题一定要注意检验。规律方法指导1实际问题主要包括：（1）行程问题；（2）工程问题；（3）产品配套问题；（4）利润问题； （5）银行利息问题等等。2注意问题：（1）行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；（2）工程问题注意总的工程量是 由几部分组成的；（3）利润问题中注意利润和利息的算法；（4）零件配套问题对零件的配套关系 容易弄混。经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决商品问题1某城区中学5月份开展了与农村偏远山区的学校“手拉手”的活动. 小强同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆珠笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元. 你能算出小强同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？思路点拨：本题第一个相等关系是：圆珠笔和钢笔一共8支；第二个等量关系是：买圆珠笔和钢笔共用了20元钱.解析：设小强同学买了支圆珠笔，支钢笔. 根据题意列方程组， 解得 答：小强同学买了5支圆珠笔，3支钢笔.总结升华：本题是按“数量”和“钱数”列出二元一次方程组. 列方程(组)解实际问题的关键就是准确地找出等量关系，列方程(组)求解. 举一反三：【变式1】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格. 解析：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组， 解得 答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.【变式2】(云南)在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：(1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？解析：(1)设A型洗衣机的售价为元，B型洗衣机的售价为元， 则据题意，可列方程组 解得 A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元 (2)小李实际付款为：(元)； 小王实际付款为：(元) 小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元类型二：列二元一次方程组解决行程问题2甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意：这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程. 有两个等量关系：(1)相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程160千米；(2)同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程.解析：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米. 根据题意，列方程组 解这个方程组，得 (千米)，(千米).答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：行程问题的几个关系式：路程速度时间； ； .相遇问题的等量关系：两者的路程和原相距的路程；追及问题的等量关系：两者的路程差原相距的路程.举一反三：【变式1】某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地. 如果他以每小时30千米的速度行驶，就会迟到30分；如果他以每小时50千米的速度行驶，那么可以提前30分钟到达乙地. 求从甲地到乙地规定的时间为多少？解析：设从甲地到乙地的距离为千米，从甲地到乙地的规定时间为小时. 根据题意，得 解方程组得 答：从甲地到乙地规定的时间为2小时.【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。解析：船顺流速度静水中的速度水速船逆流速度静水中的速度水速设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，则答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。类型三：列二元一次方程组解决方案决策问题3某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成.你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨:如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解析：方案一获利为：4500140=630000(元).方案二获利为：7500(615)+1000(140615)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得 解得 所以方案三获利为：750060+450080=810000(元).因为630000725000810000，所以选择方案三获利最多.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.举一反三：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利 最多，你选择哪种进货方案？解析：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台。 购进甲、乙两种电视机 购进甲、丙两种电视机 购进乙、丙两种电视机(不合实际，舍去) 故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台。(2)按方案，获利15025200258750元 按方案，获利15035250159000元 选择购进甲种35台和丙种15台。类型四：列二元一次方程组解决生产中的配套问题4某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解析：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.根据题意，列方程组得解方程组得 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.举一反三：【变式1】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。解析：由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则答：生产螺栓的有25人，生产螺母的有35人。【变式2】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？解析：设用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根据题意，得：，解得，可做503150张方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150张方桌。类型五：列二元一次方程组解决工程问题5一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：工程问题也有三个量：工作效率、工作时间、工作量。其关系式是：工作效率工作时间工作量。解析：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元， 依题意得 解得 即甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。(2)单独请甲组做，需付款300123600元，单独请乙组做，需付款241403360元， 故请乙组单独做费用最少。总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用。工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。举一反三：【变式】某工程若由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；若由乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；若由甲、丙两队合作5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。解：（1）设甲队单独做此项工程需天完成，乙队单独做此项工程需天完成。丙队单独做此项工程需天完成，又视全部工程为“1”，依题意得将此方程组视为关于为未知数的三元一次方程组，解得 即 （2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，由题意，得 解得因为（元），（元），（元）。故由甲队单独完成此项工程花钱最少。答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30元完成。（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。类型六：列二元一次方程组解决数字问题6两个两位数的和是68，当在较大的两位数的右边接着写较小的两位数时，得到一个四位数；当在较大的两位数的左边写上较小的两位数时，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。思路点拨：本题中的等量关系：(1)两个两位数的和是68，(2)变化后的两个四位数的差为2178.解析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则化简得，解得答：这两个两位数分别是45和23。总结升华：数字的表示方法：若一个三位数的个位、十位、百位上的数分别为a、b、c，则这个三位数是100c10ba，将个位与百位调换后得到的数是100a10bc。设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大数的右边接着写较小的数时，新的数应表示为100xy，切不可写成xy。举一反三：【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。解析：设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，由题意，得，解得答：故所求三位数是504。类型七： 列二元一次方程组解决实际问题7为保护生态环境，一个边长为300米的正方形形状的某饲养场的一部分要划为保护区，但允许饲养场向其他地方扩展. 这样饲养场变成了一个周长和原来周长相等的等腰三角形，且它的一条边长是另一条边长的2倍，你能计算出改建后饲养场的三边的长吗？思路点拨：求饲养场三边的长，就是求等腰三角形的腰长和底长，要分两种情况讨论.解析：设等腰三角形的底边长为，腰长为. (1)若底边长是腰长的2倍，则两腰长之和等于底边长，不符合三角形的三边关系， 所以这种情况不可能；(2)若腰长是底边长的2倍， 根据题意列方程组， 解得 答：改建后的饲养场三边的长分别是480米、480米、240米.总结升华：本题有两个相等关系：(1)正方形的周长等腰三角形的周长；(2)腰长2底边长. 注意：求三角形的三边要符合三角形的三边关系. 举一反三：【变式1】王阿姨和李奶奶一起去超市买菜. 王阿姨买了西红柿、茄子、青椒各1千克，共花了12.8元；李奶奶买了西红柿2千克、茄子1.5千克，共花了15元. 已知青椒每千克4.2元，请你求出每千克西红柿、茄子各多少元？解析：设每千克西红柿元，每千克茄子元.根据题意列方程组，得 解得 答：每千克西红柿4.2元，每千克茄子4.4元.【变式2】甲、乙、丙三个班的学生共植树66棵，甲班植树的棵数是乙班植树棵数的2倍，丙班与乙班植树棵数比为2：3，求这三个班各植树多少棵？解析：甲班植树棵数乙班植树棵数丙班植树棵数66，甲班植树棵数乙班植树棵数2可设甲、乙、丙3班分别植树x、y、z棵，则答：甲班36棵，乙班18棵，丙班12棵【变式3】（2010山东聊城）2008年全国废水（含工业废水和城镇生活污水）排放总量约为572亿吨，排放达标率约为72%，其中工业废水排放达标率约为92%，城镇生活污水排放达标率约为57%这一年全国工业废水与城镇生活污水的排放量分别是多少亿吨？（结果精确到1亿吨（注：废水排放达标率是指废水排放达标量占排放总量的百分比）解析：设工业废水排放量为亿吨，城镇生活污水排放量为亿吨，根据题意得： 解得答：全国工业废水排放量约为245亿吨，城镇生活污水排放量约为327亿吨学习成果测评：一、基础达标：选择题1.买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的的桶数的75%，设买甲种水桶，乙种水桶，则所列方程组中正确的是（ ）.A. B. C. D. 2.某校二班40名同学为地震灾区捐款，共捐款100元，捐款情况如下表捐款/元1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有是 名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可列方程组( ).A. B. C. D. 3.某班共有学生49人. 一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若该班男生人数为，女生人数为，则下列方程组中，能正确计算出的是（ ）.A. B. C. D. 4.甲、乙两人年收入之比为43，支出之比为85，一年间两人各存5000元（设两人剩余的钱都存入银行），则甲、乙两人年收入分别为( ).A.15000元，12000元 B.12000元，15000元 C.15000元，11250元 D.11250元，15000元5.（2010四川巴中)巴广高速公路5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为km/h、km/h，则下列方程组正确的是 （ ）A. B.C. D.填空题6.已知两数之和为5，差为35，则这两个数为_.7.一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了_道题.8.两地相距280km，一艘轮船在其间航行，顺流用了14h，逆流用了20h，那么这艘轮船在静水中的速度是_. 应用题9.小明在购买福娃和徽章时，了解到2盒福娃与1枚徽章共315元，1盒福娃与3枚徽章共195元，求一盒福娃和一枚徽章各多少元？10.如图所示，在一个33的方格内，填写一些代数式和数.（1）在图1中各行、各列和对角线上3个数之和都相等，请求出的值.（2）把满足图1的其他6个数填入图2中的方格内. 11.有甲、乙两种铜与银的合金，甲种含银25%，乙种含银37.5%. 现在要熔成含银30%的合金100kg，甲、乙两种合金各应取多少？12.（2010江苏连云港）在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试测试结果显示，甲校 男生的优分率为60%，女生的优分率为40%，全校的优分率为49.6%；乙校男生的优分率为57%，女生的优分率为37%（1）求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?（2）从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计 结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校优分率低，请举例说明原因基础达标答案与解析：选择题1.A.2.A.3.D.4.C.（提示：设甲、乙的收入分别为元、元，支出分别为元、元，则列方程组， ，求出、的值即可.）5.D.填空题6.15，20. （提示：设两个数分别为，则 ，解得 .）7.19.（提示：设做对了道题，做错了道题， 由题意列方程组 ，解得 .）8.17km/h. （提示：设轮船在静水中的速度是km/h，水流的速度是km/h. 则列方程组，解得 .）应用题9.解：设一盒福娃元，一枚徽章元，可列方程组， ，解得 .答：一盒福娃150元，一枚徽章15元.10.解：（1）由已知条件可得 ，整理得 ， 解得 .（2）如图所示：11.解：设应取甲种合金kg，乙种合金kg. 根据题意列方程组 得， ，解得 答：应取甲种合金60kg，一种合金40kg.12.解：（1）设甲校参加测试的男生人数是x，女生人数是y由题意可列方程组：解得 答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人 （2）如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为，二、能力提升1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅. 经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？（2）若7个餐厅同时开放，能否供5300名学生就餐？请说明理由.2.小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：（1）用含有的代数式表示地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21，且地面总面积是卫生间面积的15倍. 若铺1地砖的平均费用 为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？3.“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食产业专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12%，玉米超产10%，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？能力提升答案与解析：1.解：（1）设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐. 根据题意，得 解得 答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.（2）因为9605360255205300